山东省实验中学西校2019届高三12月检测(数学理)

高三数学(理类)出题人李倩审题人孙颜本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22题～第23题为选考题，其它题为必考题．注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上，并将条码粘贴在答题卡指定区域.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡指定位置书写作答，在本试题卷上作答无效．3.考试结束后，考生将答题卡交回.第Ⅰ卷一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知为虚数单位，则复数的共轭复数所对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.设全集，集合，,则下列结论正确的是（）A．B．C．D．3.下列函数中，在其定义域内是增函数而且又是奇函数的是（）A．B．C．D．4.已知两个非零向量满足，且，则（）A.B.C.D.5.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的表面积为（）A．B．C．D．6.设等差数列满足，，是数列的前n项和，则使得最大的自然数是（）A．9B.C.D.7．若函数的图象如图所示，则下列函数与其图象相符的是（）8.执行如图所示的程序框图，如果输入，，则输出的的值为（）A．B．C．D．9．实数满足，则的最大值是（）A．2B．4C．6D．810.已知是双曲线上任意一点，过点分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为、，则的值是（）A．B．C．D．不能确定11.将3本相同的小说，2本相同的诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本，则不同的分法有（）A．24种B．28种C．32种D．36种12.已知函数的图象在点处的切线为，若也与函数，的图象相切，则必满足（）A．B．C．D．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上）13.已知，则=____________.14.已知抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，过作于点，当（为坐标原点）时,____________.15.设数列的前项和为，且，，则____________.16.已知函数若方程恰有一个解时，则实数的取值范围.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）已知数列是公差不为0的等差数列，首项，且成等比数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设数列满足，求数列的前项和.18.（本小题满分12分）如图，在三棱柱中，侧面底面，，且点为中点.（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）求二面角的大小.19.（本小题满分12分）某地4个蔬菜大棚顶部,阳光照在一棵棵茁壮生长的蔬菜上．这些采用水培、无土栽培方式种植的各类蔬菜,成为该地区居民争相购买的对象．过去50周的资料显示,该地周光照量（小时）都在30以上．其中不足50的周数大约有5周,不低于50且不超过70的周数大约有35周,超过70的大约有10周．根据统计某种改良黄瓜每个蔬菜大棚增加量（百斤）与每个蔬菜大棚使用农夫1号液体肥料（千克）之间对应数据为如图所示的折线图：（Ⅰ）依据数据的折线图,用最小二乘法求出关于的线性回归方程；并根据所求线性回归方程,估计如果每个蔬菜大棚使用农夫1号肥料10千克,则这种改良黄瓜每个蔬菜大棚增加量是多少斤？（Ⅱ）因蔬菜大棚对光照要求较大,某光照控制仪商家为应对恶劣天气对光照的影响,为该基地提供了部分光照控制仪,该商家希望安装的光照控制仪尽可能运行,但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量限制,并有如下关系：周光照量（单位：小时）光照控制仪最多可运行台数321若某台光照控制仪运行,则该台光照控制仪周利润为5000元；若某台光照控制仪未运行,则该台光照控制仪周亏损800元,欲使商家周总利润的均值达到最大,应安装光照控制仪多少台？附：回归方程系数公式：,．20.（本小题满分12分）已知椭圆的左焦点为，.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）如图，设是椭圆上一动点，由原点向圆引两条切线，分别交椭圆于点，若直线的斜率存在，并记为，求证：为定值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数.（Ⅰ）当时，求证：；（Ⅱ）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围；（Ⅲ）若，证明.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在以直角坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线的方程是，将向上平移1个单位得到曲线.(Ⅰ)求曲线的极坐标方程；(Ⅱ)若曲线的切线交曲线于不同两点,切点为.求的取值范围.23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数，.（Ⅰ）若，解关于的不等式；（Ⅱ）若对于任意的实数，不等式恒成立，求实数的取值范围.高三数学（理科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分.一．选择题1.D2.D3.C4.B5.C6.A7.B8.B9.B10.A11.B12.D二.填空题13.14.15.6616.三、解答题17.(本小题满分12分)解：（Ⅰ）设数列的公差为，由题设，，.............2分即，解得...................................4分又∵，∴，可以求得..................................6分（Ⅱ）由（Ⅰ）得.................8分..................12分（分别求和每步给2分）18.(本小题满分12分)解：（Ⅰ）证明:因为，且为的中点，所以，............2分又∵侧面底面,交线为,且平面，∴平面..........4分（Ⅱ）如图,以为原点,所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.由已知可得，，，，∴，，.................6分设平面的一个法向量为，则有令，得，∴..................8分设平面的法向量为，则有令，则，，∴.................10分∴∴所求二面角的大小为..................12分19.(本小题满分12分)（Ⅰ）,,,.......................................................3分,...................................................4分所以关于的线性回归方程为,当时,百斤＝550斤,所以估计如果每个蔬菜大棚使用农夫1号肥料10千克,则这种改良黄瓜每个蔬菜大棚增加量是500斤．................................................................5分（Ⅱ）记商家总利润为元,由已知条件可知至少需安装1台,①安装1台光照控制仪可获得周利润5000元,.................................6分②安装2台光照控制仪的情形：当时,一台光照控制仪运行,此时元,当时,两台光照控制仪都运行,此时元,故的分布列为4200100000.20.8所以元,..................................8分③安装3台光照控制仪的情形：当时,一台光照控制仪运行,此时元,当时,两台光照控制仪运行,此时元,当时,三台光照控制仪都运行,此时元,故的分布列为34009200150000.20.70.1所以元,.......................11分综上,为使商家周总利润的均值达到最大应该安装2台光照控制仪．..................12分20.(本小题满分12分)解:（Ⅰ）由题意得，，解得，.................1分∴椭圆方程为..................3分（Ⅱ）由已知，直线：，：，且与圆相切，∴，化简得同理，.................5分∴是方程的两个不相等的实数根∴，，.................7分∵点在椭圆C上，所以，即∴．.................8分（Ⅲ）是定值18．设，联立解得∴同理，得．.................10分由，∴综上：．.................12分21.(本小题满分12分)解：（Ⅰ）时，..................1分当时，；当时，..................2分故在单调递减，在单调递增，，∴.................3分（Ⅱ）方法一：.由（Ⅰ）知，当且仅当时等号成立.故从而当，即时，在区间上，，单调递增，，即，符合题意..................5分又由，可得.从而当时，在区间上，，单调递减，，即，不合题意...............7分综上得实数的取值范围为..................8分方法二：，令，则.1）当时，在上，，递增，，即在为增函数，，时满足条件；............5分2）当时，令，解得，在当上，单调递减，时，有，即，在区间为减函数，，不合题意..............7分综上得实数的取值范围为..................8分（Ⅲ）由（Ⅱ）得，当时，，，即欲证不等式，只需证..................10分设，则时，恒成立，且，恒成立.所以原不等式得证..................12分22.(本小题满分10分)依题,因,所以曲线的直角坐标下的方程为,所以曲线的直角坐标下的方程为,…3分又，所以,即曲线的极坐标方程为.…………………5分(Ⅱ)由题令，，切线的倾斜角为，所以切线的参数方程为:(为参数).……………………………7分联立的直角坐标方程得,,…8分即由直线参数方程中,的几何意义可知,，因为所以.…………10分(解法二)设点，则由题意可知当时，切线与曲线相交，由对称性可知，当时斜线的倾斜角为，则切线MN的参数方程为：（t为参数），…………………7分与C2的直角坐标联立方程，得，…………………8分则,因为，所以.…………………10分此题也可根据图形的对称性推出答案，此种方法酌情给分.23.(本小题满分10分)解：（Ⅰ）当时，，即，.................1分原不等式等价于，.................3分解得，不等式的解集为..................5分（Ⅱ），原问题等价于，........6分由三角绝对值不等式的性质，得.................8分原问题等价于，又，，解得................10分