（通用版）2020版高考数学大二轮复习 专题五 立体几何 5.4.1 空间中的平行与几何体的体积课件

5.4立体几何大题-2-年份卷别设问特点涉及知识点几何模型数学思想方法2015全国1证面面垂直;求三棱锥的侧面积面面垂直判定定理、三棱锥体积、侧面积四棱锥、三棱锥演绎推理、方程思想全国2在长方体中画正方形;求平面分长方体的两部分体积比线面平行性质定理、棱柱体积长方体、棱柱演绎推理、转换思想2016全国1证某点是线段中点;求四面体体积正投影、等腰三角形的性质、线面垂直的性质、棱锥体积正三棱锥演绎推理、转换思想全国2证线线垂直;求棱锥体积成比例线段的性质、勾股定理、线面垂直判定定理、棱锥体积五棱锥演绎推理、转换思想、定理逆用全国3证线面平行;求四面体体积线面平行判定定理、棱锥体积四棱锥演绎推理、转换思想-3-年份卷别设问特点涉及知识点几何模型数学思想方法2017全国1证明面面垂直;求棱锥的侧面积面面垂直的判定定理、棱锥体积四棱锥演绎推理、方程思想全国2证明线面平行;求棱锥体积线面平行判定定理、面面垂直性质定理、棱锥体积四棱锥演绎推理、转换思想、方程思想全国3证线线垂直;求两四面体体积之比线面垂直判定定理、勾股定理、锥体体积四面体演绎推理、转换思想-4-年份卷别设问特点涉及知识点几何模型数学思想方法2018全国1证明面面垂直;求三棱锥的体积面面垂直的判定定理;棱锥体积公式三棱锥演绎推理、转换思想全国2证明线面垂直;求点到面的距离勾股定理的逆定理,线面垂直的判定定理,等面积求距离三棱锥演绎推理、转换思想全国3证面面垂直;探寻线面平行并证明线面垂直性质及判定定理;中位线定理及线面平行判定定理两面垂直演绎推理、转换思想-5-年份卷别设问特点涉及知识点几何模型数学思想方法2019全国1证明线面平行;求点到面的距离线面平行的判定定理;点到面距离的定义,线面垂直的判定定理直四棱柱转换思想,演绎推理全国2证明线面垂直;求四棱锥的体积线面垂直的判定定理;面面垂直的性质定理,三角形全等,锥体体积公式长方体与四棱锥转换思想,演绎推理全国3证四点共面、面面垂直;求四边形的面积共面定理,面面垂直的判定定理,面面垂直的性质,菱形的性质平面图形的折叠、三棱柱转换思想,演绎推理-6-1.证明线线平行和线线垂直的常用方法(1)证明线线平行常用的方法:①利用平行公理,即证两直线同时和第三条直线平行;②利用平行四边形进行平行转换;③利用三角形的中位线定理证线线平行;④利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换.(2)证明线线垂直常用的方法:①利用等腰三角形底边上的中线即高线的性质;②勾股定理;③线面垂直的性质,即要证两直线垂直,只需证明一直线垂直于另一直线所在的平面即可,即l⊥α,a⊂α⇒l⊥a.2.垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型(1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直.(4)证明面面垂直,需转化为证明线面垂直,进而转化为证明线线垂直.-7-3.求几何体的表面积或体积(1)对于规则几何体,可直接利用公式计算.对于某些三棱锥,有时可采用等体积转换法求解.(2)对于不规则几何体,可采用割补法求解.(3)求解旋转体的表面积和体积时,注意圆柱的轴截面是矩形,圆锥的轴截面是等腰三角形,圆台的轴截面是等腰梯形的应用.4.解决平面图形的翻折问题,关键是抓住平面图形翻折前后的不变性,即两条直线的平行与垂直关系以及相关线段的长度、角度等的不变性.5.4.1空间中的平行与几何体的体积-9-考向一考向二证平行关系求几何体的体积(多维探究)类型一证明线面平行及求几何体的体积例1如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,∠BAD=∠ABC=90°.(1)证明:直线BC∥平面PAD;(2)若△PCD的面积为2,求四棱锥P-ABCD的体积.127-10-考向一考向二(1)证明在平面ABCD内,因为∠BAD=∠ABC=90°,所以BC∥AD.又BC⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,故BC∥平面PAD.(2)解取AD的中点M,连接PM,CM,如图.由AB=BC=AD及BC∥AD,∠ABC=90°得,四边形ABCM为正方形,则CM⊥AD.因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以PM⊥AD,PM⊥底面ABCD.因为CM⊂底面ABCD,所以PM⊥CM.12-11-考向一考向二设BC=x,则CM=x,CD=2x,PM=3x,PC=PD=2x.取CD的中点N,连接PN,则PN⊥CD,所以PN=142x.因为△PCD的面积为27,所以12×2x×142x=27,解得x=-2(舍去),x=2.于是AB=BC=2,AD=4,PM=23.所以四棱锥P-ABCD的体积V=13×2×(2+4)2×23=43.-12-考向一考向二解题心得1.证线面平行,一般利用线面平行的判定定理,难点是找直线在平面内的平行线:(1)利用三角形的中位线找平行线证线面平行;(2)构造平行四边形,找平行线;(3)利用平行线分线段成比例定理的逆定理证线线平行.2.求几何体的体积,一般思路是围绕已知条件和要求的几何体的底和高,通过几何体的几何性质,建立已知和未知的关系,依据题意可借助方程的思想求出未知数,从而求出体积.-13-考向一考向二对点训练1(2019四川成都一模,文18)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形,∠ABC=60°,PA⊥平面ABCD,点M是棱PC的中点.(1)证明:PA∥平面BMD;(2)当PA=时,求三棱锥M-PAD的体积.3-14-考向一考向二(1)证明如图,连接AC交BD于点O,连接MO.∵M,O分别为PC,AC的中点,∴PA∥MO.∵PA⊄平面BMD,MO⊂平面BMD,∴PA∥平面BMD.-15-考向一考向二(2)解如图,取线段BC的中点H,连接AH.∵四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,∴AH⊥AD.∵PA⊥平面ABCD,∴AH⊥PA.又PA∩AD=A,所以AH⊥平面PAD,∴点H到平面PAD的距离即为AH的长度.又BC∥AD,∴点C到平面PAD的距离即为AH的长度.∵M为PC的中点,∴点M到平面PAD的距离即为12AH的长度.∴VM-PAD=13S△PAD·12AH=12×13×12×3×2×3=12.-16-考向一考向二类型二证明面面平行及求几何体的体积例2如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,PA⊥底面ABCD,PA=AB,E,F,G分别是PA,PB,BC的中点.(1)证明:平面EFG∥平面PCD;(2)若平面EFG截四棱锥P-ABCD所得截面的面积为,求四棱锥P-ABCD的体积.322-17-考向一考向二(1)证明因为E,F分别为PA,PB的中点,所以EF∥AB.又AB∥CD,所以EF∥CD.∵F,G分别为PB,BC的中点,∴FG∥PC.∵PC∩CD=C,EF∩FG=F,∴平面EFG∥平面PCD.(2)解设H为AD的中点,连接GH,EH,则GH∥EF,则平面EFG截四棱锥P-ABCD的截面为梯形EFGH,∵PA⊥平面ABCD,DC⊂平面ABCD,∴PA⊥DC,又DC⊥AD,∴DC⊥平面PAD.-18-考向一考向二又EH⊂平面PAD,∴CD⊥EH.∵GH∥CD,∴GH⊥EH,∴梯形EFGH为直角梯形.不妨设PA=AB=a,则EF=12AB=12a,GH=AB=a,EH=𝐴𝐸2+𝐴𝐻2=22a.所以S梯形EFGH=(𝐸𝐹+𝐺𝐻)·𝐸𝐻2=12𝑎+𝑎·22𝑎2=382a2=322,∴a=2.∴V四棱锥P-ABCD=13S正方形ABCD·PA=13×22×2=83.-19-考向一考向二解题心得1.证明面面平行的方法有:(1)利用定义证明;(2)利用判定定理:一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,则这两个平面平行;(3)垂直于同一直线的两个平面平行;(4)平行于同一个平面的两个平面平行.2.求几何体的体积首先要考虑的是几何体的底面面积和几何体的高,如果都易求,那么直接代入体积公式即可.-20-考向一考向二对点训练2如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是正方形,CD=PD,∠ADP=90°,∠CDP=120°,E,F,G分别为PB,BC,AP的中点.(1)求证:平面EFG∥平面PCD;(2)若CD=PD=2,求三棱锥E-CDF的体积.-21-考向一考向二(1)证明因为E,G分别为BP,AP的中点,所以EG∥AB,又因为四边形ABCD是正方形,所以EG∥CD,所以EG∥平面PCD.因为E,F分别为BP,BC的中点,所以EF∥PC,所以EF∥平面PCD.所以平面EFG∥平面PCD.-22-考向一考向二(2)解S△CDF=12×2×1=1,因为AD⊥DC,AD⊥DP,所以AD⊥平面PDC,所以平面ABCD⊥平面PDC.因为CD=PD=2,∠CDP=120°,所以PC=23.所以P到平面ABCD的距离为23×sin30°=3,因为E为BP的中点,所以E到平面ABCD的距离为32,所以VE-CDF=13×1×32=36.-23-考向一考向二证平行关系求点到面的距离(多维探究)类型一定义法求点到面的距离例3(2019全国卷1,文19)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.(1)证明:MN∥平面C1DE;(2)求点C到平面C1DE的距离.-24-考向一考向二(1)证明连接B1C,ME.由题设知A1B1􀱀DC,可得B1C􀱀A1D,故ME􀱀ND,因此四边形MNDE为平行四边形,MN∥ED.又MN⊄平面C1DE,所以MN∥平面C1DE.因为M,E分别为BB1,BC的中点,所以ME∥B1C,且ME=12B1C.又因为N为A1D的中点,所以ND=12A1D.-25-考向一考向二(2)解过C作C1E的垂线,垂足为H.由已知可得DE⊥BC,DE⊥C1C,所以DE⊥平面C1CE,故DE⊥CH.从而CH⊥平面C1DE,故CH的长即为C到平面C1DE的距离.由已知可得CE=1,C1C=4,所以C1E=17,故CH=41717.从而点C到平面C1DE的距离为41717.-26-考向一考向二解题心得在空间中,求点A到平面α的距离,可利用点到面的距离的定义来求,一般在过点A且与平面α垂直的平面内作两平面交线的垂线,由面面垂直的性质定理可知,该垂线垂直平面α,点A与垂足的距离即为点到平面α的距离.-27-考向一考向二对点训练3如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明:PB∥平面AEC;(2)设AP=1,AD=3,三棱锥P-ABD的体积V=34,求点A到平面PBC的距离.-28-考向一考向二(1)证明设BD与AC的交点为O,连接EO.因为四边形ABCD为矩形,所以O为BD的中点.又E为PD的中点,所以EO∥PB.又EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,所以PB∥平面AEC.(2)解V=16PA·AB·AD=36AB,由V=34,可得AB=32.作AH⊥PB交PB于点H,由题设知BC⊥平面PAB,所以BC⊥AH.故AH⊥平面PBC.又AH=𝑃𝐴·𝐴𝐵𝑃𝐵=31313.所以点A到平面PBC的距离为31313.-29-考向一考向二类型二体积法求点到面的距离例4(2019河北唐山三模,文18)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,C1C⊥底面ABC,∠ACB=90°,AC=BC=4,M,N分别为AB,CC1的中点.(1)求证:CM∥平面AB1N;(2)若AB1与平面B1C1CB所成的角为30°,求点M到平面AB1N的距离.-30-考向一考向二(1)证明取AB1的中点O,连接OM,ON(图略),在△ABB1中,O,M分别是AB1,AB的中点,则OM∥BB1,且OM=BB1.又N为CC1的中点,CC1􀱀BB1,所以NC∥BB1,NC=BB1,从而有OM∥NC且OM=NC,所以四边形OMCN为平行四边形,所以CM∥NO.又