2019-2020学年高中数学 第3章 基本初等函数 3.2.3 指数函数与对数函数的关系课件 新人

3.2.3指数函数与对数函数的关系1.了解反函数的概念,知道指数函数和对数函数互为反函数,弄清它们图象间的对称关系.2.利用计算工具,比较指数函数、对数函数增长的差异.3.能综合利用指数函数、对数函数的性质与图象解决一些问题.反函数当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量,而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量,我们称这两个函数互为反函数.一般地,如果函数y=f(x)存在反函数,那么它的反函数记作y=f-1(x),反函数也是函数,它具有函数的一切特性.反函数是相对于原函数而言的,函数与它的反函数互为反函数.指数函数y=ax(a0,且a≠1)和对数函数y=logax(a0,且a≠1)互为反函数,它们的定义域与值域相互对换,单调性相同,图象关于直线y=x对称.名师点拨反函数的定义不只局限于函数y=logax(a0,a≠1)与函数y=ax(a0,a≠1)之间,对于其他的函数之间也可能存在互为反函数的关系,特别注意的是一个函数要存在反函数,它必须是一个一一对应的函数.【做一做1-1】函数f(x)=23𝑥的反函数是________,函数g(x)=log8x的反函数是.答案:f-1(x)=log23𝑥g-1(x)=8x【做一做1-2】函数f(x)=log3x与g(x)=3x的图象()A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于直线y=x对称D.关于原点对称解析:根据互为反函数的图象特征可知,两函数的图象关于直线y=x对称.答案:C一、对反函数定义的理解剖析:我们大家已经学习了反函数的描述性定义,为了更好地理解反函数的定义,下面总结以下几点:(1)只有一一映射确定的函数才有反函数.例如,一次函数y=kx+b(k≠0),反比例函数y=𝑘𝑥(k≠0),指数函数y=ax(a0,且a≠1),对数函数y=logax(a0,且a≠1),它们都是一一映射确定的函数,都有反函数;但二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在整个定义域上没有反函数,因为关于对称轴x=−𝑏2𝑎对称的两个不同自变量对应同一函数值,它不是一一映射下的函数,所以没有反函数.(2)反函数也是函数,它具有函数的一切特性;反函数是相对于原函数而言的,函数与它的反函数互为反函数.(3)互为反函数的两个函数的定义域与值域互换,对应法则互逆.(4)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称,利用图象间的这一关系,可以简化作图过程,也可借助图象来分析函数的一些性质.(5)若函数f(x)的图象经过点(a,b),则其反函数的图象必过点(b,a).二、指数函数、对数函数的图象与性质的区别与联系剖析:用表格表示如下:名称指数函数对数函数一般形式y=ax(a0,a≠1)y=logax(a0,a≠1)定义域(-∞,+∞)(0,+∞)值域(0,+∞)(-∞,+∞)图象y=ax的图象与y=logax的图象关于直线y=x对称名称指数函数对数函数单调性当a1时,在(-∞,+∞)上为增函数;当0a1时,在(-∞,+∞)上为减函数当a1时,在(0,+∞)上为增函数;当0a1时,在(0,+∞)上为减函数函数值的分布①当a1时,若x0,则y1;若x=0,则y=1;若x0,则0y1②当0a1时,若x0,则0y1;若x=0,则y=1;若x0,则y1①当a1时,若x1,则y0;若x=1,则y=0;若0x1,则y0②当0a1时,若x1,则y0;若x=1,则y=0;若0x1,则y0题型一题型二题型一求函数的反函数【例1】求下列函数的反函数:(1)y=13𝑥;(2)y=log5x;(3)y=lg(2x).分析:深刻理解对数函数与指数函数的关系,是求指数函数(或对数函数)的反函数的前提.题型一题型二解:(1)指数函数y=13𝑥的底数为13,它的反函数是对数函数y=log13𝑥(x0).(2)对数函数y=log5x的底数为5,它的反函数是指数函数y=5x.(3)由y=lg(2x),得2x=10y,即x=10𝑦2.故y=lg(2x)的反函数为y=10𝑥2.反思求函数的反函数的主要步骤:(1)从y=f(x)中解出x=φ(y);(2)将x,y互换;(3)标明反函数的定义域(即原函数的值域),简记为“一解、二换、三写”.本题主要依据指数函数与对数函数互为反函数来解.题型一题型二【变式训练1】(1)函数y=lnx的反函数是;(2)若函数y=43𝑥的反函数是g(x),则𝑔34=;(3)若函数y=f(x)的反函数是y=ax(a0,且a≠1),且函数图象经过点(𝑎,a),则f(x)=.解析:(1)函数y=lnx是对数函数,其反函数是y=ex;(2)由已知得g(x)=log43𝑥,所以𝑔34=log4334=−1;(3)由题意可得f(x)=logax,又其图象过点(𝑎,a),所以log𝑎𝑎=𝑎,即a=12,故f(x)=log12𝑥.答案:(1)y=ex(2)-1(3)log12𝑥题型一题型二题型二反函数的综合利用【例2】已知x1是方程x+lgx=3的一个根,x2是方程x+10x=3的一个根,那么x1+x2的值是()A.6B.3C.2D.1题型一题型二解析:将两个方程的根看作是两个互为反函数的函数图象与同一条直线的交点的横坐标,借助图象及对称性求解.将已知的两个方程变形后得lgx=3-x,10x=3-x,令f(x)=lgx,g(x)=10x,h(x)=3-x,在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象,如图所示.因为f(x)=lgx与g(x)=10x互为反函数,图象关于直线y=x对称,因此,A,B两点也关于y=x对称,函数h(x)=3-x与y=x图象交点的横坐标即为A,B两点横坐标的中点.答案:B所以由𝑦=3-𝑥,𝑦=𝑥,得xC=32,所以x1+x2=2xC=3.题型一题型二反思本题是关于方程根的问题,如果采用纯代数的方法,从解方程或解方程组的方法入手,将很困难,于是我们可以想到构造函数,利用函数图象,借助数形结合的思想来解决,充分利用互为反函数的图象关于直线y=x对称这一特征.题型一题型二【变式训练2】设函数f(x)=loga(x+b)(a0,a≠1)的图象过点(2,1),其反函数的图象过点(2,8),则a+b=()A.6B.5C.4D.3解析:∵由题意,知f(x)图象过点(2,1),(8,2),∴f(8)=loga(8+b)=2,f(2)=loga(2+b)=1.∴a+b=4.答案:C∴𝑎2=8+𝑏,𝑎=2+𝑏,解得𝑎=3,𝑏=1.题型一题型二【例3】设a,b,c均为正数,且2a=log12𝑎,12𝑏=log12𝑏,12𝑐=log2c,则()A.abcB.cbaC.cabD.bac题型一题型二解析:可将a,b,c分别看作是三个方程的根,通过图象交点的横坐标进行比较;也可分别确定出a,b,c的取值范围,从而比较大小.方法一:由函数y=2x,y=12𝑥,y=log2x,y=log12𝑥的图象知:0ab1c,故选A.题型一题型二方法二:∵a0,∴2a1.∴log12𝑎1.∴0a12.∵b0,∴012𝑏1.∴0log12𝑏1.∴12𝑏1.∵c0,∴012𝑐1.∴0log2c1.∴1c2.∴0a12𝑏1c.答案:A反思比较数的大小问题,方法灵活,就本题而言,把方程的解看作两函数图象交点的横坐标,利用数形结合的方法解题比较简单,若几个数在不同的范围内,也可通过求这些数的范围来比较大小.题型一题型二【变式训练3】已知函数f(x)=3x-1,则它的反函数y=f-1(x)的图象大致是()题型一题型二解析:函数f(x)=3x-1的图象如图所示:而其反函数的图象关于直线y=x对称,故反函数f-1(x)的图象应为C项.答案:C1234561函数y=log12𝑥(x0)的反函数是()A.y=𝑥12,x0B.y=12𝑥,x∈RC.y=x2,x∈RD.y=2x,x∈R答案:B1234562函数y=x+2,x∈R的反函数为()A.x=2-yB.x=y-2C.y=2-x,x∈RD.y=x-2,x∈R解析:由y=x+2,得x=y-2.互换x,y,得y=x-2.答案:D1234563若函数f(x)=15𝑥的反函数是y=g(x),则g(5)等于()A.127B.27C.-1D.1解析:由已知得g(x)=log15𝑥,所以g(5)=log155=-1.答案:C1234564若函数f(x)=ax(a0,且a≠1)的反函数的图象过点(2,-1),则a=.解析:由题意,知f(x)的图象过点(-1,2),故2=a-1,所以a=12.答案:121234565若函数y=𝑎𝑥1+𝑥的图象关于直线y=x对称,则a的值为.解析:由已知,得函数y=𝑎𝑥1+𝑥与其反函数为同一函数,即y=𝑥𝑎-𝑥与y=𝑎𝑥1+𝑥为同一函数.故a=-1.答案:-11234566已知函数f(x)=ax-k(a0,且a≠1)的图象过点(1,3),其反函数的图象过点(2,0),则f(x)的表达式为.解析:由题意,知f(x)的图象过点(1,3)和点(0,2),所以𝑎-𝑘=3,1-𝑘=2,解得𝑎=2,𝑘=-1,故f(x)=2x+1.答案:f(x)=2x+1