山西省太原四十八中2016年高考数学模拟试卷(3)(含解析)

2016年山西省太原四十八中高考数学模拟试卷（3）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数为纯虚数，则实数a=（）A．﹣2B．﹣C．2D．2．下列命题中的假命题是（）A．∀x∈R，2x﹣1＞0B．∃x∈R，tanx=2C．∃x∈R，lgx＜1D．∀x∈N*，（x﹣1）2＞03．已知f1（x）=sinx+cosx，fn+1（x）是fn（x）的导函数，即f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），…，fn+1（x）=fn′（x），n∈N*，则f2015（x）=（）A．sinx+cosxB．﹣sinx﹣cosxC．sinx﹣cosxD．﹣sinx+cosx4．函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）A．B．C．D．5．已知ξ～N（3，a2），若P（ξ≤2）=0.2，则P（ξ≤4）=（）A．0.2B．0.3C．0.7D．0.86．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=（）A．30°B．60°C．120°D．150°7．阅读如图所示的程序框图，若输出的S是126，则①处应填（）A．n≤5B．n≤6C．n≥7D．n≤88．△ABC中，角A、B、C所对应的边分别a、b、c，已知bcosC+ccosB=2b，则=（）A．2B．C．D．19．已知f（x）是偶函数，它在[0，+∞）上是减函数，若f（lgx）＞f（1），则实数x的取值范围是（）A．（，1）B．（0，）∪（1，+∞）C．（，10）D．（0，1）∪（10，+∞）10．某宾馆安排A、B、C、D、E五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A、B不能住同一房间，则不同的安排方法有（）种．A．24B．48C．96D．11411．设O是△ABC的外接圆圆心，且，则∠AOC=（）A．B．C．D．12．设函数f（x）是定义在（﹣∞，0）上的可导函数，其导函数为f′（x），且有3f（x）+xf′（x）＞0，则不等式（x+2015）3f（x+2015）+27f（﹣3）＞0的解集（）A．（﹣2018，﹣2015）B．（﹣∞，﹣2016）C．（﹣2016，﹣2015）D．（﹣∞，﹣2012）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案写在题中横线上）13．展开式中的常数项为．14．已知（3x2+k）dx=16，则k=．15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（acosB+bcosA）=2csinC，a+b=4，且△ABC的面积的最大值为，则此时△ABC的形状为．16．设函数的图象为C，有下列四个命题：①图象C关于直线对称：②图象C的一个对称中心是；③函数f（x）在区间上是增函数；④图象C可由y=﹣3sin2x的图象左平移得到．其中真命题的序号是．三、解答题（17-21题，每大题12分，共60分，解答需写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知cos（x﹣）=，x∈（，）．（1）求sinx的值；（2）求sin（2x）的值．18．为了解今年某校高三毕业班准备报考飞行员学生的体重情况，将所得的数据整理后，画出了频率分布直方图（如图），已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为12．（Ⅰ）求该校报考飞行员的总人数；（Ⅱ）以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据，若从全省报考飞行员的同学中（人数很多）任选三人，设X表示体重超过60公斤的学生人数，求X的分布列和数学期望．19．在梯形ABCD中，AB∥CD，CD=2，∠ADC=120°，cos（Ⅰ）求AC的长；（Ⅱ）若AB=4，求梯形ABCD的面积．20．已知△ABC中的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，（b﹣a）（sinB+sinA）=（b﹣c）sinC．（Ⅰ）求sinB的值；（Ⅱ）求△ABC的面积．21．设函数f（x）=x﹣﹣mlnx（1）若函数f（x）在定义域上为增函数，求m范围；（2）在（1）条件下，若函数h（x）=x﹣lnx﹣，∃x1，x2∈[1，e]使得f（x1）≥h（x2）成立，求m的范围．选修4-1：几何证明选讲22．在△ABC中，AB=AC，过点A的直线与其外接圆交于点P，交BC延长线于点D．（1）求证：；（2）若AC=3，求APAD的值．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2016太原校级模拟）【坐标系与参数方程】设直线l的参数方程为（t为参数），若以直角坐标系xOy的O点为极点，Ox轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，得曲线C的极坐标方程为ρ=．（1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线是什么曲线；（2）若直线l与曲线C交于A、B两点，求|AB|．选修4-5：不等式选讲24．（2016太原校级模拟）设函数f（x）=|x+a2|+|x﹣b2|，其中a，b为实数，（1）若a2+b2﹣2a+2b+2=0，解关于x的不等式f（x）≥3；（2）若a+b=4，证明：f（x）≥8．2016年山西省太原四十八中高考数学模拟试卷（3）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．复数为纯虚数，则实数a=（）A．﹣2B．﹣C．2D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．【解答】解：∵复数==为纯虚数，∴2a﹣1=0，2+a≠0，解得a=．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，属于基础题．2．下列命题中的假命题是（）A．∀x∈R，2x﹣1＞0B．∃x∈R，tanx=2C．∃x∈R，lgx＜1D．∀x∈N*，（x﹣1）2＞0【考点】全称命题；特称命题．【专题】简易逻辑．【分析】根据全称命题和特称命题的定义判断命题的真假，全称命题要包含全称量词，特称命题要包含特称量词，我们逐一分析四个命题易得到答案．【解答】解：对于A，根据指数函数的性质可知，选项A为真命题，对于B，根据正确函数的性质可知，选项B为真命题，对于C，根据对数函数的性质可知，选项C为真命题，对于D，当x=1时，（x﹣1）2=0，故选项D为假命题，故选：D【点评】本题考查的知识点是全称命题和特称命题的定义，命题的真假判断与应用，要判断一个特称命题为真命题，只要举出一个满足条件的例子即可，这是提高本题解答速度和准确度的重要方法．3．已知f1（x）=sinx+cosx，fn+1（x）是fn（x）的导函数，即f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），…，fn+1（x）=fn′（x），n∈N*，则f2015（x）=（）A．sinx+cosxB．﹣sinx﹣cosxC．sinx﹣cosxD．﹣sinx+cosx【考点】导数的运算．【专题】导数的综合应用．【分析】求函数的导数，确定函数fn′（x）的周期性即可．【解答】解：∵f1（x）=sinx+cosx，∴f2（x）=f1′（x）=cosx﹣sinx，f3（x）=f2′（x）=﹣sinx﹣cosx，f4（x）=f3′（x）=﹣cosx+sinx，f5（x）=f4′（x）=sinx+cosx，…，fn+4′（x）=fn′（x），即fn′（x）是周期为4的周期函数，f2015（x）=f2014′（x）=f2′（x）=﹣sinx﹣cosx，故选：B【点评】本题主要考查导数的计算，根据导数公式求出函数的周期性是解决本题的关键．4．函数y=xcosx+sinx的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】给出的函数是奇函数，奇函数图象关于原点中心对称，由此排除B，然后利用区特值排除A和C，则答案可求．【解答】解：因为函数y=xcosx+sinx为奇函数，所以排除选项B，由当x=时，，当x=π时，y=π×cosπ+sinπ=﹣π＜0．由此可排除选项A和选项C．故正确的选项为D．故选D．【点评】本题考查了函数的图象，考查了函数的性质，考查了函数的值，是基础题．5．已知ξ～N（3，a2），若P（ξ≤2）=0.2，则P（ξ≤4）=（）A．0.2B．0.3C．0.7D．0.8【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【专题】概率与统计．【分析】根据随机变量X服从正态分布N（3，a2），看出这组数据对应的正态曲线的对称轴x=3，根据正态曲线的特点，得到P（ξ≤4）=1﹣P（ξ≤2），得到结果．【解答】解：∵随机变量X服从正态分布N（3，a2），μ=3，得对称轴是x=3．P（ξ≤2）=0.2，∴P（ξ≤4）=1﹣P（ξ≤2）=0.8．故选D．【点评】本题考查正态曲线的形状认识，从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的．6．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=（）A．30°B．60°C．120°D．150°【考点】余弦定理的应用．【专题】综合题．【分析】先利用正弦定理，将角的关系转化为边的关系，再利用余弦定理，即可求得A．【解答】解：∵sinC=2sinB，∴c=2b，∵a2﹣b2=bc，∴cosA===∵A是三角形的内角∴A=30°故选A．【点评】本题考查正弦、余弦定理的运用，解题的关键是边角互化，属于中档题．7．阅读如图所示的程序框图，若输出的S是126，则①处应填（）A．n≤5B．n≤6C．n≥7D．n≤8【考点】程序框图．【专题】算法和程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出变量S的值，要确定进行循环的条件，可模拟程序的运行，对每次循环中各变量的值进行分析，不难得到题目要求的结果【解答】解：第一次循环，s=0+21=2，n=1+1=2，进入下一次循环；第二次循环，s=2+22=6，n=2+1=3，进入下一次循环；第三次循环，s=6+23=14，n=3+1=4，进入下一次循环；第四次循环，s=14+24=30，n=4+1=5，进入下一次循环；第五次循环，s=30+25=62，n=5+1=6，进入下一次循环；第六次循环，s=62+26=126，n=6+1=7，循环结束，即判断框中的条件不成立了，所以框中的条件应该是n≤6，故选：B．【点评】本题主要考查了含循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的s，n的值是解题的关键，属于基础题．8．△ABC中，角A、B、C所对应的边分别a、b、c，已知bcosC+ccosB=2b，则=（）A．2B．C．D．1【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理变形即可得到结果．【解答】解：将bcosC+ccosB=2b，利用正弦定理化简得：sinBcosC+sinCcosB=2sinB，即sin（B+C）=2sinB，∵sin（B+C）=sinA，∴sinA=2sinB，利用正弦定理化简得：a=2b，则=1．故选：D．【点评】此题考查了正弦定理，以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于基础题．9．已知f（x）是偶函数，它在[0，+∞）上是减函数，若f（lgx）＞f（1），则实数x的取值范围是（）A．（，1）B．（0，）∪（1，+∞）C．（，10）D．（0，1）∪（10，+∞）【考点】函数单调性的性质；偶函数．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用偶函数的性质，f（1）=f（﹣1），在[0，+∞）上是减函数，在（﹣∞，0）上单调递增，列出不等式，解出x的取值范围．【解答】解：∵f（x）是偶函数，它在[0，+∞）上是减函数，∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，由f（lgx）＞f（1），f（1）=f（﹣1）得：﹣1＜lgx＜1，∴＜x＜10，故答案选C．【点评】本题考查偶函数的性质及函数单调