2019-2020学年高中数学 第3章 基本初等函数 3.2.1 对数及其运算课件 新人教B版必修1

3.2对数与对数函数3.2.1对数及其运算1.理解对数的概念及其运算性质,掌握积、商、幂的对数的运算法则.2.知道换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数.3.了解对数的发现历史及对简化运算的作用.12341.对数的概念(1)如果a(a0,且a≠1)的b次幂等于N,即ab=N,那么数b称为以a为底N的对数,记作b=logaN(a0,且a≠1),其中a叫做对数的底数,N叫做真数;(2)以10为底的对数叫做常用对数,即log10N,记作lgN;(3)以无理数e(e=2.71828…)为底的对数叫做自然对数,即logeN,记作lnN.1234名师点拨指数式和对数式的关系如图所示:对数式logaN(a0,且a≠1)可看作一记号,表示关于x的方程ax=N(a0,且a≠1)的解;也可以看作一种运算,即已知底为a(a0,且a≠1)的幂为N,求幂指数的运算,因此对数式logaN又可看作幂运算的逆运算.1234【做一做1-1】如果𝑎12=𝑏(a0,且a≠1),则()A.log𝑎12=𝑏B.logab=12C.log12𝑎=𝑏D.log12𝑏=𝑎答案:B【做一做1-2】若log4x=12,则()A.4x=12B.𝑥12=4C.x4=12D.412=𝑥答案:D12342.对数的性质(1)0和负数没有对数.(2)loga1=0(a0,且a≠1).(3)logaa=1(a0,且a≠1).名师点拨在对数logaN=b中,规定真数N0.这是由于在实数范围内,正数的任何次幂都是正数,因而ab=N0,故要求对数的真数必须大于0.(4)对数恒等式:𝑎log𝑎𝑁=𝑁(a0,且a≠1).1234答案:D【做一做2-2】若log3(log2x)=0,则x=.解析:由已知得log2x=1,故x=2.答案:2【做一做2-1】式子4log43的值是()A.3B.13C.33D.312343.积、商、幂的对数的运算法则a0,a≠1,M0,N0运算数学表达式自然语言积的对数loga(MN)=logaM+logaNloga(N1N2…Nk)=logaN1+logaN2+…+logaNk(Ni0,i=1,2,…,k)正因数积的对数等于同一底数的各因数对数的和商的对数log𝑎MN=logaM-logaN两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数幂的对数logaMn=nlogaM(n∈R)正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数1234名师点拨1.应用公式时需要注意法则的适用范围,并且公式可以正用、逆用和变形用.2.当心记忆错误:loga(MN)≠logaM·logaN,loga(M±N)≠logaM±logaN.3.虽然loga(M+N)≠logaM+logaN,但并不是说loga(M+N)与logaM+logaN一定不相等,对于某些M,N的取值,loga(M+N)=logaM+logaN是成立的.例如,当M=2,N=2时,loga(2+2)=loga2+loga2=loga4.1234【做一做3-1】对于a0,a≠1,下列说法中正确的是()①若M=N,则logaM=logaN;②若logaM=logaN,则M=N;③若logaM2=logaN2,则M=N;④若M=N,则logaM2=logaN2.A.①③B.②④C.②D.①②③④1234解析:在①中,当M=N≤0时,logaM与logaN无意义,故①不成立;在②中,当logaM=logaN时,必有M=N0成立,故②成立;在③中,当logaM2=logaN2时,有M≠0,N≠0,且M2=N2,即|M|=|N|,但未必有M=N.例如,当M=2,N=-2时,有logaM2=logaN2,但M≠N,故③不成立;在④中,当M=N=0时,logaM2与logaN2均无意义,故④不成立.答案:C1234【做一做3-2】计算各式的值:(1)lg300-lg3;(2)lne.解:(1)lg300-lg3=lg3003=lg100=2;(2)lne=lne12=12lne=12.12434.对数的换底公式一般地,我们有logbN=log𝑎𝑁log𝑎𝑏(a0,a≠1,b0,b≠1,N0),这个公式称为对数的换底公式.通过换底公式可推导出两个重要的结论:(1)logab·logba=1(a0,a≠1,b0,b≠1);(2)log𝑎𝑚𝑏𝑛=𝑛𝑚logab(a0,a≠1,b0,m≠0).名师点拨1.在换底公式中,所换的新底数可以是大于0且不等于1的任意实数;2.如果不做特殊要求,那么一般换底都换成常用对数.1243【做一做4】已知lg2=a,lg3=b,用a,b表示log125=.解析:log125=lg5lg12=1-lg2lg3+2lg2=1-𝑎2𝑎+𝑏.答案:1-𝑎2𝑎+𝑏一、解读对数的定义剖析:(1)对数式x=logay是指数式y=ax的另一种表达形式,其本质相同.对数式中的真数y就是指数式中的函数值y,而对数x是指数式中的指数x,对数式与指数式的关系如图所示.(2)对数x=logay中,规定a0,且a≠1的原因.①若a0,则y为某些数值时,x不存在,如(-2)x=3没有实数解,即log(-2)3不存在,为此,规定a不能小于0;②若a=0,则当y≠0时,logay不存在;当y=0时,loga0有无数个值,不能确定,为此,规定a≠0;③若a=1,则y不为1时,x不存在,如log12不存在;而当a=1,y=1时,x可以为任何实数,不能确定,为此,规定a≠1.归纳总结指数式、对数式中各个字母的名称变化如下表:式子名称axN指数式ax=N底数指数幂值对数式x=logaN底数对数真数二、对性质logaMn=nlogaM的延伸剖析:式子logaMn=nlogaM表明指数可以拿到前面,但对log𝑎𝑚𝑀而言是否有log𝑎𝑚𝑀=𝑚logaM成立呢?答案是否定的,应为log𝑎𝑚𝑀=1𝑚logaM.证明如下:令logaM=x,则ax=M.故1𝑚logaM=1𝑚𝑥.而log𝑎𝑚𝑀=log𝑎𝑚𝑎𝑥=𝑥log𝑎𝑚𝑎=𝑥log𝑎𝑚(a𝑚)1𝑚=1𝑚𝑥,故log𝑎𝑚𝑀=1𝑚logaM.logaMn=nlogaM与log𝑎𝑚𝑀=1𝑚logaM的结合使进行对数运算时更加简便快捷,同时也提醒我们在进行对数运算过程中,如果运算性质不能直接运用时,可以通过先化成指数式,变形后再化成对数式的方法达到计算的目的.这两个公式可以合写为log𝑎𝑚𝑀𝑛=𝑛𝑚logaM.题型一题型二题型三题型四题型五题型一对数式与指数式的互化【例1】已知logax=4,logay=5(a0,且a≠1),求A=𝑥·x-1y2312的值.分析:本题可以通过已知条件得到x,y,将x,y代入目标式子求值;或将目标式子化为指数式,再取对数,利用对数的运算性质解决.其中指数式与对数式的转化是解题的关键.题型一题型二题型三题型四题型五解:方法一:因为logax=4,logay=5,由对数的定义有x=a4,y=a5.所以A=a4·𝑎-4𝑎10312=𝑎2·a-2=1.方法二:A=𝑥·x-1y2312=𝑥512𝑦-13,两边取以a为底的对数,得logaA=loga(𝑥512𝑦-13)=512logax−13logay=512×4−13×5=0,故A=1.题型一题型二题型三题型四题型五反思1.把指数式改写成对数式时,指数式的底数在对数式中仍然位于底数位置,指数式的指数变为对数式中的对数,指数式中的幂值变为对数式中的真数.2.在进行指数式与对数式的互化时,一定要保证对数式中的真数大于0.3.注意常用对数与自然对数的表示方法.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练1】下列指数式与对数式的互化不正确的一组是()A.100=1与lg1=0B.27-13=13与log2713=−13C.log39=2与912=3D.log55=1与51=5解析:由log39=2应得32=9,故C项中两式的互化不正确.答案:C题型一题型二题型三题型四题型五题型二对数基本性质的应用【例2】(1)若log3(lgx)=1,则x=;(2)125log53=________;(3)412(log29-log25)=________.题型一题型二题型三题型四题型五解析:(1)∵log3(lgx)=1,∴lgx=3.∴x=103=1000.(2)125log53=152log53=(5-2)log53=5-2log53=5log53-2=3-2=19.(3)原式=2(log29-log25)=2log292log25=95.答案:(1)1000(2)19(3)95反思在对数的相关运算中,除了对数的定义外,应灵活应用loga1=0,logaa=1,𝑎log𝑎𝑀=𝑀等常用性质,另外要特别注意真数与底数的取值要求,做到及时检验.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练2】(1)若log2[log3(log5x)]=0,则x=.(2)32-log36=_______.解析:(1)由已知得log3(log5x)=1,故log5x=3,即x=53=125;(2)32-log36=32÷3log36=9÷6=32.答案:(1)125(2)32题型一题型二题型三题型四题型五题型三对数运算法则的应用【例3】计算下列各式的值.(1)(lg2)2+lg5·lg2+lg5;(2)12lg3249−43lg8+lg245.分析:通过对数运算性质的正用和逆用,转化底数或真数,进行化简计算.解:(1)(lg2)2+lg5·lg2+lg5=lg2(lg2+lg5)+lg5=lg2·lg10+lg5=lg2+lg5=lg10=1.题型一题型二题型三题型四题型五(2)方法一:原式=12(5lg2-2lg7)−43·32lg2+12(2lg7+lg5)=52lg2-lg7-2lg2+lg7+12lg5=12lg2+12lg5=12(lg2+lg5)=12lg10=12.方法二:原式=lg427−lg4+lg75=lg42×757×4=lg(2·5)=lg10=12.题型一题型二题型三题型四题型五反思利用对数运算性质化简或计算时,注意以下几点:(1)“收”,将同底的两对数的和(差)“收”成积(商)的对数;(2)“拆”,将积(商)的对数拆成对数的和(差);(3)对真数中含有多重根号的对数式的化简,应从内到外逐层化简;(4)对于常用对数的化简,要充分利用“lg2+lg5=1”,“lg2=1-lg5”,“lg5=1-lg2”来解题.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练3】求下列各式的值:(1)log2748+log212-log242;(2)lg25+23lg8+lg5·lg20+(lg2)2.解:(1)原式=log27×1248×42=log212=−12;(2)原式=2lg5+2lg2+lg5(1+lg2)+(lg2)2=2(lg5+lg2)+lg5+lg5·lg2+(lg2)2=2+lg5+lg2(lg5+lg2)=2+lg5+lg2=2+1=3.题型一题型二题型三题型四题型五题型四对数换底公式的应用【例4】已知log23=a,3b=7,用含a,b的式子表示log1256.分析:可以先把56和12分别用以2为底的指数表示出来,也可以先用换底公式把log1256换成以3为底的对数,或先把log23和log1256换成以10为底的对数,然后根据已知条件用a,b表示log1256.解:方法一:因为log23=a,所以2a=3.因为3b=7,所以7=(2a)b=2ab.故56=23+ab.又因为12=3×4=2a×4=2a+2,故log1256=log256log212=log223+𝑎𝑏log22𝑎+2=3+𝑎𝑏𝑎+2.题型一题型二题型三题型四题型五方法二:因为log23=a,所以log32=1𝑎.因为3b=7,所以log37=b