2019-2020学年高中数学 第三章 函数 3.1.1 函数及其表示方法（第2课时）函数的表示方法

-1-第2课时函数的表示方法及用信息技术作函数图像首页课标阐释思维脉络1.会选择恰当的方法表示函数,并注意体会三种表示方法的区别与联系.2.掌握求函数解析式的一般方法.3.了解简单的分段函数,并能简单应用.4.会用信息技术作函数图像.课前篇自主预习一二三四五知识点一、函数的表示方法1.思考函数的三种表示方法各自有哪些优缺点?提示:表示方法优点缺点列表法不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值只能表示自变量可以一一列出的函数关系图像法能形象直观地表示出函数的变化情况只能近似地求出自变量的值所对应的函数值,而且有时误差较大解析法一是简明、全面地概括了变量间的关系,从“数”的方面揭示了函数关系;二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值不够形象、直观、具体,而且并不是所有的函数都能用解析法表示出来课前篇自主预习一二三四五2.填写下表:课前篇自主预习一二三四五3.做一做:购买某种饮料x听,所需钱数是y元.若每听2元,试分别用解析法、列表法、图像法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数,并指出函数的值域.解:(解析法)y=2x,x∈{1,2,3,4}.(列表法)x1234y2468(图像法)课前篇自主预习一二三四五知识点二、用集合语言对函数的图像进行描述1.思考如何判断一个图形是否为一个函数的图像?提示:判断一个图形是否为函数图像,关键是判断定义域内的任意一个自变量是否有唯一的一个函数值与之对应.即要检验一个图形是否是一个函数的图像,可以作x轴的垂线,在定义域范围内,平移垂线,若垂线与图形有一个交点,则该图形就表示函数的图像,否则,该图形不是函数的图像.课前篇自主预习一二三四五2.填空.对于函数y=f(x)(x∈A)定义域内的每一个x值,都有唯一的y值与它对应.把这两个对应的数构成的有序实数对(x,y)作为点P的坐标,即P(x,y),则所有这些点的集合F叫做函数y=f(x)的图像,即F={P(x,y)|y=f(x),x∈A}.这就是说,如果F是函数y=f(x)的图像,则图像上的任一点的坐标(x,y)都满足函数关系y=f(x);反之,满足函数关系y=f(x)的点(x,y)都在图像F上.课前篇自主预习一二三四五知识点三、分段函数1.思考根据实数绝对值的含义将函数y=|x+1|中的绝对值号去掉,变形后的函数是什么函数?提示:根据绝对值含义可知,y=|x+1|=𝑥+1,𝑥≥-1,-𝑥-1,𝑥-1,变形后的函数是一个分段函数.2.填空.在函数的定义域内,对于自变量x的不同取值区间,有着不同的对应法则,这样的函数通常叫做分段函数.课前篇自主预习一二三四五3.做一做:设函数f(x)=-𝑥,𝑥≤0,𝑥2,𝑥0,(1)求f(f(-2))的值;(2)若f(a)=4,求实数a的值.解:(1)∵f(-2)=-(-2)=2,∴f(f(-2))=f(2)=4.(2)①当a0时,f(a)=a2=4,∴a=2.②当a≤0时,f(a)=-a=4,∴a=-4.综上可知,a=-4或a=2.课前篇自主预习一二三四五知识点四、待定系数法1.思考用待定系数法求函数解析式通常适用于哪些函数?答案:(1)正比例函数、一次函数、反比例函数函数类型一般形式要确定的系数正比例函数y=kx(k≠0)k一次函数y=kx+b(k≠0)k,b反比例函数y=kx(k≠0)k课前篇自主预习一二三四五(2)二次函数已知条件形式要确定的系数不同的三个点坐标y=ax2+bx+c(a≠0)a,b,c顶点坐标(h,k)y=a(x-h)2+k(a≠0)a与x轴的两个交点坐标(x1,0),(x2,0)y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)a已知对称轴x=hy=a(x-h)2+k(a≠0)a,k2.填空一般地,在求一个函数时,如果知道这个函数的一般形式,可先把所求的函数设为一般形式,其中系数待定,然后再根据题设条件求出这些待定系数,这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做待定系数法.课前篇自主预习一二三四五3.做一做在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过(-2,0),(1,-6)两点.(1)求a,b的值;(2)求抛物线的顶点坐标.解:(1)∵抛物线y=ax2+bx经过(-2,0),(1,-6)两点,(2)∵y=-2x2-4x=-2(x2+2x)=-2(x+1)2+2,∴抛物线的顶点坐标为(-1,2).∴4𝑎-2𝑏=0,𝑎+𝑏=-6,∴𝑎=-2,𝑏=-4.课前篇自主预习一二三四五知识点五、用信息技术作函数图像填空(1)给自变量x赋值;(2)给出计算法则,求对应的y值;(3)由x和对应的y值组成有序数对集合;(4)建立平面直角坐标系,并根据有序数对,在平面直角坐标系中作出对应的点集;(5)通过这些点集描出函数的图像.注意:只要函数的表达式已知,就能画出函数的图像.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测画函数图像例1作出下列函数的图像:(1)y=-x+1,x∈Z;(2)y=2x2-4x-3(0≤x3);(3)y=|1-x|;(4)y=𝑥2,0≤𝑥≤1,𝑥+1,-1≤𝑥0.分析:作函数图像,首先明确函数的定义域,其次明确函数图像的形状,体会定义域对图像的控制作用,处理好端点.如第(4)小题x=0时的情况.作图时,如第(2)小题,先不受定义域限制作出完整的抛物线,然后再根据定义域截取.函数图像的形状可以是一条或几条无限长的平滑曲线,也可以是一些点、一些线段、一段曲线等.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:(1)定义域为Z,所以图像为离散的点.图像如图①所示.(2)y=2x2-4x-3=2(x-1)2-5(0≤x3),定义域不是R,因此图像不是完整的抛物线,而是抛物线的一部分.图像如图②所示.(3)先根据绝对值的定义去掉绝对值号,再写成分断函数图像如图③所示.(4)这个函数的图像由两部分组成.当0≤x≤1时,为抛物线y=x2的一段;当-1≤x0时,为直线y=x+1的一段.图像如图④所示.y=𝑥-1,𝑥1,1-𝑥,𝑥≤1.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟常见的函数图像的画法1.描点法.描点法的一般步骤是:列表、描点、连线;列表——先找出一些(有代表性的)自变量x,并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x),用表格的形式表示出来;描点——从表中得到一系列的点(x,f(x)),在坐标平面上描出这些点;连线——用光滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来.2.变换作图法.变换作图法常用的有水平平移变换、竖直平移变换、翻折变换等.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测求函数解析式例2(1)已知,求f(x);(2)已知f(x)为一次函数,且f(f(x))=9x+4,求f(x).分析:(1)利用“换元法”或“配凑法”;(2)利用待定系数法.f1𝑥=𝑥1-𝑥2解:(1)方法一:令1𝑥=t,则x=1𝑡,且t≠0,∴f(t)=1𝑡1-1𝑡2=1𝑡𝑡2-1𝑡2=𝑡𝑡2-1,∴f(x)=𝑥𝑥2-1(x≠0).方法二:f1𝑥=𝑥1-𝑥2=1𝑥1𝑥2-1,∴f(x)=𝑥𝑥2-1(x≠0).(2)设f(x)=ax+b(a≠0).f(f(x))=af(x)+b=a(ax+b)+b=a2x+ab+b.由题设知𝑎2=9,𝑎𝑏+𝑏=4,解得𝑎=3,𝑏=1或𝑎=-3,𝑏=-2.∴f(x)=3x+1或f(x)=-3x-2.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟函数解析式的常见求法1.若已知函数类型求解析式,则可用待定系数法求解.若f(x)是一次函数,可设f(x)=kx+b(k≠0),若f(x)是二次函数,可设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),然后利用题目中的已知条件,列出关于待定系数的方程组,进而求出待定的系数.2.若不清楚函数类型,可采用配凑法或换元法.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练根据下列各条件,求函数f(x)的解析式:(1)f(x)是一次函数,且满足f(2x)+4f(x-2)=18x-29;(3)f(x)+2f(-x)=x+1.解:(1)由题意可设f(x)=ax+b(a≠0),则f(2x)+4f(x-2)=2ax+b+4[a(x-2)+b]=6ax+(5b-8a).由已知可得6𝑎=18,5𝑏-8𝑎=-29,解得𝑎=3,𝑏=-1.因此f(x)=3x-1.(2)f(𝑥-2)=x-4𝑥+2;课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测(2)方法一(配凑法):因为f(𝑥-2)=x-4𝑥+2=(𝑥)2-4𝑥+4-2=(𝑥-2)2-2(𝑥-2≥-2),所以f(x)=x2-2(x≥-2).方法二(换元法):令𝑥-2=t(t≥-2),则x=(t+2)2(t≥-2),于是由已知得f(t)=(t+2)2-4(𝑡+2)2+2=(t+2)2-4t-8+2=t2-2(t≥-2).故f(x)=x2-2(x≥-2).(3)由于f(x)+2f(-x)=x+1,因此以-x替换x,得f(-x)+2f(x)=-x+1,由以上两式可解得f(x)=-x+13.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测分段函数及其应用例3已知f(x)=𝑥+2,𝑥≥-2,-𝑥-2,𝑥-2.若f(x)2,求x的取值范围.分析:在x≥-2时,由x+22,解得x0后,需与x≥-2求交集,得x0;当x-2时,由-x-22,得x-4,与x-2求交集,得x-4.然后求x0与x-4的并集得最后结果.解:当x≥-2时,f(x)=x+2,由f(x)2,得x+22,解得x0,故x0;当x-2时,f(x)=-x-2,由f(x)2,得-x-22,解得x-4,故x-4.综上可得,x0或x-4.反思感悟解决分段函数问题的关注点1.已知函数值,求自变量的值时,切记要进行检验.解题时一定要注意自变量的范围,只有在自变量确定的范围内才可以进行运算.2.已知f(x),解关于f(x)的不等式时,要先在每一段内求交集,最后求并集.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测作出下列函数的图像,并写出函数的值域.(1)y=|x+2|+|x-3|;(2)y=|x+1|-|x-2|.延伸探究解:(1)y=|x+2|+|x-3|=1-2𝑥,𝑥≤-2,5,-2𝑥≤3,2𝑥-1,𝑥3.函数图像如图①所示,由图像可知函数值域为[5,+∞).(2)y=|x+1|-|x-2|=-3,𝑥≤-1,2𝑥-1,-1𝑥≤2,3,𝑥2,函数图像如图②所示,由图像可知函数值域为[-3,3].课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测数形结合思想在分段函数中的应用典例已知f(x)=𝑥2+1,𝑥≥0,1,𝑥0,则满足不等式f(1-x)f(x)的x的取值范围是.解析:方法一(代数法)根据题意求x的取值范围,需分四种情况讨论,具体如下:当1-x≥0,且x≥0,即0≤x≤1时,由f(1-x)f(x),得(1-x)2x2,解得x12,所以0≤x12;当1-x≥0,且x0,即x0时,由f(1-x)f(x),得(1-x)2+11,解得x≠1,又x0,所以x0;当1-x0,且x0,此时x不存在,不满足要求;课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测当1-x0,且x≥0,即x1时,由f(1-x)f(x),得1x2+1,此时不成立.综上可知,所求x的取值范围是-∞,12.方法二(数列结合法)画出函数f(x)=𝑥2+1,𝑥≥0,1,𝑥0的图像,如图所示,由图像可知,若f(1-x)f(x),则1-𝑥0,1-𝑥𝑥,解得x12,即满足要求的x的取值范围是-∞,12.答案:-∞,12课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测方法点睛函数的图像与函数值间具有密切的关系,在函数图像上