2019-2020学年高中数学 第三章 推理与证明 1 归纳与类比 1.1 归纳推理课件 北师大版选

-1-§1归纳与类比-2-1.1归纳推理目标导航1.理解归纳推理的含义,能利用归纳推理进行简单的推理,体会并认识归纳推理在数学发展中的作用.2.了解欧拉公式的概念.知识梳理定义特征根据一类事物中部分事物具有某种属性,推断该类事物中每一个事物都有这种属性,我们将这种推理方式称为归纳推理归纳推理是由部分到整体,由个别到一般的推理1.归纳推理2.欧拉公式一个凸多面体中,多面体的面数(F)、棱数(E)、顶点数(V),它们之间的关系为V-E+F=2.3.归纳推理的一般模式S1具有P,S2具有P,……Sn具有P(S1,S2,…,Sn是A类事物的对象),所以A类事物具有P.知识梳理4.归纳推理的一般步骤(1)通过观察个别情况发现某些相同性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).知识梳理【做一做1】关于归纳推理,下列说法正确的是()A.归纳推理是由一般到一般的推理B.归纳推理是由一般到个别的推理C.归纳推理的结论一定是正确的D.归纳推理的结论不一定正确解析:归纳推理是由个别到一般的推理,其结论的正确性不一定.故应选D.答案:D知识梳理年龄/岁3035404550556065收缩压/毫米汞柱110115120125130135145舒张压/毫米汞柱70737578808388【做一做2】在某报《自测健康状况》的报道中,自测血压的结果与相应年龄的统计数据如表所示.观察表中数据的特点,用适当的数填入表中“”处.答案:14085典例透析题型一题型二题型三题型四归纳推理在数与式中的应用根据以上不等式的结构特点,请你归纳出一个关于不等式的一般性结论.解:因为1=21-1,3=22-1,7=23-1,15=24-1,……,所以猜想不等式左边最后一项的分母为2n-1,而不等式右边依次分别为12,22,32,42,…,𝑛2.故归纳得到的一般性结论为1+12+13+⋯+12𝑛-1𝑛2(𝑛∈N+).【例1】已知112,1+12+131,1+12+13+14+15+16+1732,1+12+13+⋯+1152,……分析:观察不等式左边最后一项的分母,总结其特点为2n-1,不等式右边为𝑛2,由此可得一般性的结论.典例透析题型一题型二题型三题型四反思根据给出的数与式,归纳一般性结论的思路:(1)观察数与式的结构特征,如数、式与序号的关系,代数式的相同或相似之处等;(2)提炼出数、式的变化规律;(3)运用归纳推理写出一般性结论.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练1】观察下列不等式:1+12232;1+122+13253;1+122+132+14274;……照此规律,第五个不等式为.典例透析题型一题型二题型三题型四解析:由前3个不等式可知第n-1(n≥2)个不等式为1+122+132+142+⋯+1𝑛22𝑛-1𝑛,所以第五个不等式为1+122+132+142+152+162116.答案:1+122+132+142+152+162116典例透析题型一题型二题型三题型四归纳推理在几何图形中的应用【例2】(1)如图ⓐ,ⓑ,ⓒ,ⓓ为四个平面图形,数一数每个平面图形各含有多少个交点?多少条边?它们将平面分成多少个区域?(2)由(1)推断一个平面图形的交点数、边数和分平面所得区域数之间有什么关系?(3)现已知某个平面图形有999个交点,且围成了999个区域,试根据上述关系确定这个平面图形有多少条边.典例透析题型一题型二题型三题型四解:(1)各个平面图形的交点数、边数和平面分成的区域个数分别为ⓐ3,3,2;ⓑ8,12,6;ⓒ6,9,5;ⓓ10,15,7.(2)易知3+2-3=2,8+6-12=2,6+5-9=2,10+7-15=2.通过观察可推断,一个平面图形的交点数V、边数E与平面分成的区域个数F之间的关系为V+F-E=2.(3)由已知V=999,F=999,代入(2)中所述关系式,得E=1996,故这个平面图形有1996条边.典例透析题型一题型二题型三题型四反思归纳推理在图形中的应用策略典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练2】由两种花色的正六边形地面砖按如图所示的规律拼成若干个图案,第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是()A.26B.31C.32D.36典例透析题型一题型二题型三题型四解析:方法一:有菱形纹的正六边形个数如下表:由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以6为首项,以5为公差的等差数列,所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是6+5×(6-1)=31.方法二:由图案的排列规律可知,除第一个无纹的正六边形需6个有菱形纹的正六边形围绕(第一个图案)外,每增加一个无纹的正六边形,只需增加5个有菱形纹的正六边形(每两个相邻的无纹正六边形之间有一个“公共”的菱形纹正六边形),故第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数为6+5×(6-1)=31.答案:B图案123…个数61116…典例透析题型一题型二题型三题型四归纳推理在数列中的应用【例3】已知数列{an}的第1项a1=1,且(𝑛∈N+).(1)写出这个数列的前4项;(2)试根据前4项写出这个数列的一个通项公式.分析:由a1及递推公式可计算出数列的前若干项.由已得到的前几项归纳出通项公式.an+1=𝑎𝑛1+𝑎𝑛典例透析题型一题型二题型三题型四反思运用归纳推理求数列通项公式的三个步骤:(1)通过条件先求得数列中的前几项(一般是前四项或前五项);(2)观察数列中前几项的特点,寻求项的规律,由此猜测数列的通项公式;(3)如有要求需对猜测出的通项公式加以证明.解:(1)因为a1=1,且an+1=𝑎𝑛1+𝑎𝑛(𝑛∈N+),所以a2=11+1=12,𝑎3=121+12=13,𝑎4=131+13=14.(2)观察可知,该数列的前4项都等于相应序号的倒数.由此猜想,这个数列的通项公式为an=1𝑛.典例透析题型一题型二题型三题型四【变式训练3】观察如图所示的“三角数阵”:记第n行的第2个数为an(n≥2,n∈N+),请仔细观察上述“三角数阵”的特征,完成下列各题:(1)第6行的6个数依次为,,,,,;(2)依次写出a2,a3,a4,a5;(3)归纳出an+1与an的关系式.典例透析题型一题型二题型三题型四分析:由数阵可看出,除首末两数外,每行中的数都等于它上一行的肩膀上的两数之和,且每一行的首末两数都等于行数.解:(1)6162525166(2)a2=2,a3=4,a4=7,a5=11(3)a3=a2+2,a4=a3+3,a5=a4+4,由此归纳:an+1=an+n.典例透析题型一题型二题型三题型四易错辨析易错点缺乏对归纳推理的掌握【例4】对任意正整数n,猜想2n与n2的大小关系.错解:当n=1时,2112;当n=2时,22=22;当n=3时,2332,所以可以猜想当n=1时,2nn2;当n=2时,2n=n2;当n≥3时,2nn2.错因分析:当n=1时,2112;当n=2时,22=22;当n=3时,2332.错解中只举了n=1,2,3时的例子,由此得到的猜想不一定准确,还应再举几个例子,从而才能得到更准确的猜想.正解:当n=1时,2112;当n=2时,22=22;当n=3时,2332;当n=4时,24=42;当n=5时,2552;当n=6时,2662,所以可以猜想当n=3时,2nn2;当n∈N+且n≠3时,2n≥n2.反思在进行归纳推理时,为避免出现以偏概全的情况,对于特殊项要尽量多验证几项,同时要根据其变化规律和趋势作出判断.1234561.数列1,5,10,16,23,31,x,50,…中的x等于()A.38B.39C.40D.41解析:前6项从第2项起每一项与前一项的差分别为4,5,6,7,8,由此规律可得x=31+9=40.答案:C1234562.观察(x2)'=2x,(x4)'=4x3,(cosx)'=-sinx,由归纳推理可得:若定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则g(-x)等于()A.f(x)B.-f(x)C.g(x)D.-g(x)答案:D1234563.根据如图所示前5个图形及相应点的个数的变化规律,试猜想第n个图形中有个点.解析:观察图形中点的分布的变化规律,发现第一个图形中只有一个点,第二个图形中除中心点外还有两边,每边各一个点,第三个图形中除中心点外还有三边,每边各两个点……第n个图形中除中心点外有n边,每边各有(n-1)个点,故第n个图形中点的个数为n(n-1)+1,即n2-n+1.答案:n2-n+11234564.如图,将全体正整数排成一个三角形数阵:123456789101112131415…按照以上排列的规律,第n行(n≥3)从左向右的第3个数为.解析:前(n-1)行共有正整数[1+2+…+(n-1)]个,即𝑛2-𝑛2个,因此第n行第3个数是全体正整数中第𝑛2-𝑛2+3个,即为𝑛2-𝑛+62.答案:𝑛2-𝑛+621234565.如图,第n个图形是由正n+2(n=1,2,3,…)边形“扩展”而来,则在第n个图形中共有个顶点.123456解析:由已知中的图形可以得到:当n=1时,顶点共有12=3×4个;当n=2时,顶点共有20=4×5个;当n=3时,顶点共有30=5×6个;当n=4时,顶点共有42=6×7个;…由此归纳,第n个图形共有顶点(n+2)(n+3)个.答案:(n+2)(n+3)1234566.已知数列{an}满足a1=1,an+1=2𝑎𝑛𝑎𝑛+2(𝑛∈N+).(1)求a2,a3,a4;(2)猜测a5及数列{an}的通项公式.解:(1)a2=2𝑎1𝑎1+2=23,𝑎3=2×2323+2=12=24,a4=2×1212+2=25.(2)由(1)猜测:a5=26=13,数列{an}的通项公式为an=2𝑛+1.