（通用版）2020版高考数学大二轮复习 专题二 函数与导数 2.4.2 应用导数求参数的值或范围课件

2.4.2应用导数求参数的值或范围-2-考向一考向二考向三考向四考向五求参数的值例1(2019湖北八校联考二,文21)已知函数f(x)=lnx+ax2+bx.(1)略;(2)当a=0,b=1且t∈(0,+∞)时,关于x的方程tf(x)=x2有唯一实数解,求实数t的值.-3-考向一考向二考向三考向四考向五解(1)略.(2)当a=0,b=1时,方程tf(x)=x2,即x2-tx-tlnx=0.可得g(x)在x∈(0,x2)内单调递减,在x∈(x2,+∞)内单调递增,最小值为g(x2).因为tf(x)=x2有唯一实数解,g(x)有唯一零点,所以g(x2)=0.得x2+2lnx2-1=0.因为h(x)=x+lnx-1单调递增,且h(1)=0,所以x2=1,从而t=1.设g(x)=x2-tx-tlnx,g'(x)=2x-t-𝑡𝑥=0,得x1=𝑡-𝑡2+8𝑡4(舍去),x2=𝑡+𝑡2+8𝑡4,由𝑔'(𝑥2)=0,𝑔(𝑥2)=0,即2𝑥22-𝑡𝑥2-𝑡=0,𝑥22-𝑡𝑥2-𝑡ln𝑥2=0,-4-考向一考向二考向三考向四考向五解题心得求参数的值,方法因题而异,需要根据具体题目具体分析,将题目条件进行合理的等价转化,在转化过程中,构造新的函数,在研究函数中往往需要利用对导数的方法确定函数的单调性.-5-考向一考向二考向三考向四考向五对点训练1(2019河北唐山一模,理21)已知函数f(x)=ax-,a∈R.(1)若f(x)≥0,求a的取值范围;(2)若y=f(x)的图象与y=a相切,求a的值.𝑙𝑛𝑥𝑥解(1)由f(x)≥0得ax-ln𝑥𝑥≥0,即a≥ln𝑥𝑥2.设g(x)=ln𝑥𝑥2,则g'(x)=1-2ln𝑥𝑥3(x0),所以当0xe时,g'(x)0,g(x)单调递增;当xe时,g'(x)0,g(x)单调递减,所以当x=e时,g(x)取得最大值g(e)=12e,故a的取值范围是a≥12e.-6-考向一考向二考向三考向四考向五(2)设y=f(x)的图象与y=a相切于点(t,a),依题意可得𝑓(𝑡)=𝑎,𝑓'(𝑡)=0.因为f'(x)=a-1-ln𝑥𝑥2,所以𝑎𝑡-ln𝑡𝑡=𝑎,𝑎-1-ln𝑡𝑡2=0,消去a可得t-1-(2t-1)lnt=0.令h(t)=t-1-(2t-1)lnt,则h'(t)=1-(2t-1)·1𝑡-2lnt=1𝑡-2lnt-1,显然h'(t)在(0,+∞)上单调递减,且h'(1)=0,所以当0t1时,h'(t)0,h(t)单调递增;当t1时,h'(t)0,h(t)单调递减,所以当且仅当t=1时h(t)=0.故a=1.-7-考向一考向二考向三考向四考向五已知函数极值、最值情况求参数范围例2已知函数f(x)=-a(x-lnx).(1)当a≤0时,试求f(x)的单调区间;(2)若f(x)在(0,1)内有极值,试求a的取值范围.𝑒𝑥𝑥解(1)f'(x)=e𝑥(𝑥-1)𝑥2-a1-1𝑥=e𝑥(𝑥-1)-𝑎𝑥(𝑥-1)𝑥2=(e𝑥-𝑎𝑥)(𝑥-1)𝑥2.当a≤0时,对于∀x∈(0,+∞),ex-ax0恒成立,∴f'(x)0⇒x1,f'(x)0⇒0x1.∴f(x)单调增区间为(1,+∞),单调减区间为(0,1).-8-考向一考向二考向三考向四考向五(2)若f(x)在(0,1)内有极值,则f'(x)=0在x∈(0,1)内有解.令f'(x)=(e𝑥-𝑎𝑥)(𝑥-1)𝑥2=0⇒ex-ax=0⇒a=e𝑥𝑥.设g(x)=e𝑥𝑥,x∈(0,1),∴g'(x)=e𝑥(𝑥-1)𝑥,当x∈(0,1)时,g'(x)0恒成立,∴g(x)单调递减.又g(1)=e,又当x→0时,g(x)→+∞,即g(x)在x∈(0,1)上的值域为(e,+∞),∴当ae时,f'(x)=(e𝑥-𝑎𝑥)(𝑥-1)𝑥2=0有解.-9-考向一考向二考向三考向四考向五设H(x)=ex-ax,则H'(x)=ex-a0,x∈(0,1),∴H(x)在x∈(0,1)单调递减.∵H(0)=10,H(1)=e-a0,∴H(x)=ex-ax在x∈(0,1)有唯一解x0.∴有:故当ae时,f(x)在(0,1)内有极值且唯一.当a≤e时,当x∈(0,1)时,f'(x)≥0恒成立,f(x)单调递增,f(x)在(0,1)内无极值.综上,a的取值范围为(e,+∞).x(0,x0)x0(x0,1)H(x)+0-f'(x)-0+f(x)递增极小值递减-10-考向一考向二考向三考向四考向五解题心得f'(x)=0是f(x)有极值的必要不充分条件,例如函数f(x)=x3,f'(x)=3x2,f'(0)=0,但x=0不是函数f(x)=x3的极值点.所以本例f(x)在(0,1)内有极值,则f'(x)=0有解,由此得出a的范围,还必须由a的范围验证f(x)在(0,1)内有极值.-11-考向一考向二考向三考向四考向五对点训练2(2019河南名校联盟压轴卷四,理21)设f'(x)是函数f(x)的导函数,我们把使f'(x)=x的实数x叫做函数y=f(x)的好点.已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex.(1)若1是函数f(x)的好点,求a;(2)若函数f(x)存在两个好点,求实数a的取值范围.12-12-考向一考向二考向三考向四考向五解(1)f'(x)=ae2x+(a-2)ex,由f'(x)=x,得ae2x+(a-2)ex=x,即ae2x+(a-2)ex-x=0,∵1是函数f(x)的好点,∴ae2+(a-2)e1-1=0,(2)f'(x)=ae2x+(a-2)ex,由f'(x)=x,得ae2x+(a-2)ex=x,即ae2x+(a-2)ex-x=0.令g(x)=ae2x+(a-2)ex-x,问题转化为讨论函数g(x)的零点问题.g'(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1).①当a≤0时,g'(x)=(aex-1)(2ex+1)0恒成立,故函数递减,g(x)不可能有两个零点;∴a=2e+1e2+e.-13-考向一考向二考向三考向四考向五②当a0时,则由g'(x)=0得x=ln1𝑎.当x∈-∞,ln1𝑎时,g'(x)0;当x∈ln1𝑎,+∞时,g'(x)0.∴g(x)在-∞,ln1𝑎单调递减,在ln1𝑎,+∞单调递增,∴当x=ln1𝑎时,g(x)取最小值gln1𝑎=lna-1𝑎+1.①当a=1时,gln1𝑎=lna-1𝑎+1=0,g(x)只有一个零点;②当a1时,gln1𝑎=lna-1𝑎+10,g(x)没有零点;③当0a1时,lna-1𝑎+10,即gln1𝑎0.-14-考向一考向二考向三考向四考向五又g(-2)=ae-4+(a-2)e-2+2-2e-2+20,故g(x)在-2,ln1𝑎上有一个零点.设正整数n满足nln3𝑎-1,en3𝑎-1,则g(n)=en(aen+a-2)-nen-n2n-n0,由于ln3𝑎-1ln1𝑎,故g(x)在ln1𝑎,+∞上有一个零点.综上,函数g(x)有两个零点,即f(x)有两个好点,所以a的取值范围为(0,1).-15-考向一考向二考向三考向四考向五在不等式恒成立中求参数范围例3设函数f(x)=ln(x+1)+a(x2-x).(1)略;(2)若∀x0,f(x)≥0成立,求a的取值范围.-16-考向一考向二考向三考向四考向五解(1)略.(2)∵f(x)=ln(x+1)+a(x2-x),令g(x)=2ax2+ax+1-a(x0),当a=0时,g(x)=1,则f'(x)0在(0,+∞)上恒成立,则f(x)在(0,+∞)上单调递增,∵f(0)=0,∴x∈(0,+∞)时,f(x)0,符合题意.∴f'(x)=1𝑥+1+a(2x-1)=1𝑥+1(2ax2+ax+1-a),当a0时,由Δ=a(9a-8)≤0,得0a≤89,此时g(x)≥0,则f'(x)≥0,f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(x)0,符合题意.当Δ0时,得a89或a0,设函数g(x)的两个零点分别为x1、x2,且x1x2,-17-考向一考向二考向三考向四考向五当a89时,g(x)的图象是开口向上的抛物线,对称轴为x=-14,如下图:由g(0)=1-a,当g(0)≥0时,a≤1,∴当89a≤1,可得x2≤0,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.又f(0)=0,∴x∈(0,+∞)时,f(x)0,符合题意.当a1时,由g(0)=1-a0,可得x20,∴x∈(0,x2)时,f(x)单调递减,又f(0)=0,∴x∈(0,x2)时,f(x)0,不符合题意,舍去;当a0时,函数g(x)的图象是开口向下的抛物线,g(0)=1-a0,可知x20,x∈(x2,+∞)时,g(x)0,则f'(x)0,f(x)单调递减,-18-考向一考向二考向三考向四考向五当x→+∞时,f(x)→-∞,∴x∈(0,+∞)时,f(x)0不恒成立,∴当a0时不适合题意.当a0时,另一解法:利用结论由ln(x+1)x,可得f(x)x+a(x2-x)=ax2+(1-a)x=x(ax+1-a),ax+1-a0,即x1-时,ax2+(1-a)x0,此时f(x)0,不符合题意,舍去.综上所述a的取值范围为[0,1].1𝑎-19-考向一考向二考向三考向四考向五解题心得1.在f(x)≥0的情况下,讨论a的取值范围→求f(x)导函数→确定f(x)的单调区间→求f(x)取最小值→解不等式f(x)min≥0得a的范围→合并a的范围.2.若∀x0,f(x)≥0成立,求a的取值范围.即求当x0,f(x)≥0恒成立时的a的取值范围,即研究a取什么范围,当x0,f(x)≥0,或者能够说明a取什么范围f(x)0,为此还是研究f(x)在(0,+∞)上的单调性.-20-考向一考向二考向三考向四考向五对点训练3(2019河北衡水中学质检三,文21)已知函数f(x)=lnx-a(x+1),a∈R在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.(1)求f(x)的单调区间;(2)若存在x01,当x∈(1,x0)时,恒有k(x-1)成立,求k的取值范围.f(x)-𝑥22+2x+12-21-考向一考向二考向三考向四考向五解(1)由已知可得f(x)的定义域为(0,+∞).∵f'(x)=1𝑥-a,∴f'(1)=1-a=0,∴a=1.∴f'(x)=1𝑥-1=1-𝑥𝑥.令f'(x)0得0x1,令f'(x)0得x1,∴f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).(2)不等式f(x)-𝑥22+2x+12k(x-1)可化为lnx-𝑥22+x-12k(x-1),令g(x)=lnx-𝑥22+x-12-k(x-1)(x1),则g'(x)=1𝑥-x+1-k=-𝑥2+(1-𝑘)𝑥+1𝑥.-22-考向一考向二考向三考向四考向五∴h(x)h(1)=1-k.若k≥1,则h(x)≤0,∴g'(x)≤0,∴g(x)在(1,x0)上单调递减,∴g(x)g(1)=0,不适合题意.若-1≤k1,则h(1)0,∴必存在x0使得x∈(1,x0)时g'(x)0,∴g(x)在(1,x0)上单调递增,∴g(x)g(1)=0恒成立,适合题意.当1时,即k-1,易知必存在x0使得h(x)在(1,x0)上单调递增,∴h(x)h(1)=1-k0,∴g'(x)0,∴g(x)在(1,x0)上单调递增,∴g(x)g(1)=0恒成立,适合题意.综上,k的取值范围是(-∞,1).∵x1,令h(x)=-x2+(1-k)x+1,h(x)的对称轴为x=1-𝑘2,当1-𝑘2≤1时,即k≥-1,易知h(x)在(1,x0)上单调递减,1−𝑘2-23-考向一考向二考向三考向四考向五在两变量不等式恒成立中求参数范围例4(2019