2019-2020学年九年级数学下册 第2章 圆 2.3 垂径定理教学课件 （新版）湘教版

教学课件数学九年级下册湘教版第2章圆2.3垂径定理（1）1、什么叫轴对称图形？2、圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条直径（过圆心的直线）。1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．你能发现图中有那些相等的线段和弧？为什么？CD为⊙O的直径CD⊥AB条件结论AE=BE⌒⌒AC=BC⌒⌒AD=BD垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦对的两条弧。应用垂径定理的书写步骤∵CD是直径,CD⊥AB,∴AM=BM,⌒⌒AC=BC,⌒⌒AD=BD.·OABCDE·OABCD└M是否符合垂径定理的条件，主要看两点：一是直径；二是要与弦垂直。注意几个基本图形：(1)、(2)、(3)、(4)在下列图形，符合垂径定理的条件吗？EOABDC(1)EOABC(2)EOABD(3)EOAB(4)EOABDC(5)EOABDC(6)EOABDC(7)例1如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。解：连结OA∴AE=AB=421∵OEAB于E.┴OE=3由勾股定理得：∴OA=√AE2+OE2=5圆心到弦的距离、半径、弦的一半构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。E·ABO37.47.2DCBAO18.7R-7.2R解决“赵州桥”问题：如图，OA=OC=R，OD=OC-CD=R-7.2AB=18.7AD2+OD2=OA2即：18.72+(R-7.2)2=R2R≈27.9(m)答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.3、已知：如图所示，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点。求证：AC=BD.··ABCDO证明：过O点，作OEAB┴E∴AE=BE，CE=DE,AE-CE=BE-DE,∴AC=BD4、已知⊙O的半径为13cm，该圆的弦AB∥CD，且AB=10cm，CD=24cm，求弦AB和弦CD之间的距离。O·ABCDEF解：如图，过O作OFAB，交AB于F，交CD于E，┴∴AB∥CD∴OECD┴在Rt∆OCE中，OE=5cm在Rt∆OAF中，OF=12cm∴EF=OF-OE=7cmCDE弦AB、CD在圆心两侧时，EF=OE+OF=17cm1．半径为4cm的⊙O中，弦AB=4cm,那么圆心O到弦AB的距离是。2√3cm2．⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的距离为3cm，则弦AB的长是。8cm3．半径为2cm的圆中，过半径中点且垂直于这条半径的弦长是。2√3cm4.弓形的弦长AB为24cm，弓形的高CD为8cm，则这弓形所在圆的半径为.13cmEBAOEBAOEOABDCABO1286、如图，AB是⊙O的弦，P是AB上一点，若AB=10cm，PB=4cm，OP=5cm，则⊙O的半径等于cm。7、已知，M是⊙O内一点，已知过点M的⊙O最长的弦为10cm，最短的弦长为8cm，则OM=_____cm.C735、如图，AC⊥BO，AC=8cm，BA=5cm，则⊙O的半径为，AC的弦心距为。625cm67cmCDBA9、求证：同圆中，两平行弦所夹得弧相等。·ODCBA已知，AB,CD是⊙O的两条弦，且AB∥CD，求证：AC=BD8、在直径为650毫米的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示。若油面宽AB＝600毫米，求油的最大深度。OAB·请围绕以下两个方面小结本节课：1、从知识上学习了什么？垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦对的两条弧。2、从方法上学习了什么？（1）垂径定理是圆中一个重要的结论,叙述语言要准确,一条直线只要满足①过圆心；②垂直于弦；则可得③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧。（2)垂径定理和勾股定理有机结合计算弦长、半径、弦心距等问题的方法，构造直角三角形（3）解决有关弦的问题时，经常①连结半径；②过圆心作一条与弦垂直的线段等辅助线，为应用垂径定理创造条件。第2章圆2.3垂径定理（2）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。结论（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧条件（1）过圆心（2）垂直于弦CD⊥AB,CD是直径,条件AM=BM,结论⌒⌒AD=BD.⑤⌒⌒AC=BC,④●OABCD└M探究一、AB是⊙O的一条弦（非直径），且AM=BM，过点M作直径CD.你发现图中有哪些等量关系?说说你的想法和理由.②CD⊥AB,由①CD是直径③AM=BM可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.●OCDMAB·ＯABDC（E）（不是直径）连接OA,OB,则OA=OB.∴△OAM≌△OBM.∴∠AMO=∠BMO.∴CD⊥AB∵⊙O关于直径CD对称,⌒⌒AC和BC重合,⌒⌒AD和BD重合.⌒⌒∴AC=BC,⌒⌒AD=BD,平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论1：探究二：AB是⊙O的一条弦,且AM=BM。且CD⊥AB于点M，CD与圆心有何位置关系？还有什么结论？为什么？②CD⊥AB于M,①CD是直径③AM=BM可推得⌒⌒④AC=BC,⌒⌒⑤AD=BD.弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。推论2：根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论找到本质：●OCMABD1、判断正误：（1）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧。（2）平分弦的直线，必定过圆心。（3）一条直线平分弦（这条弦不是直径），那么这条直线垂直这条弦。·ABCDO(1)·ABCDO(2)·ABCDO(3)（4）弦的垂直平分线一定是圆的直径。（5）平分弧的直线，平分这条弧所对的弦。（6）弦垂直于直径，这条直径就被弦平分。·ABCO(4)·ABCDO(5)·ABCDO(6)E2.已知A、B、C是⊙O上三点，且AB=AC，圆心O到BC的距离为3厘米，圆的半径为5厘米，求AB长。DD·OCBAC·OBA3.如图，已知圆O的直径AB与弦CD相交于G，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，且圆O的半径为10㎝，CD=16㎝，求AE-BF的长。·OGFEDCBAOD=3OB=5BD=4AD=8AB=4√5AB=2√5M解：连结OC，过点O作OM⊥CD于M，则CM=MD∵CD=16，CM=8，在Rt△OMC中，因OC=10∴OM=6∵AE⊥CD，BF⊥CD，OM⊥CD，∴AE∥OM∥BFAEOMAGOG=BFOMBGOG=AE-BEOMAG-BGOG==2OGOG=2AE-BF=2OM=124.如图，某地有一圆弧形拱桥，桥下水面宽为7.2米，拱顶高出水面2.4米。现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？NMBAODCFEHr如图，将问题转化为数学问题。AB=7.2，CD=2.4由垂径定理：AD=3.6HN=1.5设圆弧的半径OA为r，OD=r-2.4在Rt△OAD中，由勾股定理，得:r≈3.9（m）在Rt△ONH中，由勾股定理，得：OH=√ON2-NH2=√3.92-1.52=3.6∴DH=OH-OD=3.6-1.5=2.12∴此货船能顺利通过这座拱桥.1、判断：(1)垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.（）(2)平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.（）(3)经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（）(4)圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行.(5)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.（）2.已知：如图,⊙O中,弦AB∥CD,AB＜CD,直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.图中相等的线段有:.图中相等的劣弧有:..√√√·ODCBANMEFAE=EBCF=FD⌒⌒CN=ND.⌒⌒AC=BD.⌒⌒AM=BM.3、如图，点P是半径为5cm的⊙O内一点，且OP=3cm,则过P点的弦中，（1）最长的弦=cm（2）最短的弦=cm（3）弦的长度为整数的共有（）A、2条B、3条C、4条D、5条·OPBADCC4、如图，⊙O的直径为10，弦AB=8,P为AB上的一个动点，那么OP长的取值范围是。3cm≤OP≤5cm5、如图，点A、B是⊙O上两点，AB=8,点P是⊙O上的动点（P与A、B不重合）,连接AP、BP,过点O分别作OE⊥AP于E,OF⊥BP于F，EF=。·OBAPC4F·OBAEP1086、已知⊙O的半径为5cm，弦AB的长为8cm，求此弦的中点到这条弦所对的弧的中点的距离。·OBAEDE7、如图所示,⊙O的直径长4cm，C是AB的中点，弦AB、CD交于点P，CD=2√3cm，求∠APC的度数。·OEBACDPF8、如图，CD为圆O的直径，弦AB交CD于E，∠CEB=30°，DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。·OEDCBAFDE=2cm8cm∠APC=∠COF=60°由条件：DC=12，OC=6，OE=OC-EC=3∠CEB=30°=∠FEOOF=1.523√15AF=√OA2-OF2=√62-1.52=3√15AB=2AF=9.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10，HG=6，AH=4，求BE的长.·ODCBAFHGENM10、如图，在⊙O中，AB为⊙O的弦，C、D是直线AB上两点，且AC＝BD求证：△OCD为等腰三角形。E·OBADC11、已知：AB是⊙O直径，CD是弦，AE⊥CD，BF⊥CD，求证：EC＝DFDE·OCBAFBE=2M作OE⊥CD，AE=BE∵AC＝BD∴CE=BE∴△OCE≌△ODE.∴OC=OD作OM⊥CD，∵AE⊥CD，BF⊥CD∴AE∥OM∥BF∵OA=OB，∴EM=MF∵CM=MD，∴EC=DF1、垂径定理及推论：对于一个圆和一条直线来说，如果具备（1）过圆心（2）垂直于弦（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论2、垂径定理及其推论和勾股定理相结合，方程的思想来解决问题。·Odrh2a对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r、弓形高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外两个量，如图有：（1）r=d+h2a（2）r2=d2+()2