2019-2020学年新教材高中数学 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.4 幂函数课件 新人教

-1-4.4幂函数课标阐释思维脉络1.通过实例,了解幂函数的概念.2.结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=1x,y=x12的图像,了解它们的变化情况及简单性质.3.能运用幂函数的图像与性质解决相关问题.4.会用信息技术作幂函数的图像.课前篇自主预习一二一、幂函数的定义1.请说出函数y=2x与y=x2的自变量的特征,y=x2是指数函数吗?提示:函数y=2x是前面刚学过的指数函数,自变量x为指数幂的指数.而函数y=x2中自变量x为指数幂的底数.y=x2不是指数函数,而是本节课将要学习的幂函数.2.一次函数和二次函数都是幂函数吗?提示:不一定,例如,y=x+1,y=x2+1分别为一次函数和二次函数,但它们都不是幂函数.一次函数中的y=x与二次函数中的y=x2才是本节课研究的结构形式,能称为幂函数.3.填空.一般地,函数y=xα称为幂函数,其中α为常数.课前篇自主预习一二二、函数y=x,y=x2,y=x3,,y=x-1的图像与性质1.在同一坐标系内作出上述五种函数的图像.回答以下问题:(1)仅考虑第一象限内的图像,这五个函数的图像都过哪个定点?提示:点(1,1).(2)函数y=x,y=x2,y=x3,图像所过公共点是哪个?提示:点(0,0),点(1,1).(3)这五个函数的图像均不过哪个象限?你能发现更一般的结论吗?提示:上述五个函数的图像均不过第四象限,一般地,对幂函数y=xα而言,当x0时,必有y0,故幂函数的图像不过第四象限.y=𝑥12y=𝑥12课前篇自主预习一二2.(1)在幂函数y=xα中,如果α是正偶数(α=2n,n为非零自然数),如α=2,4,6,…,这一类函数具有哪些重要性质?提示:重要性质:①定义域为R,图像都经过(-1,1),(0,0),(1,1)三点;②函数的图像关于y轴对称,即函数为偶函数;③函数在(-∞,0]上为减函数,在[0,+∞)内为增函数.(2)在幂函数y=xα中,如果α是正奇数(α=2n-1,n为非零自然数),如α=1,3,5,…,这一类函数具有哪些重要性质?提示:重要性质:①定义域、值域为R,图像都过(-1,-1),(0,0),(1,1)三点;②函数的图像关于原点对称,即函数为奇函数;③函数在R上是增函数.(3)当x∈[0,+∞),α1与0α1时,幂函数y=xα的图像有何不同?提示:两者图像的区别和联系:无论α1还是0α1,函数y=xα在[0,+∞)内都是增函数,但在[0,1]内前者比后者增得慢,在(1,+∞)上前者比后者增得快.课前篇自主预习一二3.填写下表:y=xy=x2y=x3y=x12y=x-1图像定义域RRR[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)值域R[0,+∞)R[0,+∞)(-∞,0)∪(0,+∞)·课前篇自主预习一二y=xy=x2y=x3y=x12y=x-1奇偶性奇函数偶函数奇函数既不是奇函数也不是偶函数奇函数单调性增函数在(0,+∞)内是增函数,在(-∞,0)内是减函数增函数增函数在(0,+∞),(-∞,0)内均是减函数定点(-1,-1),(0,0),(1,1)(-1,1),(0,0),(1,1)(-1,-1),(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)(-1,-1),(1,1)课前篇自主预习一二三、幂函数共有的性质1.幂函数在(0,+∞)上都有定义.2.幂函数的图像过点(1,1).3.当α0时,幂函数的图像都过点(1,1)和(0,1),且在(0,+∞)上单调递增.4.当α0时,幂函数的图像都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减.5.做一做:已知函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3是幂函数且是(0,+∞)上的增函数,则m的值为.答案:-1解析:由题意知m2-m-1=1,∴m2-m-2=0,∴m=2或m=-1.当m=2时,f(x)=x-13,不符合题意,故舍去;当m=-1时,f(x)=x2,符合题意,故m的值为-1.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析幂函数的概念例1(1)已知点M在幂函数f(x)的图像上,则f(x)的解析式为()A.f(x)=x2B.f(x)=x-2(2)下列函数中,是幂函数的为.(填序号)④y=x2+x;⑤y=-x3.答案:(1)B(2)①③33,3C.f(x)=𝑥12D.f(x)=𝑥-12①y=𝑥13;②y=2x2;③y=𝑥23;当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析∴α=-2.∴y=x-2.(2)①③的底数是变量,指数是常数,且系数为1,因此①③是幂函数;②中x2的系数为2,因此不是幂函数;④是由两个幂函数相加而成的函数,因此不是幂函数;⑤不符合幂函数中xα前的系数为1的条件,因此不是幂函数.反思感悟幂函数的判断方法(1)幂函数同指数函数、对数函数一样,也是基本初等函数,同样也是一种“形式定义”的函数,也就是说必须完全具备形如y=xα(α∈R)的函数才是幂函数.(2)如果函数以根式的形式给出,则要注意对根式进行化简整理,再对照幂函数的定义进行判断.解析:(1)设幂函数的解析式为y=xα,则3=33𝛼,当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析比较大小例2比较下列各组数的大小:(2)(-1.2)3,(-1.25)3.(3)5.25-1,5.26-1,5.26-2.(4)0.53,30.5,log30.5.分析:(1)借助函数y=;(2)借助函数y=x3;(3)借助函数y=5.26x和y=x-1;(4)利用中间值法.(1)1.512,1.712.𝑥12当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析解:(1)∵y=𝑥12在[0,+∞)内是增函数,1.51.7,∴1.5121.712.(2)∵y=x3在R上是增函数,-1.2-1.25,∴(-1.2)3(-1.25)3.(3)∵y=x-1在(0,+∞)内是减函数,5.255.26,∴5.25-15.26-1.∵y=5.26x在R上是增函数,-1-2.∴5.26-15.26-2.综上,5.25-15.26-15.26-2.(4)∵00.531,30.51,log30.50,∴log30.50.5330.5.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟比较幂形式的两个数大小的常用方法:(1)若能化为同指数,则用幂函数的单调性.(2)若能化为同底数,则用指数函数的单调性.(3)若既不能化为同指数,也不能化为同底数,则需寻找一个恰当的数作为中间值来比较大小.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析变式训练三个数60.7,0.76,log0.76的大小顺序是()A.0.76log0.7660.7B.0.7660.7log0.76C.log0.7660.70.76D.log0.760.7660.7答案:D解析:因为60.71,00.761,log0.760,所以log0.760.7660.7.故选D.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析幂函数的图像例3如图是幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图像,则()A.n0,m1B.n0m1C.mn1D.nm1答案:B解析:由幂函数的图像及性质可知,在第一象限内,若幂指数大于零,则函数为增函数;若幂指数小于零,则函数为减函数,故m0,n0.又由y=xm的图像与直线y=x比较,得0m1.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟幂函数图像的特征(1)指数大于1,在第一象限的图像类似于y=x2的图像;(2)指数等于1,在第一象限为上升的射线;(3)指数大于0小于1,在第一象限的图像类似于y=的图像;(4)指数等于0,在第一象限为水平的射线;(5)指数小于0,在第一象限的图像类似于y=x-1的图像.𝑥当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析延伸探究函数y=|x|9𝑛(n∈N,n9)的图像可能是()答案:C解析:∵n∈N,n9,∴09𝑛1.∴函数的定义域为R,且在第一象限内是增函数,故可排除B,D.又y=|x|9𝑛是偶函数,故选C.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析幂函数性质的综合应用例4已知幂函数(m∈Z)是偶函数,且在(0,+∞)内是减函数,求函数f(x)的解析式.分析:先利用f(x)在(0,+∞)内为减函数求出m的取值范围,再用代入检验的方法来验证是否为偶函数.f(x)=𝑥𝑚2-𝑚-2解:∵f(x)=𝑥𝑚2-𝑚-2(m∈Z)是偶函数,∴m2-m-2为偶数.又∵f(x)=𝑥𝑚2-𝑚-2(m∈Z)在(0,+∞)内是减函数,∴m2-m-20,即-1m2.∵m∈Z,∴m=0或m=1.当m=0时,m2-m-2=-2,-2为偶数,当m=1时,m2-m-2=-2,-2为偶数.∴f(x)的解析式为f(x)=x-2.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析反思感悟1.本题要先充分利用函数为减函数的性质,这正是此问题的切入点,如果先选用偶函数这一性质,将不能准确快速地得出m的值.2.对于与幂函数有关的综合性问题,一般涉及奇偶性与单调性问题,解决此类问题可分两步走:一是利用单调性来弄清指数的正负,二是利用奇偶性来确定幂函数的图像.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析延伸探究将本例中“(m∈Z)是偶函数,且在(0,+∞)内是减函数”改为“f(x)=x3m-9(m∈N+)的图像关于y轴对称,且在(0,+∞)内的函数值随x的增大而减小”,试求f(x).解:∵函数f(x)=x3m-9在(0,+∞)内是减函数,∴3m-90,即m3.又m∈N+,∴m=1或m=2.又函数图像关于y轴对称,∴3m-9为偶数,故m=1.∴f(x)=x-6.f(x)=𝑥𝑚2-𝑚-2当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析用待定系数法求幂函数解析式典例已知幂函数f(x)存在反函数f-1(x),且f-1(33)=33,则f(x)的解析式为()A.f(x)=x3B.f(x)=x-3C.f(x)=𝑥12D.f(x)=𝑥-12解析:设所求函数解析式为f(x)=xα.由f-1(33)=33,得f33=33,即33𝛼=33,3-𝛼2=332,所以α=-3,所以f(x)=x-3.答案:B当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析方法点睛幂函数解析式y=xα中仅有一个常数α,故只需要一个条件即可确定幂函数的解析式,这样的条件往往是已知f(m)=n或图像过点(m,n)等.通常利用待定系数法求解,先设出幂函数的解析式f(x)=xα,再利用已知条件列方程求出常数α的值.当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析变式训练已知幂函数,当x∈(0,+∞)时,y随x的增大而减小,求此幂函数的解析式.∴m2+m-5=1,即(m-2)(m+3)=0,∴m=2或m=-3.当m=2时,m2-2m-3=-3,y=x-3是幂函数,且满足当x∈(0,+∞)时,y随x的增大而减小;当m=-3时,m2-2m-3=12,y=x12是幂函数,但不满足当x∈(0,+∞)时,y随x的增大而减小,应舍去.∴y=x-3.y=(m2+m-5)𝑥𝑚2-2𝑚-3解:∵y=(m2+m-5)𝑥𝑚2-2𝑚-3是幂函数,当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析当堂检测1.幂函数的图像过点(2,4),则它的单调增区间是()A.(2,+∞)B.[0,+∞)C.(-∞,+∞)D.(-∞,0)解析:设f(x)=xα(α为常数),由2α=4,得α=2,所以f(x)=x2.故其单调增区间为[0,+∞).答案:B2.下列命题中,正确的是()A.当α=0时,函数y=xα的图像是一条直线B.幂函数的图像都经过(0,0)和(1,1)C.若幂函数y=xα(α为常数)是奇函数,则y=xα是定义域上的增函数D.幂函数的图像不可能出现在第四象限答案:D课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思维辨析