2019-2020学年高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.4.1 对数函数的概念 4.4.2

-1-4.4.1对数函数的概念4.4.2对数函数的图象和性质首页课标阐释思维脉络1.掌握对数函数的概念,并会判断一些函数是否是对数函数.2.初步掌握对数函数的图象及性质.3.能利用对数函数的性质解决与对数函数有关的定义域、值域、定点等问题.4.能初步利用对数函数解决一些相关的实际问题.课前篇自主预习一二三一、对数函数的定义1.我们已经知道y=2x是指数函数,那么y=log2x(x0)是否表示y是x的函数?为什么?提示:是.由对数的定义可知y=log2x(x0)⇔x=2y,结合指数的运算可知,在定义域{x|x0}内对于每一个x都有唯一的y与之对应,故y=log2x(x0)表示y是x的函数,其定义域为(0,+∞).2.填空一般地,函数y=logax(a0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,定义域是(0,+∞).课前篇自主预习一二三3.判断一个函数是不是对数函数的依据是什么?提示:对数函数的定义与指数函数类似,只有满足①函数解析式右边的系数为1;②底数为大于0且不等于1的常数;③真数仅有自变量x这三个条件,才是对数函数.如:y=2logax;y=loga(4-x);y=logax2都不是对数函数.4.做一做:下列函数是对数函数的是()A.y=logax+2(a0,且a≠1,x0)B.y=log2(x0)C.y=logx3(x0,且x≠1)D.y=log6x(x0)答案:D𝑥课前篇自主预习一二三二、对数函数的图象和性质1.(1)在同一坐标系中,函数y=log2x与y=的图象如图所示.你能描述一下这两个函数的相关性质(定义域、值域、单调性、奇偶性)吗?log12x提示:函数定义域值域单调性奇偶性y=log2x{x|x0}R增函数非奇非偶y=log12x{x|x0}R减函数非奇非偶课前篇自主预习一二三(2)从图象上看,函数y=log2x与y=log12x的图象有何关系?提示:关于x轴对称.(3)在同一坐标系中,对数函数y=log2x,y=log5x,y=log12x,y=log15x的图象如图所示.从图中看,对数函数图象的分布与底数有什么关系?提示:在直线x=1的右侧,a1时,a越大,图象越靠近x轴,0a1时,a越小,图象越靠近x轴.课前篇自主预习一二三2.填表对数函数的图象和性质a10a1图象性质定义域(0,+∞)值域R过定点(1,0),即当x=1时,y=0单调性在(0,+∞)上是增函数在(0,+∞)上是减函数奇偶性非奇非偶函数课前篇自主预习一二三3.做一做(1)若函数y=logax的图象如图所示,则a的值可能是()A.0.5B.2C.eD.π(2)下列函数中,在区间(0,+∞)内不是增函数的是()A.y=5xB.y=lgx+2C.y=x2+1D.y=(3)函数的f(x)=loga(x-2)-2x的图象必经过定点.解析:(1)∵函数y=logax在(0,+∞)上单调递减,∴0a1,只有选项A符合题意.(3)由对数函数的性质可知,当x-2=1,即x=3时,y=-6,即函数恒过定点(3,-6).答案:(1)A(2)D(3)(3,-6)log12x课前篇自主预习一二三三、反函数1.函数y=log2x与y=2x的定义域和值域之间有什么关系?其图象之间是什么关系?提示:函数y=log2x与y=2x的定义域和值域之间是互换的,两者的图象关于直线y=x对称.2.填空对数函数y=logax(a0且a≠1)和指数函数y=ax(a0且a≠1)互为反函数.它们的图象关于直线y=x对称.课前篇自主预习一二三3.做一做(2)函数g(x)=log8x的反函数是.(3)判断正误:若函数y=f(x)的图象经过点(a,b),则其反函数的图象过(b,a).()(1)函数f(x)=23𝑥的反函数是.答案:(1)f(x)=log23x(2)g(x)=8x(3)课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五对数函数的概念例1(1)已知对数函数f(x)=(m2-3m+3)·logmx,则m=.(2)已知对数函数f(x)的图象过点4,12.①求f(x)的解析式;②解方程f(x)=2.分析:(1)根据对数函数的形式定义确定参数m所满足的条件求解即可;(2)根据已知设出函数解析式,代入点的坐标求出对数函数的底数;然后利用指对互化解方程.思想方法随堂演练课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五(1)解析:由对数函数的定义可得m2-3m+3=1,即m2-3m+2=0,也就是(m-1)(m-2)=0,解得m=1或m=2.又因为m0,且m≠1,所以m=2.答案:2(2)解:①由题意设f(x)=logax(a0,且a≠1),由函数图象过点4,12可得f(4)=12,即loga4=12,所以4=𝑎12,解得a=16,故f(x)=log16x.②方程f(x)=2,即log16x=2,所以x=162=256.思想方法随堂演练课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五反思感悟1.对数函数是一个形式定义:2.对数函数解析式中只有一个参数a,用待定系数法求对数函数解析式时只须一个条件即可求出.思想方法随堂演练课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五变式训练1(1)若函数f(x)=log(a+1)x+(a2-2a-8)是对数函数,则a=.(2)点A(8,-3)和B(n,2)在同一个对数函数图象上,则n=.解析:(1)由题意可知𝑎2-2𝑎-8=0,𝑎+10,𝑎+1≠1,解得a=4.(2)设对数函数为f(x)=logax(a0,且a≠1).则由题意可得f(8)=-3,即loga8=-3,所以a-3=8,即a=8-13=12.所以f(x)=log12x,故由B(n,2)在函数图象上可得f(n)=log12n=2,所以n=122=14.答案:(1)4(2)14思想方法随堂演练课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练与对数函数有关的定义域、值域问题例2(1)函数f(x)=ln(x2-x)的定义域为()A.(-∞,0)∪(1,+∞)B.(-∞,0]∪[1,+∞)C.(0,1)D.[0,1](2)已知函数f(x)=的值域为[-1,1],则函数f(x)的定义域是.2log12x课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练解析:(1)由题意得x2-x0,解得x1或x0,故函数的定义域是(-∞,0)∪(1,+∞).故选A.答案:(1)A(2)22,2(2)∵已知函数f(x)=2log12x的值域为[-1,1],∴-1≤2log12x≤1,即log1212-1≤2log12x≤log12121,化简可得12≤x2≤2.再由x0可得22≤x≤2,故函数f(x)的定义域为22,2.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练反思感悟定义域问题注意事项(1)要遵循以前已学习过的求定义域的方法,如分式分母不为零,偶次根式被开方式大于或等于零等.(2)遵循对数函数自身的要求:一是真数大于零;二是底数大于零且不等于1;三是按底数的取值应用单调性,有针对性地解不等式.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练延伸探究本例(1)中的函数变为“f(x)=1ln(𝑥2-𝑥)”,结论又如何?解:要使f(x)有意义,则需𝑥2-𝑥0,𝑥2-𝑥≠1,解得x1-52或1-52x0或1x1+52或x1+52.∴该函数的定义域为-∞,1-52∪1-52,0∪1,1+52∪1+52,+∞.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练对数函数的图象例3函数y=log2x,y=log5x,y=lgx的图象如图所示.(1)说明哪个函数对应于哪个图象,并说明理由;(2)在如图的平面直角坐标系中分别画出(3)从(2)的图中你发现了什么?y=log12x,y=log15x,y=log110x的图象;课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练解:(1)①对应函数y=lgx,②对应函数y=log5x,③对应函数y=log2x.这是因为当底数全大于1时,在x=1的右侧,底数越大的函数图象越靠近x轴.(2)在题图中的平面直角坐标系中分别画出y=log12x,y=log15x,y=log110x的图象如图所示.(3)从(2)的图中可以发现:y=lgx与y=log110x,y=log5x与y=log15x,y=log2x与y=log12x的图象分别关于x轴对称.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练反思感悟对数函数图象的变化规律:1.对于几个底数都大于1的对数函数,底数越大,函数图象向右的方向越接近x轴;对于几个底数都大于0且小于1的对数函数,底数越大,函数图象向右的方向越远离x轴.以上规律可总结成x1时“底大图低”.实际上,作出直线y=1,它与各图象交点的横坐标即为各函数的底数的大小,如图所示.2.牢记特殊点:对数函数y=logax(a0,且a≠1)的图象经过(1,0),(a,1),1𝑎,-1.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练变式训练2作出函数y=|lg(x-1)|的图象,并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间.解:先画出函数y=lgx的图象(如图①).再将该函数图象向右平移1个单位长度得到函数y=lg(x-1)的图象(如图②).图①图②课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练最后把y=lg(x-1)的图象在x轴下方的部分对称翻折到x轴上方(原来在x轴上方的部分不变),即得出函数y=|lg(x-1)|的图象(如图③).图③由图易知其定义域为(1,+∞),值域为[0,+∞),单调递减区间为(1,2],单调递增区间为(2,+∞).课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练利用对数函数的性质比较大小例4比较下列各组中两个值的大小:(1)log31.9,log32;(2)log23,log0.32;(3)logaπ,loga3.141(a0,且a≠1).分析:(1)构造函数f(x)=log3x,利用其单调性比较大小;(2)分别比较两个对数与0的大小;(3)分类讨论底数a的取值范围,再利用单调性比较大小.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练解:(1)(单调性法)因为f(x)=log3x在(0,+∞)上是增函数,且1.92,所以f(1.9)f(2),即log31.9log32.(2)(中间量法)因为log23log21=0,log0.32log0.31=0,所以log23log0.32.(3)(分类讨论法)当a1时,函数y=logax在定义域内是增函数,则有logaπloga3.141;当0a1时,函数y=logax在定义域内是减函数,则有logaπloga3.141.综上所述,当a1时,logaπloga3.141;当0a1时,logaπloga3.141.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练反思感悟求复合函数的单调区间的步骤1.求出函数的定义域;2.将复合函数分解为基本初等函数;3.分别确定各个基本初等函数的单调性;4.根据复合函数原理求出复合函数的单调区间.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四探究五思想方法随堂演练变式训练3比较下列各组中两个值的大小:(1)ln0.3,ln2;(2)loga3.1,loga5.2(a0,且a≠1);(3)log30.2,log40.2;(4)log3π,logπ3.解:(1)因为函数y=lnx在定义域内是增函数,且0.32,所以ln0.3ln2.(2)当a1时,函数y=logax在(0,+∞)上是增函数,又3.15.2,所以loga3.1loga5.2;当0a1时,函数y=logax在(0,+∞)上是减函数,又3.15.2,所以loga3.1loga5.2.故当a1时,loga3.1loga5.2;当0a1时,loga3