2019-2020学年高中数学 第四章 数系的扩充与复数的引入 2 复数的四则运算 2.1 复数的加

-1-§2复数的四则运算-2-2.1复数的加法与减法目标导航1.理解并掌握复数代数形式的加、减运算.2.能熟练进行复数的加、减运算.知识梳理1.复数的加法(1)复数的加法法则设a+bi和c+di是任意两个复数,①数学表达式:(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.②语言叙述:两个复数的和仍然是一个复数,它的实部是原来两个复数的实部的和,它的虚部是原来两个复数的虚部的和.(2)复数加法的运算律设复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R).①交换律:z1+z2=z2+z1.②结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).知识梳理【做一做1】已知复数z1=3+4i,z2=3-4i,则z1+z2=()A.6B.8iC.6+8iD.6-8i解析:z1+z2=(3+4i)+(3-4i)=(3+3)+(4-4)i=6.答案:A【做一做2】设a,b∈R,(5+bi)+(b-3i)+(-2+ai)=0,则复数a+bi的模为()A.0B.6C.35D.23解析:∵a,b∈R,(5+bi)+(b-3i)+(-2+ai)=(5+b-2)+(b-3+a)i=0,答案:C∴5+𝑏-2=0,𝑏-3+𝑎=0,∴𝑎=6,𝑏=-3.∴|a+bi|=62+(-3)2=35.知识梳理2.复数的减法法则设a+bi和c+di是任意两个复数,(1)数学表达式:(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.(2)语言叙述:两个复数的差仍然是一个复数,它的实部是原来两个复数的实部的差,它的虚部是原来两个复数的虚部的差.知识梳理【做一做3】若复数z满足z+i-3=3-i,则z=()A.0B.2iC.6D.6-2i解析:∵z+i-3=3-i,∴z=(3-i)-(i-3)=(3+3)+(-1-1)i=6-2i.故选D.答案:D【做一做4】已知复数z1=3+2i,z2=1-3i,则复数z=z1-z2在复平面内对应的点Z位于复平面内的()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:∵z=z1-z2=(3+2i)-(1-3i)=(3-1)+[2-(-3)]i=2+5i,∴点Z(2,5)位于复平面内的第一象限.答案:A典例透析题型一题型二题型三题型四复数的加法运算【例1】计算:(1)(3+5i)+(3-4i);(3)(1+2i)+(1-2i)+(-2+i).分析:利用复数的加法法则和运算律计算.解:(1)(3+5i)+(3-4i)=(3+3)+(5-4)i=6+i.(3)(1+2i)+(1-2i)+(-2+i)=(1+1-2)+(2-2+1)i=i.反思复数加法相当于多项式中的合并同类项,按法则进行计算即可.(2)(-1+2i)+(1−2i);(2)(-1+2i)+(1−2i)=(−1+1)+(2−2)i=0.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练1】计算:(1)(-3-2i)+(4-5i);(2)(5-6i)+(-2-2i)+(2+2i).解:(1)(-3-2i)+(4-5i)=(-3+4)+[(-2)+(-5)]i=1-7i.(2)原式=[5+(-2)+2]+[(-6)+(-2)+2]i=5-6i.典例透析题型一题型二题型三题型四复数的减法运算【例2】计算:(1)(-3+2i)-(4-5i);(2)5-(3+2i);(3)5i-[(3+4i)-(-1+3i)];(4)(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a,b∈R).分析:利用复数的减法法则计算.解:(1)原式=[(-3)-4]+[2-(-5)]i=-7+7i.(2)原式=(5-3)+(0-2)i=2-2i.(3)原式=5i-(4+i)=-4+4i.(4)原式=(a-2a)+[b-(-3b)-3]i=-a+(4b-3)i.反思两个复数相减,就是把实部与实部、虚部与虚部分别相减,可类比多项式中的合并同类项.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练2】已知复数z1=2+ai,z2=b-3i,a,b∈R,当z1-z2=(1-i)+(1+2i)时,求a,b的值.解:∵z1=2+ai,z2=b-3i,a,b∈R,∴z1-z2=(2+ai)-(b-3i)=(2-b)+(a+3)i.又∵z1-z2=(1-i)+(1+2i)=2+i,∴2-𝑏=2,𝑎+3=1,∴𝑎=-2,𝑏=0.典例透析题型一题型二题型三题型四复数的加、减运算分析:先求得z1+z2,再根据复数为虚数求出m的取值范围.【例3】设m∈R,复数z1=(3m+2)+(m-2)i,z2=-2𝑚+3𝑚+2+(𝑚2−4𝑚−2)i,若𝑧1+𝑧2为虚数,求𝑚的取值范围.解:z1+z2=(3m+2)+(m-2)i+-2𝑚+3𝑚+2+(𝑚2−4𝑚−2)i=3𝑚+2+-2𝑚+3𝑚+2+(𝑚2−3𝑚−4)i=3𝑚2+6𝑚+7𝑚+2+(𝑚2−3𝑚−4)i.因为z1+z2为虚数,则𝑚2-3𝑚-4≠0,𝑚+2≠0,所以m的取值范围是{m|m∈R,m≠4,且m≠-2,且m≠-1}.典例透析题型一题型二题型三题型四反思复数的加法、减法运算,就是把实部与实部相加减作实部,虚部与虚部相加减作虚部.同时,还要弄清复数的有关概念.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练3】计算:(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i);(2)13+12i+(2−i)−43-32i.解:(1)(1+2i)+(3-4i)-(5+6i)=(4-2i)-(5+6i)=-1-8i.(2)13+12i+(2−i)−43-32i=13+12i−43-32i+(2−i)=13-43+12+32i+(2−i)=(-1+2i)+(2-i)=(-1+2)+(2-1)i=1+i.典例透析题型一题型二题型三题型四易错辨析易错点对复数减法的几何意义理解不到位【例4】复数z满足|z-1-i|=1,求|z+1+i|的最小值.错解:复数z对应的点的轨迹是以点(1,-1)为圆心,以1为半径的圆,|z+1+i|表示圆上的点到复数1+i对应的点(1,1)的距离.所以|z+1+i|的最小值为(1-1)2+(1+1)2−1=1.错因分析:上述解法中错用了复数减法的几何意义,其实|z-1-i|表示复数z对应的点到复数1+i对应的点的距离,而|z+1+i|表示复数z与-1-i对应点间的距离.典例透析题型一题型二题型三题型四正解:∵|z-1-i|=1,∴由复数减法的几何意义得z对应点的轨迹是以点(1,1)为圆心,1为半径的圆,而|z+1+i|则是圆上的点到点(-1,-1)的距离,∴|z+1+i|min=(1+1)2+(1+1)2−1=22−1.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练4】复数z的模为1,求|z-1-i|的最大值和最小值.解:由题设可知|z|=1,其表示以原点为圆心,1为半径的圆,|z-1-i|=|z-(1+i)|表示圆上的点到点A(1,1)的距离.由于点A到原点的距离是2,因此圆上的点到点A(1,1)的最大距离是2+1,最小距离是2−1.因此|z-1-i|的最大值为2+1,最小值为2−1.12341.(1+2i)+12-32i−-12+52i等于()A.-2iB.2-2iC.2+2iD.2答案:B12342.若z1=2+i,z2=3+ai(a∈R),且z1+z2所对应的点在实轴上,则a的值为()A.3B.2C.1D.-1解析:z1+z2=2+i+3+ai=(2+3)+(1+a)i=5+(1+a)i.∵z1+z2所对应的点在实轴上,∴1+a=0.∴a=-1.答案:D12343.已知复数z=z1-z2在复平面内对应的点位于第二象限,其中z1=a+b+23i,𝑧2=𝑏+3i,且|𝑧|=2,则复数𝑧等于_______________.解析:由题意,得z=z1-z2=a+3i.∵𝑧=𝑎+3i在复平面内对应的点位于第二象限,∴a0,由|z|=2,得3+𝑎2=2,解得a=-1或1(舍去).∴z=-1+3i.答案:-1+3i12344.如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2,求|z+i+1|的最小值.分析:利用复数的模的几何意义进行求解.解:|z+i|+|z-i|=2可看作是复数z对应的点到-i与i对应的点的距离的和为2,所以z对应的点的轨迹为以-i与i对应的两点A,B为端点的线段AB,如图所示.|z+i+1|是复数z对应的点到-1-i的对应点C(-1,-1)的距离,线段AB上的点到-1-i的对应点C(-1,-1)的距离的最小值为1.所以|z+i+1|的最小值为1.