（通用版）2020版高考数学大二轮复习 专题七 第1讲 直线与圆课件 理

第1讲直线与圆近五年高考试题统计与命题预测年份卷别题号考查角度命题预测2019Ⅰ——从题量上看,多数年份是1个选择题,个别年份2个小题(10分)从题序上看,多出现在基础题的位置.从命题特点上看,直线与直线的位置关系在高考中出现的频率较高,主要考查两直线平行或垂直的条件,有时与充要条件相结合出现在选择题中.对圆的考查常涉及圆的方程的求法,直线与圆的位置关系的判断,弦长问题及切线问题,直线与圆的方程偶尔单独命题,单独命题时有一定的深度,有时也会出现在压轴题的位置,难度较大.Ⅱ——Ⅲ21直线与圆的位置关系2018Ⅰ——Ⅱ19(2)圆的方程、直线与圆的位置关系Ⅲ6直线与圆的位置关系2017Ⅰ15圆的性质、点到直线的距离、双曲线的几何性质Ⅱ9圆的弦长问题、双曲线的几何性质Ⅲ20直线与圆的方程、直线与抛物线的位置关系2016Ⅰ20圆的方程与性质Ⅱ4圆的方程、点到直线的距离应用Ⅲ16直线与圆的位置关系2015Ⅰ——Ⅱ7圆的方程、弦长问题1.(2018全国Ⅲ,理6)直线x+y+2=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是()A.[2,6]B.[4,8]C.[2,32]D.[22,32]解析:设圆心到直线AB的距离d=|2+0+2|2=22.点P到直线AB的距离为d'.易知d-r≤d'≤d+r,即2≤d'≤32.又AB=22,∴S△ABP=12·|AB|·d'=2d',∴2≤S△ABP≤6.答案:A2.(2016全国Ⅲ,理16)已知直线l:mx+y+3m-3=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=23,则|CD|=.解析:因为|AB|=23,且圆的半径R=23,所以圆心(0,0)到直线mx+y+3m-3=0的距离为𝑅2-|𝐴𝐵|22=3.由|3𝑚-3|𝑚2+1=3,解得m=-33.将其代入直线l的方程,得y=33x+23,即直线l的倾斜角为30°.由平面几何知识知在梯形ABDC中,|CD|=|𝐴𝐵|cos30°=4.答案:43.(2018全国Ⅱ,理19)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A,B两点,|AB|=8.(1)求l的方程.(2)求过点A,B且与C的准线相切的圆的方程.解:(1)由题意得F(1,0),l的方程为y=k(x-1)(k0).设A(x1,y1),B(x2,y2).由𝑦=𝑘(𝑥-1),𝑦2=4𝑥得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.Δ=16k2+160,故x1+x2=2𝑘2+4𝑘2.所以|AB|=|AF|+|BF|=(x1+1)+(x2+1)=4𝑘2+4𝑘2.由题设知4𝑘2+4𝑘2=8,解得k=-1(舍去),k=1.因此l的方程为y=x-1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为y-2=-(x-3),即y=-x+5.设所求圆的圆心坐标为(x0,y0),则因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=16或(x-11)2+(y+6)2=144.𝑦0=-𝑥0+5,(𝑥0+1)2=(𝑦0-𝑥0+1)22+16.解得𝑥0=3,𝑦0=2或𝑥0=11,𝑦0=-6.一、直线的方程1.两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1,l2的斜率k1,k2存在,则l1∥l2⇔k1=k2,l1⊥l2⇔k1k2=-1.若给出的直线方程中存在字母系数,则要考虑斜率是否存在.2.两个距离公式(1)两平行直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0间的距离d=|𝐶1-𝐶2|𝐴2+𝐵2.(2)点(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离公式d=|𝐴𝑥0+𝐵𝑦0+𝐶|𝐴2+𝐵2.二、圆的方程圆的3种方程(1)圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2.(2)圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F0).(3)圆的直径式方程:(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0(圆的直径的两端点是A(x1,y1),B(x2,y2)).三、直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系的判定(1)几何法:把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较:dr⇔相交;d=r⇔相切;dr⇔相离.(2)代数法:将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组,利用判别式Δ来讨论位置关系:Δ0⇔相交;Δ=0⇔相切;Δ0⇔相离.2.圆与圆的位置关系的判定设两圆的半径分别为r1、r2,圆心距为d,则两圆的位置关系满足以下关系:(1)dr1+r2⇔两圆外离;(2)d=r1+r2⇔两圆外切;(3)|r1-r2|dr1+r2⇔两圆相交;(4)d=|r1-r2|(r1≠r2)⇔两圆内切;(5)0≤d≤|r1-r2|⇔两圆内含.考点1考点2考点3直线的方程例1(1)(2019山东潍坊期末)已知直线l1:3x-6y+1=0,l2:x-my+2=0,l3:nx+y+3=0,若l1∥l2,且l1⊥l3,则m-n的值为()A.4B.-4C.2D.0(2)(2019浙江杭州高级中学期末)已知椭圆𝑥216+𝑦24=1的左焦点为F,则点F到直线x-y=0的距离为()A.62B.3C.6D.10考点1考点2考点3(3)(2019北京石景山练酷专题测试)著名数学家华罗庚曾说过:“数形结合百般好,隔裂分家万事休.”事实上,有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决,如:(𝑥-𝑎)2+(𝑦-𝑏)2可以转化为平面上点M(x,y)与点N(a,b)的距离.结合上述观点,可得f(x)=𝑥2+4𝑥+20+𝑥2+2𝑥+10的最小值为()A.25B.52C.4D.8考点1考点2考点3解析:(1)因为l1∥l2,所以k1=k2,即36=1𝑚,所以m=2;由l1⊥l3可得k1k3=-1,即36×(-n)=-1,解得n=2,所以m-n=0,故选D.(2)因为c=16-4=23,所以F(-23,0),故点F到直线x-y=0的距离为d=|-23-0|2=6,故选C.(3)∵f(x)=𝑥2+4𝑥+20+𝑥2+2𝑥+10=(𝑥+2)2+(0-4)2+(𝑥+1)2+(0-3)2,∴f(x)的几何意义为点M(x,0)到两定点A(-2,4)与B(-1,3)的距离之和,设点A(-2,4)关于x轴的对称点为A',则A'为(-2,-4).要求f(x)的最小值,可转化为|MA|+|MB|的最小值,利用对称思想可知|MA|+|MB|≥|A'B|=(-1+2)2+(3+4)2=52,即f(x)=𝑥2+4𝑥+20+𝑥2+2𝑥+10的最小值为52.故选B.答案:(1)D(2)C(3)B考点1考点2考点3考点1考点2考点3对应训练1(1)已知点P(a,b)和Q(b-1,a+1)是关于直线l对称的两点,则直线l的方程是()A.x+y=0B.x-y=0C.x+y-1=0D.x-y+1=0(2)已知A(3,1),B(-1,2),若∠ACB的平分线方程为y=x+1,则AC所在的直线方程为()A.y=2x+4B.y=x-3C.x-2y-1=0D.3x+y+1=012解析:(1)∵kPQ=𝑎+1-𝑏𝑏-1-𝑎=-1,∴kl=1.点P(a,b)和Q(b-1,a+1)的中点为𝑎+𝑏-12,𝑎+𝑏+12.则直线l的方程是y-𝑎+𝑏+12=x-𝑎+𝑏-12,整理得:x-y+1=0,故选D.(2)由题意可知,直线AC和直线BC关于直线y=x+1对称.设点B(-1,2)关于直线y=x+1的对称点为B'(x0,y0),则有𝑦0-2𝑥0+1=-1,𝑦0+22=𝑥0-12+1,解得𝑥0=1,𝑦0=0,即B'(1,0).因为B'(1,0)在直线AC上,所以直线AC的斜率为k=1-03-1=12,所以直线AC的方程为y-1=12(x-3),即x-2y-1=0.故C正确.考点1考点2考点3答案:(1)D(2)C考点1考点2考点3圆的方程及应用例2(2017全国Ⅲ,理20)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.(1)证明:坐标原点O在圆M上;(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.由𝑥=𝑚𝑦+2,𝑦2=2𝑥可得y2-2my-4=0,则y1y2=-4.又x1=𝑦122,x2=𝑦222,故x1x2=(𝑦1𝑦2)24=4.因此OA的斜率与OB的斜率之积为𝑦1𝑥1·𝑦2𝑥2=-44=-1,所以OA⊥OB.故坐标原点O在圆M上.考点1考点2考点3(2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.故圆心M的坐标为(m2+2,m),圆M的半径r=(𝑚2+2)2+𝑚2.由于圆M过点P(4,-2),因此𝐴𝑃·𝐵𝑃=0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4.所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-12.当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为10,圆M的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.当m=-12时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为94,-12,圆M的半径为854,圆M的方程为𝑥-942+𝑦+122=8516.考点1考点2考点3考点1考点2考点3对应训练2(1)已知圆C:x2+(y-3)2=4,过点A(-1,0)的直线l与圆C相交于P、Q两点,若|PQ|=2,则直线l的方程为()A.x=-1或4x+3y-4=0B.x=-1或4x-3y+4=0C.x=1或4x-3y+4=0D.x=1或4x+3y-4=0(2)已知圆C的圆心与抛物线y2=4x的焦点关于直线y=x对称,直线4x-3y-2=0与圆C相交于A,B两点,且|AB|=6,则圆C的方程为.3考点1考点2考点3解析:(1)当直线l与x轴垂直时,易知x=-1,符合题意;当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+1),线段PQ的中点为M,由于|PQ|=23,易得|CM|=1.又|CM|=|-3+𝑘|𝑘2+1=1,解得k=43,此时直线l的方程为y=43(x+1).故所求直线l的方程为x=-1或4x-3y+4=0.故选B.(2)设所求圆的半径是r,依题意得抛物线y2=4x的焦点坐标是(1,0),则圆C的圆心坐标是(0,1),圆心到直线4x-3y-2=0的距离d=|4×0-3×1-2|42+(-3)2=1,则r2=d2+|𝐴𝐵|22=10,故圆C的方程是x2+(y-1)2=10.答案:(1)B(2)x2+(y-1)2=10考点1考点2考点3与圆有关的最值问题例3(1)已知圆C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圆C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分别是圆C1,C2上的动点,P为x轴上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为()(2)(2019江西南昌一模)已知过定点P(2,0)的直线l与曲线相交于A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积取到最大值时,直线l的倾斜角为()A.150°B.135°C.120°D.不存在(3)已知圆C:(x+1)2+y2=8.若点Q(x,y)是圆C上一点,则x+y的取值范围为.A.52-4B.17-1C.6-22D.17y=2-𝑥2考点1考点2考点3解析:(1)两圆的圆心均在第一象限,先求|PC1|+|PC2|的最小值,作点C1关于x轴的对称点C1'(2,-3),则(|PC1|+|PC2|)min=|C1'C2|=52,所以(|PM|+|PN|)min=52-(1+3)=52-4.(2)曲线y=2-𝑥2,即x2+y2=2(y≥0),表示以原点为圆心,半径为2的上半圆.设直线l的斜率为k,则直线l的方程为y=k(x-2),