2019-2020学年高中数学 第四章 数系的扩充与复数的引入 1 数系的扩充与复数的引入 1.1

-1-§1数系的扩充与复数的引入-2-1.1数的概念的扩展目标导航1.了解数系的扩充过程,体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用.2.理解复数的有关概念,掌握复数的代数形式及复数的分类.知识梳理一二一、复数的定义与表示方法1.定义(1)规定i2=-1,其中i叫作虚数单位.(2)若a∈R,b∈R,我们把形如a+bi的数叫作复数.2.表示方法复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),其中复数z的实部是a,用Rez表示,虚部是b,用Imz表示.名师点拨1.在复数a+bi中,a,b必须是实数,否则它不是复数的代数形式.2.复数的虚部是实数而不是虚数,即为“b”,而不是“bi”.如-3i的虚部为-3.知识梳理一二【做一做1】计算:(-i)2=,-i2=,i5=,i8=.答案:-11i1【做一做2】以4i−3的虚部为实部,以7i−2i2的实部为虚部的复数为___________________________.答案:4+2i知识梳理一二二、复数的分类1.复数的全体组成的集合叫作复数集,记作C,显然,R⫋C.2.复数a+bi(a,b∈R)实数(𝑏=0)虚数(𝑏≠0)纯虚数(𝑎=0),非纯虚数(𝑎≠0).知识梳理一二【做一做3】设i是虚数单位,若复数a-1+(a-2)i(a∈R)是纯虚数,则a=()A.-1B.1C.-2D.2解析:因为复数a-1+(a-2)i(a∈R)是纯虚数,所以a-1=0,且a-2≠0,可得a=1,故选B.答案:B知识梳理一二【做一做4】若(x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则实数x的值为()A.-1B.1C.±1D.-1或-2解析:由题意,得𝑥2-1=0,𝑥2+3𝑥+2≠0,解得x=1.答案:B典例透析题型一题型二题型三3+2,79,13i,0,i,3i−2,10−14i,(3−5)i,πi2,2−2i.解:实数有3+2,79,0,πi2;虚数有13i,i,3i−2,10−14i,(3−5)i,2−2i;纯虚数有13i,i,(3−5)i.反思正确把握复数的实部与虚部的概念及实数、虚数、纯虚数的定义是作出正确分类的关键.辨析实数、虚数、纯虚数【例1】指出下列各数中,哪些为实数?哪些为虚数?哪些为纯虚数?典例透析题型一题型二题型三【变式训练1】写出下列复数的实部与虚部,并指出哪些是实数?哪些是虚数?哪些是纯虚数?4,2-3i,sin0,−12+43i,5+2i,6i,2+3i2.解:因为2+3i2=2-3=-1,sin0=0,所以4,2-3i,sin0,−12+43i,5+2i,6i,2+3i2的实部分别是4,2,0,−12,5,0,−1,虚部分别是0,-3,0,43,2,6,0.从而可得4,sin0,2+3i2是实数;2-3i,−12+43i,5+2i,6i是虚数,其中6i是纯虚数.典例透析题型一题型二题型三复数的分类【例2】求实数k取何值时,使复数z=(k2-3k-4)+(k2-5k-6)i分别是:(1)实数;(2)虚数;(3)纯虚数;(4)零.分析:根据复数的分类,弄清一个复数满足什么条件时分别为实数、虚数、纯虚数,必须要分清复数的实部、虚部.典例透析题型一题型二题型三解:(1)当k2-5k-6=0,即k=6或k=-1时,复数z为实数.(2)当k2-5k-6≠0,即k≠6,且k≠-1时,复数z为虚数.由①,得k=4或k=-1;由②,得k≠6,且k≠-1.所以当k=4时,z为纯虚数.(3)由题意,得𝑘2-3𝑘-4=0,𝑘2-5𝑘-6≠0,①②(4)当𝑘2-3𝑘-4=0,𝑘2-5𝑘-6=0,即k=-1时,z为零.反思由复数z的实部、虚部的取值来确定复数z是实数、虚数、纯虚数.在解题时关键是确定z的实部、虚部,并要注意纯虚数的概念满足两个条件:实部为零,虚部不为零.典例透析题型一题型二题型三解:(1)因为z是实数,所以m2+2m-1=0,且m-1≠0,解得m=-1±2,且m≠1.所以当m=-1±2时,z为实数.(2)因为z是虚数,所以m2+2m-1≠0,且m-1≠0,解得m≠-1±2,且m≠1.所以当m≠-1±2,且m≠1时,z为虚数.(3)因为z是纯虚数,所以𝑚(𝑚+2)𝑚-1=0,且m2+2m-1≠0,m-1≠0,解得m=0或m=-2,且m≠-1±2,𝑚≠1.所以当m=0或m=-2时,z为纯虚数.【变式训练2】已知m∈R,复数z=𝑚(𝑚+2)𝑚-1+(𝑚2+2𝑚−1)i,当𝑚为何值时:(1)z是实数;(2)z是虚数;(3)z是纯虚数.典例透析题型一题型二题型三易错辨析易错点因忽视隐含条件致误【例3】若复数是虚数,则m的取值范围是.错解:由z是虚数知,m2-m0,解得m0或m1.故m的取值范围是(-∞,0)∪(1,+∞).错因分析:求解时忽视了m+2≠0这一条件.z=𝑚-3𝑚+2+𝑚2-𝑚i(𝑚∈R)正解:因为复数是虚数,所以m+2≠0,且m2-m0,解得m1或m0,且m≠-2,故实数m的取值范围是(-∞,-2)∪(-2,0)∪(1,+∞).z=𝑚-3𝑚+2+𝑚2-𝑚i(𝑚∈R)典例透析题型一题型二题型三【变式训练3】若复数z=lg(m2-2m-2)+(m2+3m+2)i是纯虚数,则实数m的值为()A.3B.3或-1C.-1D.2解析:由题意,知lg(𝑚2-2𝑚-2)=0,𝑚2+3𝑚+2≠0,解得m=3.故选A.答案:A1234561.复数i-i2的虚部是()A.0B.1C.iD.-2答案:B1234562.设全集I={复数},N={实数},M={纯虚数},则()A.M∪N=IB.(∁IM)∪N=IC.(∁IM)∩N=ND.M∩(∁IN)=I解析:弄清数集的分类和集合之间的包含关系以及集合之间的交、并、补的运算是关键,可借助Venn图理解.答案:C1234563.有下列四个命题:①方程2x-5=0在自然数集N中无解;②方程2x2+9x-5=0在整数集Z中有一解,在有理数集Q中有两解;③x=i是方程x2+1=0在复数集C中的一个解;④x4=1在R中有两个解,在C中也有两解.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4解析:由数系扩充的意义和虚数单位i,易判断④是错误的,由于(±i)4=1,(±1)4=1,故在C中有四个解.答案:C1234564.以π+3i的实部为虚部,以2+ei的虚部为实部的复数为.解析:π+3i的实部为π,2+ei的虚部为e,则所求的复数为e+πi.答案:e+πi1234565.在下列命题中,x,y为复数:①若x2+y2=0,则x=y=0;②若x=a+i,y=b+i,a,b∈R,且ab,则xy;③x+yi=1+i的充要条件是x=y=1.其中正确命题的个数是.解析:①若x2+y2=0,则x=y=0,是错误的,如x=i,y=1,x2+y2=-1+1=0;②若x=a+i,y=b+i,a,b∈R,且ab,则xy,是错误的,因为两个虚数不能比较大小;③x+yi=1+i的充要条件是x=y=1,是错误的,因为当x+yi=1+i时,x可以为i,y可以为-i.答案:01234566.设z=log12(𝑚−1)+ilog2(5−𝑚)(𝑚∈R).(1)若z是虚数,求m的取值范围;(2)若z是纯虚数,求m的值.解:(1)z是虚数,则其虚部log2(5-m)≠0,m应满足的条件是𝑚-10,5-𝑚0,5-𝑚≠1,解得1m5,且m≠4.(2)z是纯虚数,则其实部log12(𝑚−1)=0,虚部log2(5-m)≠0,m应满足的条件是𝑚-1=1,5-𝑚0,5-𝑚≠1,解得m=2.