2019-2020学年高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.3.2 对数的运算课件 新人教A版必

-1-4.3.2对数的运算首页课标阐释思维脉络1.掌握对数的运算性质,并能运用运算性质化简、求值.2.了解对数的换底公式及其变形的应用.3.初步掌握对数在生活中的应用.课前篇自主预习一二一、对数的运算性质1.(1)指数的运算法则有哪些?提示:①aras=ar+s(a0,r,s∈Q);②𝑎𝑟𝑎𝑠=ar-s(a0,r,s∈Q);③(ar)s=ars(a0,r,s∈Q);④(ab)r=arbr(a0,b0,r∈Q).(2)计算log24,log28及log232的值,你能分析一下三者存在怎样的运算关系吗?提示:∵log24=2,log28=3,log232=5,∴log24+log28=log2(4×8)=log232;log232-log28=log2328=log24;log232-log24=log2324=log28.课前篇自主预习一二(3)计算lg10,lg100,lg1000及lg104的值,你能发现什么规律?提示:lg10=1,lg100=lg102=2,lg1000=lg103=3,lg104=4,可见lg10n=nlg10=n.2.填表对数的运算性质条件a0,且a≠1,M0,N0性质loga(M·N)=logaM+logaNlogaMN=logaM-logaNlogaMn=nlogaM(n∈R)课前篇自主预习一二3.做一做(1)化简2lg5+lg4-的结果为()A.0B.2C.4D.6解析:原式=2lg5+2lg2-2=2(lg5+lg2)-2=0.答案:A(2)判断正误:log3[(-4)×(-5)]=log3(-4)+log3(-5).()答案:×5𝑙𝑜𝑔52课前篇自主预习一二二、换底公式1.(1)假设log25log23=x,则log25=xlog23,即log25=log23x,从而有3x=5,进一步可得到什么结论?提示:把3x=5化为对数式为log35=x,又因为x=log25log23,所以得出log35=log25log23的结论.(2)由问题(1)你能猜测出log𝑐𝑏log𝑐𝑎与哪个对数相等吗?如何证明这个结论?证明如下:令log𝑐𝑏log𝑐𝑎=x⇒logcb=xlogca⇒logcb=logcax⇒b=ax⇒x=logab⇒log𝑐𝑏log𝑐𝑎=logab.提示:结论为log𝑐𝑏log𝑐𝑎=logab.课前篇自主预习一二2.做一做(2)化简log47·log74=.(3)已知lg2=a,lg3=b,用a,b表示log125=.(1)若log513·log36·log6x=2,则x等于()A.9B.19C.25D.125解析:(1)由换底公式,得-lg3lg5·lg6lg3·lg𝑥lg6=2.lgx=-2lg5,x=5-2=125.(2)log47·log74=log77log74·log74=1log74·log74=1.(3)log125=lg5lg12=1-lg2lg3+2lg2=1-𝑎2𝑎+𝑏.答案:(1)D(2)1(3)1-𝑎2𝑎+𝑏课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法对数运算性质的应用例1计算下列各式的值:(1)log2796+log224-12log284;(2)lg52+23lg8+lg5·lg20+(lg2)2.分析:利用对数的运算性质进行计算.解:(1)(方法一)原式=log27×2496×84=log212=-12.(方法二)原式=12log2796+log2(23×3)-12log2(22×3×7)=12log27-12log2(25×3)+3+log23-1-12log23-12log27=-12×5-12log23+2+12log23=-52+2=-12.随堂演练课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法(2)原式=2lg5+2lg2+lg5×(1+lg2)+(lg2)2=2(lg5+lg2)+lg5+lg2(lg5+lg2)=2+lg5+lg2=2+1=3.反思感悟对于底数相同的对数式的化简、求值,常用的方法(1)“收”,将同底的两个对数的和(差)收成积(商)的对数;(2)“拆”,将积(商)的对数拆成对数的和(差).对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式,要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯.lg2+lg5=1在计算对数值时会经常用到,同时注意各部分变形要化到最简形式.随堂演练课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法变式训练1(1)log327+lg25+lg4+7log712+(-9.8)0.(2)2log32-log3329+log38-52log53.随堂演练解:(1)log327+lg25+lg4+7log712+(-9.8)0=log3332+lg52+lg22+12+1=32+2lg5+2lg2+32=3+2(lg5+lg2)=3+2lg10=3+2×1=5.(2)原式=2log32-(log325-log332)+log323-5log59=2log32-5log32+2log33+3log32-9=2-9=-7.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法换底公式的应用例2计算下列各式的值:(1)log89·log2732;(2)(log43+log83)lg2lg3.分析:用换底公式将对数化为同底的对数后再化简求值.解:(1)原式=lg9lg8·lg32lg27=2lg33lg2·5lg23lg3=109.(2)原式=lg3lg4+lg3lg8lg2lg3=lg32lg2+lg33lg2·lg2lg3=lg32lg2·lg2lg3+lg33lg2·lg2lg3=12+13=56.随堂演练课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法反思感悟1.换底公式的本质是化异底为同底,主要用途是将一般对数化为常用对数或自然对数,解决一般对数的求值问题.2.利用换底公式计算、化简、求值的一般思路:随堂演练课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法变式训练2化简:(1)log23·log36·log68;(2)(log23+log43)(log32+log274).解:(1)原式=log23·log26log23·log28log26=log28=3.(2)原式=log23+12log23×log32+23log32=32log23×53log32=52log23×log32=52log23×1log23=52.随堂演练课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法对数运算性质的综合应用例3(1)已知log189=a,18b=5,求log3645.(用a,b表示)分析:(1)先利用指数式和对数式的互化公式,将18b=5化成log185=b,再利用换底公式,将log3645化成以18为底的对数,最后进行对数的运算.(2)用对数式表示出x,y,z后再代入所求(证)式子进行求解或证明.(2)若3x=4y=36,求2𝑥+1𝑦的值.随堂演练课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法解:(1)∵18b=5,∴b=log185.∴log3645=log1845log1836=log18(5×9)log18(2×18)=log185+log189log182+log1818=𝑎+𝑏1+log182=𝑎+𝑏1+log18189=𝑎+𝑏2-log189=𝑎+𝑏2-𝑎.(2)∵3x=4y=36,∴x=log336,y=log436,∴2𝑥=2log336=2log3636log363=2log363=log369,1𝑦=1log436=1log3636log364=log364.∴2𝑥+1𝑦=log369+log364=log3636=1.反思感悟对数概念的实质是给出了指数式与对数式之间的关系,因此如果遇到条件中涉及指数幂的连等式时,常引入辅助变量,利用指数与对数间相互转化的关系,简化求解过程.随堂演练课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法变式训练3(1)已知log325=q,log43=p,则lg2=()A.𝑝𝑞𝑝+𝑞B.11+𝑝𝑞C.1+𝑝𝑞𝑝+𝑞D.𝑝𝑞1+𝑝𝑞解析:∵pq=log43·log325=lg3lg4·lg25lg3=2lg52lg2=1-lg2lg2=1lg2-1,∴1+pq=1lg2,∴lg2=11+𝑝𝑞.答案:B随堂演练课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法(2)已知3x=4y=6z,求证:1𝑥+12𝑦=1𝑧.证明:设3x=4y=6z=m,则x=log3m,y=log4m,z=log6m.所以1𝑥=1log3𝑚=logm3,1𝑦=1log4𝑚=logm4,1𝑧=1log6𝑚=logm6.故1𝑥+12𝑦=logm3+12logm4=logm3+logm412=logm3+logm2=logm(3×2)=logm6=1𝑧.随堂演练课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练换底公式在实际中的应用例4分贝是计量声音强度相对大小的单位.物理学家引入了声压级来描述声音的大小:把一很小的声压P0=2×10-5帕作为参考声压,把所要测量的声压P与参考声压P0的比值取常用对数后乘20得到的数值称为声压级.声压级是听力学中最重要的参数之一,单位是分贝(dB).分贝值在60以下为无害区,说明声音环境优良,60~110为过渡区,110以上为有害区.(1)试列出分贝y与声压P的函数关系式.(2)某地声压P=0.002帕,则该地为以上所说的什么区?声音环境是否优良?(3)假若某精彩的文艺节目引起了观众多次响亮的掌声,某记者用仪器测得其中一次掌声的音量达到了90分贝,试求此时会场内的声压是多少.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练解:(1)由已知得y=20lg𝑃𝑃0(其中P0=2×10-5).(2)当P=0.002时,y=20lg0.0022×10-5=20lg102=40(分贝).由已知条件知40分贝小于60分贝,所以此地为噪音无害区,环境优良.(3)由题意,得90=20lg𝑃𝑃0,则𝑃𝑃0=104.5,所以P=104.5P0=104.5×2×10-5=2×10-0.5≈0.63(帕),即此时会场内的声压约是0.63帕.课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练反思感悟解决对数应用题的一般步骤课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练变式训练4一台机器原价20万元,由于磨损,该机器每年比上一年的价值降低8.75%,问经过多少年这台机器的价值为8万元?(lg2≈0.3010,lg9.125≈0.9602)解:设经过x年,这台机器的价值为8万元,则8=20(1-0.0875)x,即0.9125x=0.4,两边取以10为底的对数,所以约经过10年这台机器的价值为8万元.得x=lg0.4lg0.9125=lg4-1lg9.125-1=2lg2-1lg9.125-1≈10(年).课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练对数方程的求解方法典例解下列方程:(2)lgx+2log(10x)x=2;(3)(2x2-3x+1)=1.解得x=15或x=-5(舍去),经检验x=15是原方程的解.(1)12(lgx-lg3)=lg5-12lg(x-10);解:(1)首先,方程中的x应满足x10;其次,原方程可化为lg𝑥3=lg5𝑥-10,∴𝑥3=5𝑥-10,即x2-10x-75=0.log𝑥2−1课堂篇探究学习探究一探究二探究三探究四思想方法随堂演练(2)首先,x0且x≠110;其次,原方程可化为lgx+2lg𝑥1+lg𝑥=2,即lg2x+lgx-2=0.解得lgx1=1,lgx2=-2.∴x1=10,x2=1100.经检验x1=10,x2=1100都是原方程的解.(3)首先,x2-10,且x2-1≠1,即x1或x-1,且x≠±2.又2x2-3x+10,得x12或x1.综上,x1或x-