2019-2020学年高中数学 第3章 基本初等函数 3.1.2 指数函数课件 新人教B版必修1

3.1.2指数函数1.理解指数函数的概念和意义,能画出具体指数函数的图象.2.探索并理解指数函数的单调性与特殊点等性质.3.利用计算工具,比较指数函数增长的差异.121.指数函数的定义函数y=ax(a0,a≠1,x∈R)叫做指数函数,其中x是自变量.归纳总结对指数函数定义的理解应注意以下两点:(1)规定底数a大于零且不等于1的理由是:如果a=0,当𝑥0时,𝑎𝑥恒等于零;当𝑥≤0时,𝑎𝑥无意义.如果a0,当x为任意偶数的倒数时,ax都无意义.例如,y=(-4)x,这时对于x=14,x=12,…,y=(-4)x都无意义.如果a=1,对于任何实数x,y=1x=1是一个常量,对它就没有研究的价值和必要了.12(2)指数函数解析式y=ax(a0,且a≠1)的特征:①底数a为大于0且不等于1的常数,不含有自变量x;②指数位置是自变量x,且x的系数是1;③ax的系数是1.一个函数解析式只有完全满足上述条件时才是指数函数.12【做一做1-1】在指数函数y=(a-1)x中,实数a满足的条件是.答案:a1,且a≠2【做一做1-2】给出下列函数:①f(x)=6x;②f(x)=3-x;③f(x)=4x+2;④f(x)=2·5x;⑤f(x)=12𝑥−1;⑥y=2|x|;⑦y=𝑥12;⑧y=-3x.其中是指数函数的有.(填序号)解析:只有①和②是指数函数,其中②f(x)=3-x=13𝑥满足指数函数定义,其余均不是指数函数.答案:①②12【做一做1-3】若指数函数f(x)的图象经过点(-1,4),则其解析式为.解析:设f(x)=ax(a0,且a≠1),则a-1=4,a=14,故解析式为f(x)=14𝑥.答案:f(x)=14𝑥122.指数函数的图象和性质a10a1图象性质定义域:R值域:(0,+∞)图象过定点(0,1)在(-∞,+∞)上是增函数在(-∞,+∞)上是减函数12名师点拨1.在指数函数f(x)=ax(a0,且a≠1)中,不论a取何值,总有f(0)=a0=1,所以其图象经过定点(0,1).在指数型函数y=k·af(x)+b中,令f(x)=0,若得x=x0,则其图象经过定点(x0,k+b).2.函数y=a|x|(a0,且a≠1)不是指数函数,但它与指数函数y=ax(a0,且a≠1)有一定的联系,它的图象和性质如下表:性质a10a1定义域R值域[1,+∞)(0,1]奇偶性偶函数单调性在(0,+∞)上是增函数在(-∞,0)上是减函数在(0,+∞)上是减函数在(-∞,0)上是增函数12图象12【做一做2-1】函数y=2-x的图象是()答案:B【做一做2-2】在函数y=ax-1+2016(a0,且a≠1)中,无论a取何值恒经过一个定点,则这个定点的坐标为.解析:函数y=ax的图象经过一个定点(0,1),在函数y=ax-1+2015中,令x-1=0,即x=1,得y=2017,则定点坐标为(1,2017).答案:(1,2017)12【做一做2-3】(1)已知3x≥9,求实数x的取值范围;(2)已知0.2x+15,求实数x的取值范围.解:(1)因为31,所以指数函数y=3x在R上为增函数.由3x≥9=32,可得x≥2,即x的取值范围是[2,+∞).(2)因为00.21,所以指数函数y=0.2x在R上为减函数.所以0.2x+10.2-1,所以x+1-1.所以x-2,即x的取值范围是(-2,+∞).因为5=15-1=0.2-1,一、指数函数y=ax(a0,且a≠1)的函数值的变化规律剖析:先从具体函数入手:列表:xy-3-2-10123y=2x1814121248y=3x127191313927从上表中很容易发现:①当x0时,总有2x3x;②当x0时,总有2x3x;③当x从1增加到3,y=2x的函数值从2增加到8,y=3x的函数值从3增加到27,说明当x0时,函数y=3x的函数值比y=2x的函数值增长得快.对于指数函数y=ax(a0,且a≠1),将底数a由2变为3,发现它们的图象发生了显著变化,在第一象限内,底数a越小,函数的图象越接近x轴.再类似地列表分析函数y=12𝑥和y=13𝑥的函数值的变化.由上面的探究过程可以得出底数a对函数值的影响:ab10ab1性质1.当x0时总有axbx1总有axbx12.当x=0时总有ax=bx=1总有ax=bx=13.当x0时总有axbx1总有axbx14.指数函数的底数越大当x0时,其函数值增长得越快当x0时,其函数值减少得越慢归纳总结指数幂ax和1的比较:当x0,a1或x0,a1时,ax1,即指数x和0比较,底数a和1比较,当不等号的方向相同时,ax大于1,简称为“同大”;当x0,a1或x0,a1时,ax1,即指数x和0比较,底数a和1比较,当不等号的方向相反(异)时,ax小于1,简称为“异小”.因此简称为“同大异小”.二、指数函数的图象分布规律剖析:先从特例入手:在同一平面直角坐标系中画出下列函数的图象:①y=2x;②y=5x;③y=15𝑥;④y=12𝑥.观察四个函数图象,它们有何特点?你能从中总结出一般性结论吗?(1)指数函数y=ax(a0,且a≠1)恒过两个点(0,1)和(1,a).这四个函数都经过点(0,1),又分别经过点(1,2),(1,5),1,15,1,12.再由函数的单调性就可以画出四个函数的大致图象(如图所示).(2)从上图中总结出一般性结论为:①观察指数函数的图象,既不关于原点对称,也不关于y轴对称,所以是非奇非偶函数.②y=ax与y=1𝑎𝑥的图象关于y轴对称,分析指数函数y=ax的图象时,需找三个关键点:(1,a),(0,1),-1,1𝑎.③指数函数的图象永远在x轴的上方.当a1时,图象越接近于y轴,底数a越大;当0a1时,图象越接近于y轴,底数a越小.知识拓展1.当底数a的大小不确定时,必须分“a1”和“0a1”两种情形讨论.2.当0a1时,x→+∞,y→0;当a1时,x→-∞,y→0.当a1时,a的值越大,图象随x增大递增的速度越快;当0a1时,a的值越小,图象随x增大递减的速度越快.(其中“x→+∞”的意义是:“x趋向于正无穷大”)三、教材中的“?”指数函数y=ax(a0,且a≠1),当a1时,x取何值,y1?x取何值,0y1?0a1呢?剖析:当a1时,若x0,则y1;若x0,则0y1.当0a1时,若x0,则y1;若x0,则0y1.题型一题型二题型三题型四题型五题型一求指数型函数的定义域、值域【例1】求下列函数的定义域与值域:(1)y=21𝑥-3;(2)y=13|𝑥|;(3)y=2𝑥2-1.分析:求指数型函数y=af(x)(a0,且a≠1)的定义域主要分析f(x)的定义域和值域.题型一题型二题型三题型四题型五解:(1)要使函数y=21𝑥-3有意义,则有x-3≠0,即x≠3.因为1𝑥-3≠0,所以y=21𝑥-3≠1.故函数的定义域是{x|x∈R,且x≠3},值域为{y|y0,且y≠1}.(2)因为y=13|𝑥|中的|x|≥0,所以x∈R,0y≤1.故函数的定义域为R,值域为{y|0y≤1}.(3)因为当x∈R时,x2-1≥-1,所以2𝑥2-1≥12,故函数定义域为R,值域为𝑦𝑦≥12.题型一题型二题型三题型四题型五反思1.对于指数型函数y=af(x)(a0,且a≠1),其定义域就是函数f(x)的定义域,可按照求函数定义域的一般方法进行求解;2.求指数型函数y=af(x)(a0,且a≠1)的值域时,通常采用逐步递推的方法,先确定f(x)的取值范围,再结合指数函数的单调性求得原函数的值域.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练1】求下列各函数的定义域和值域:(1)y=13𝑥;(2)y=52𝑥;(3)y=110-𝑥2.解:(1)由题意知x≥0,当x≥0时,𝑥≥0,即013𝑥≤1,故函数的定义域为{x|x≥0},值域为{y|0y≤1}.(2)要使函数有意义,则有x≠0,当x≠0时,2𝑥≠0,即52𝑥≠1,故函数的定义域为{x|x≠0},值域为{y|y0,且y≠1}.(3)当x∈R时,函数有意义,且x2≥0,-x2≤0,即110-𝑥2≥1.故函数的定义域为R,值域为{y|y≥1}.题型一题型二题型三题型四题型五题型二指数函数的单调性及其应用【例2】(1)比较下列各组数的大小:①3.30.1,3.30.2;②1.70.3,0.93.1;③a1.3,a2.5(a0,a≠1).(2)求函数f(x)=23𝑥2-2𝑥的单调区间.分析:(1)由于①中的底数相同,因此可直接应用指数函数的单调性进行比较,而②中的底数不同,指数也不同,可借助中间值来比较大小,③中底数相同,但范围不确定,应讨论;(2)先分析函数u=x2-2x的单调性,再结合增减函数定义分析y=23𝑢的增减性,确定单调区间.题型一题型二题型三题型四题型五解:(1)①指数函数y=3.3x在R上为增函数.因为0.10.2,所以3.30.13.30.2.②因为1.70.31,0.93.11,所以1.70.30.93.1.③当a1时,函数y=ax在R上是增函数,此时a1.3a2.5;当0a1时,函数y=ax在R上是减函数,此时a1.3a2.5.综上,当a1时,a1.3a2.5;当0a1时,a1.3a2.5.题型一题型二题型三题型四题型五(2)设u=x2-2x,则u=(x-1)2-1,当x∈(-∞,1)时,u是减函数.因为0231,所以y=23𝑢是减函数,故当x∈(-∞,1)时,y=23𝑥2-2𝑥是增函数;当x∈(1,+∞)时,u是增函数,y=23𝑢是减函数,故当x∈(1,+∞)时,y=23𝑥2-2𝑥是减函数.故f(x)的单调递增区间是(-∞,1),单调递减区间是(1,+∞).题型一题型二题型三题型四题型五反思1.在进行幂值的大小比较时,若底数相同,则可根据指数函数的单调性得出结果;若底数不相同,则首先考虑能否化为同底数,然后根据指数函数的单调性得出结果;不能化成同底数的,要考虑引进第三个数(如0,1等)分别与之比较,从而得出结果.总之,比较时要尽量转化成同底的形式,根据指数函数的单调性进行判断.2.函数y=af(x)(a0,且a≠1)的单调性可按如下规则确定:(1)当a1时,函数y=af(x)的单调性与f(x)的单调性相同;(2)当0a1时,函数y=af(x)的单调性与f(x)的单调性相反;(3)当底数a不确定时,要分a1和0a1两种情况讨论.题型一题型二题型三题型四题型五【变式训练2】(1)比较大小:①3423与3413;②140.8与121.8;③65-37与5647.(2)求函数f(x)=122𝑥-𝑥2的最值.题型一题型二题型三题型四题型五解:(1)①因为函数y=34𝑥是减函数,且2313,所以34233413;②140.8=121.6.因为函数y=12𝑥是减函数,且1.61.8,所以140.8121.8;③65-37=5637.因为函数y=56𝑥是减函数,且3747,所以65-375647.题型一题型二题型三题型四题型五(2)令t=2x-x2,则t=-(x-1)2+1.因为函数定义域为R,所以t有最大值1,此时x=1.又因为y=12𝑡是减函数,所以当x=1时,y=122𝑥-𝑥2有最小值121=12,无最大值.故函数y=122𝑥-𝑥2有最小值12,无最大值.题型一题型二题型三题型四题型五题型三指数函数的图象变换【例3】先作出函数y=2x的图象,再通过图象变换作出下列函数的图象.(1)y=2x-2,y=2x+1;(2)y=2x+1,y=2x-2;(3)y=-2x,y=2-x,y=-2-x.分析:先作出y=2x的图象,再向左(右)、上(下)平移分别得到第(1)(2)题中函数的图象;由y=2x