2019-2020学年高中数学 第一章 集合与函数概念 1.3.1 单调性与最大(小)值（第2课时）

第2课时函数的最大(小)值1.理解函数最大值和最小值的概念,明确定义中“任意”和“存在”表达的含义.2.能借助函数的图象和单调性,求一些简单函数的最值.3.能利用函数的最值解决有关的实际应用问题.1.最大值和最小值最大值最小值条件一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:对于任意的x∈I,都有f(x)≤Mf(x)≥M存在x0∈I,使得f(x0)=M结论称M是函数y=f(x)的最大值称M是函数y=f(x)的最小值几何意义f(x)图象上最高点的纵坐标f(x)图象上最低点的纵坐标知识拓展1.定义中的M是一个函数值,它是值域的一个元素,如函数f(x)=-x2(x∈R)的最大值为0,有f(0)=0.2.最大(小)值定义中的“任意”是说对定义域内的每一个值都必须满足不等式,即对于定义域内的全部元素,都有f(x)≤M(f(x)≥M)成立,也就是说,y=f(x)的图象不能位于直线y=M的上(下)方.3.最大(小)值定义中的“存在”是说定义域中至少有一个实数满足等式,也就是说y=f(x)的图象与直线y=M至少有一个交点.【做一做1】设函数f(x)=2x-1(0≤x1),则f(x)()A.有最大值,无最小值B.有最小值,无最大值C.既有最大值,又有最小值D.既无最大值,也无最小值解析:∵函数f(x)=2x-1在x∈[0,1)上单调递增,∴f(x)在x=0时取得最小值,无最大值.答案:B2.最值定义函数的最大值和最小值统称为函数的最值几何意义函数y=f(x)的最值是图象最高点或最低点的纵坐标说明函数的最值是在整个定义域内的性质归纳总结二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)在定义域R上,当a0时,最小值是𝑓-𝑏2𝑎,不存在最大值;当a0时,最大值是𝑓-𝑏2𝑎,不存在最小值.【做一做2】函数y=-x2+2x的最大值是.答案:1函数的最值与单调性的关系剖析(1)函数的单调性是其定义域的子集上的性质,是“局部”性质,而函数的最值是整个定义域上的性质,是“整体”性质.(2)若函数f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,则f(x)在区间[a,b]上的最小(大)值是f(a),最大(小)值是f(b).(3)若函数f(x)在区间[a,b]上是增(减)函数,在区间[b,c]上是减(增)函数,则f(x)在区间[a,c]上的最大(小)值是f(b),最小(大)值是f(a)与f(c)中较小(大)的一个.题型一题型二题型三题型四图象法求最值【例1】已知函数y=-|x-1|+2,画出函数的图象,确定函数的最值,并写出值域.分析:讨论x与1的大小,化函数f(x)为分段函数.解:y=-|x-1|+2=3-𝑥,𝑥≥1,𝑥+1,𝑥1,图象如图所示,由图象知,函数y=-|x-1|+2的最大值为2,没有最小值,所以其值域为(-∞,2].反思图象法求函数y=f(x)的最值的步骤:(1)画出函数y=f(x)的图象;(2)依据函数最值的几何意义,借助图象写出最值.题型五题型一题型二题型三题型四(1)画出f(x)的图象;(2)利用图象找出该函数的最大值和最小值.解:(1)函数f(x)的图象如图所示.(2)由图象可知f(x)的最小值为f(1)=1,无最大值.【变式训练1】已知函数f(x)=1𝑥,0𝑥1,𝑥,1≤𝑥≤2.题型五题型一题型二题型三题型四利用函数的单调性求最值【例2】已知函数f(x)=x+4𝑥,𝑥∈[1,3].(1)判断f(x)在区间[1,2]和[2,3]上的单调性;(2)根据f(x)的单调性写出f(x)的最值.分析:(1)证明单调性的流程为:取值→作差→变形→判断符号→结论;(2)借助最值与单调性的关系,写出最值.题型五题型一题型二题型三题型四解:(1)设x1,x2是区间[1,3]上的任意两个实数,且x1x2,即f(x)在区间[1,2]上是减函数.当2≤x1x2≤3时,4x1x29,∴04𝑥1𝑥21.∴1−4𝑥1𝑥20.∴f(x1)f(x2),即f(x)在区间[2,3]上是增函数.则f(x1)-f(x2)=x1-x2+4𝑥1−4𝑥2=(𝑥1−𝑥2)1-4𝑥1𝑥2.∵x1x2,∴x1-x20.当1≤x1x2≤2时,1x1x24,∴4𝑥1𝑥21.∴1−4𝑥1𝑥20.∴𝑓(𝑥1)𝑓(𝑥2),题型五题型一题型二题型三题型四(2)由(1)知f(x)的最小值为f(2),f(2)=2+42=4.又f(1)=5,f(3)=3+43=133𝑓(1),∴f(x)的最大值为5.反思利用函数的单调性求函数最值的步骤:(1)判断函数f(x)的单调性;(2)借助最值与单调性的关系写出最值.题型五题型一题型二题型三题型四【变式训练2】求函数f(x)=𝑥𝑥-1在区间2,5上的最大值与最小值.解:任取2≤x1x2≤5,则f(x2)-f(x1)=𝑥2𝑥2-1−𝑥1𝑥1-1=𝑥1-𝑥2(𝑥2-1)(𝑥1-1),∵2≤x1x2≤5,∴x1-x20,x2-10,x1-10.∴f(x2)-f(x1)0.∴f(x2)f(x1).∴f(x)=𝑥𝑥-1在区间[2,5]上是减函数.∴f(x)max=f(2)=22-1=2,f(x)min=f(5)=55-1=54.题型五题型一题型二题型三题型四题型五二次函数的最值问题【例3】已知函数f(x)=x2-2ax+2,x∈[-1,1],求函数f(x)的最小值.分析:抛物线开口方向确定,对称轴不确定,需根据对称轴的不同情况分类讨论.可画出二次函数相关部分的简图,用数形结合法解决问题.题型一题型二题型三题型四题型五解:f(x)=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2的图象开口向上,且对称轴为直线x=a.当a≥1时,函数图象如图(1)所示,函数f(x)在区间[-1,1]上是减函数,最小值为f(1)=3-2a;当-1a1时,函数图象如图(2)所示,函数f(x)在区间[-1,1]上先减后增,最小值为f(a)=2-a2;当a≤-1时,函数图象如图(3)所示,函数f(x)在区间[-1,1]上是增函数,最小值为f(-1)=3+2a.题型一题型二题型三题型四题型五因此,f(x)的最小值为3-2𝑎,𝑎≥1,2-𝑎2,-1𝑎1,3+2𝑎,𝑎≤-1.反思1.求二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出y=f(x)的草图,再根据图象的增减性进行研究.特别要注意二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系,它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据.二次函数图象的对称轴与所给区间的位置关系通常有三种:(1)对称轴在所给区间的右侧;(2)对称轴在所给区间的左侧;(3)对称轴在所给区间内.题型一题型二题型三题型四题型五2.对于二次函数f(x)=a(x-h)2+k(a0)在区间[m,n]上的最值可作如下讨论:对称轴x=h与[m,n]的位置关系f(x)的单调性最大值最小值hm在区间[m,n]上单调递增f(n)f(m)hn在区间[m,n]上单调递减f(m)f(n)m≤h≤nm≤hm+n2在区间[m,h]上单调递减,在区间(h,n]上单调递增f(n)f(h)h=m+n2f(m)或f(n)f(h)m+n2ℎ≤nf(m)f(h)题型一题型二题型三题型四题型五【延伸探究】在本例条件下,求函数f(x)的最大值.解:f(x)=x2-2ax+2=(x-a)2+2-a2的图象开口向上,且对称轴为直线x=a.题型一题型二题型三题型四题型五当a≥1时,函数图象如图(1)所示,函数f(x)在区间[-1,1]上是减函数,最大值为f(-1)=3+2a;当0≤a1时,函数图象如图(2)所示,可知函数f(x)在区间[-1,1]上的最大值为f(-1)=3+2a;当-1a0时,函数图象如图(3)所示,可知函数f(x)在区间[-1,1]上的最大值为f(1)=3-2a;当a≤-1时,函数图象如图(4)所示,可知函数f(x)在区间[-1,1]上是增函数,最大值为f(1)=3-2a.因此,f(x)的最大值为3+2𝑎,𝑎≥0,3-2𝑎,𝑎0.题型一题型二题型三题型四题型五应用问题【例4】将进货单价为40元的商品按50元一个出售时,能卖出500个.已知这种商品每涨价1元,其销售量就减少10个,为得到最大利润,则售价应为多少元?最大利润是多少?分析:设出售价及利润,建立利润与售价的函数解析式,具体如下:题型一题型二题型三题型四题型五解:设售价为x元,利润为y元,则单个涨价(x-50)元,销量减少10(x-50)个.y=(x-40)[500-10(x-50)]=-10(x-70)2+9000,当x=70时,ymax=9000,即售价为70元时,利润最大为9000元.反思解应用题要弄清题意,从实际出发,引进数学符号,建立数学模型,列出函数解析式,分析函数的性质,从而解决问题,这里要注意自变量的取值范围.在实际应用问题中,最大利润、用料最省等问题常转化为求函数的最值来解决.题型一题型二题型三题型四题型五易错易混题易错点求最值时忽视单调性致错【例5】若函数f(x)=x2-6x+m在区间[2,+∞)内的最小值是-3,则实数m的值为.错解∵f(x)在区间[2,+∞)内单调递增,∴f(x)的最小值为f(2)=4-12+m=m-8,∴m-8=-3,∴m=5.错因分析:在求函数最值时,只有判断出函数的单调性,才能确定函数最值在何处取得,不能直接代入区间的端点来求.如本例函数在区间[2,+∞)内先减后增,故最小值不在x=2处取得.题型一题型二题型三题型四题型五正解:函数f(x)=x2-6x+m图象的对称轴是x=3,开口向上,所以函数f(x)在区间[2,3]上单调递减,在区间[3,+∞)内单调递增,故函数在x=3处取得最小值.由f(3)=32-6×3+m=-3,解得m=6.故实数m的值为6.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练4】已知函数f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若f(x)有最小值-2,则f(x)的最大值为.解析:函数f(x)=-x2+4x+a=-(x-2)2+4+a,x∈[0,1],且函数有最小值-2.故当x=0时,函数有最小值f(0)=a=-2;当x=1时,函数有最大值f(1)=-1+4+a=1.答案:1