（山西专版）2020年中考数学复习 第三单元 函数及其图象 第12课时 反比例函数课件

第12课时反比例函数考点一反比例函数的概念考点聚焦【温馨提示】(1)反比例函数中,自变量的取值范围是①;(2)解析式的变式:y=kx-1或xy=k(k≠0).一般地,如果两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=𝑘𝑥(k为常数,k≠0)的形式,那么称y是x的反比例函数.x≠0考点二反比例函数的图象与性质一般形式k的符号k②0k③0图象所在象限第一、三象限第二、四象限y=kx(k为常数,k≠0),其图象上点的横、纵坐标之积为定值k(续表)k的符号k②0k③0增减性同一支上,y随x的增大而④;在两支上,第一象限y值大于第三象限y值同一支上,y随x的增大而⑤;在两支上,第二象限y值大于第四象限y值对称性关于直线y=x,y=-x成轴对称关于⑥成中心对称小结(1)反比例函数的图象是双曲线,反比例函数的增减性由系数k决定;(2)反比例函数图象的两支在两个象限内,根据自变量的值比较相应函数值的大小时,应注意象限问题增大减小原点1.几何意义:过反比例函数y=𝑘𝑥(k≠0)图象上任意一点向两坐标轴作垂线,两条垂线与两坐标轴所围成的矩形的面积为|k|.考点三反比例函数比例系数k的几何意义2.常见的与反比例函数有关的图形面积S矩形OAPB=|k|S△AOP=⑦S△ABC=⑧=⑨S△APP1|𝒌|𝟐|k|2|k|考点四反比例函数解析式的确定待定系数法几何法题中涉及面积时,考虑用k的几何意义求解(1)设出反比例函数的解析式为y=kx(k≠0);(2)找出图象上一点的坐标P(x0,y0);(3)将P(x0,y0)的坐标代入y=kx(k≠0),求出k的值;(4)写出解析式考点五反比例函数的实际应用利用反比例函数解决实际问题,关键是建立函数模型.建立函数模型的思路主要有两种:(1)已知函数类型,直接设出函数的解析式,根据题目提供的信息求得k的值;(2)题目本身未明确表明变量间的函数关系,此时需通过分析,先确定变量间的关系,再求解析式.题组一必会题对点演练1.反比例函数y=2𝑥的图象在()A.第一、二象限B.第一、三象限C.第二、三象限D.第二、四象限B2.若点(2,-4)在反比例函数y=𝑘𝑥的图象上,则下列各点在此函数图象上的是()A.(2,4)B.(-1,-8)C.(-2,-4)D.(4,-2)3.若点A(a,b)在反比例函数y=2𝑥的图象上,则代数式ab-4的值为()A.0B.-2C.2D.-6DB4.反比例函数y=-1𝑥的图象上有两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),若x10x2,则下列结论正确的是()A.y1y20B.y10y2C.y1y20D.y10y2D题组二易错题【失分点】不能正确利用反比例函数的增减性比较大小;利用反比例函数比例系数k的几何意义求反比例函数的解析式时,忽略函数图象所在的象限导致k的符号错误.5.已知点(x1,y1),(x2,y2)是反比例函数y=2𝑥图象上的点,若x10x2,则一定成立的是()A.y1y20B.y10y2C.0y1y2D.y20y1B6.如图12-1,反比例函数y=𝑘𝑥在第二象限的图象上有一点A,过点A作AB⊥x轴于B,且S△AOB=2,则k的值为.-4图12-1考向一反比例函数的图象与性质例1[2018·海南]已知反比例函数y=𝑘𝑥的图象经过点P(-1,2),则这个函数的图象位于()A.二、三象限B.一、三象限C.三、四象限D.二、四象限[答案]D[解析]∵点P(-1,2)在函数y=𝑘𝑥的图象上,∴k=(-1)×2=-20,∴这个函数的图象位于第二、四象限.故选D.例2[2018·威海]若点(-2,y1),(-1,y2),(3,y3)在双曲线y=𝑘𝑥(k0)上,则y1,y2,y3的大小关系是()A.y1y2y3B.y3y2y1C.y2y1y3D.y3y1y2[答案]D[解析]如图,反比例函数y=𝑘𝑥(k0)的图象位于第二、四象限,在每个象限内,y随x的增大而增大,而-2-103,∴y3y1y2.故选D.【方法点析】比较反比例函数值的大小时,除了看k的符号外,还应分x0和x0两种情况讨论.方法:在同一象限内,根据反比例函数的增减性比较,在不同象限时,根据函数值的符号比较.|考向精练|1.[2016·山西12题]已知点(m-1,y1),(m-3,y2)是反比例函数y=𝑚𝑥(m0)图象上的两点,则y1y2.(填“”“=”或“”)[答案][解析]在反比例函数y=𝑚𝑥中,m0,m-10,m-30,所以在第二象限内,y随x的增大而增大,而m-1m-3,所以y1y2.2.[2019·山西适应性训练]已知反比例函数y=5𝑥,当x-2时,y的取值范围是.-𝟓𝟐y03.[2018·衡阳]对于反比例函数y=-2𝑥,下列说法不正确的是()A.图象分布在第二、四象限B.当x0时,y随x的增大而增大C.图象经过点(1,-2)D.若点A(x1,y1),B(x2,y2)都在图象上,且x1x2,则y1y2[答案]D[解析]A.∵k=-20,∴它的图象在第二、四象限,故本选项正确;B.k=-20,当x0时,y随x的增大而增大,故本选项正确;C.把x=1代入y=-2𝑥中,得y=-21=-2,∴点(1,-2)在它的图象上,故本选项正确;D.点A(x1,y1),B(x2,y2)都在反比例函数y=-2𝑥的图象上,若x1x20或0x1x2,则y1y2,故本选项错误.故选D.考向二反比例函数的表达式例3如图12-2,在平面直角坐标系中,反比例函数y=𝑘𝑥在第一象限的图象上有一点A(m,4),过点A作AB⊥x轴于点B,将点B向右平移2个单位长度得到点C,过点C作y轴的平行线交反比例函数的图象于点D,CD=43.(1)求点D的横坐标(用含m的式子表示);(2)求反比例函数的表达式.图12-2解:(1)由A(m,4),AB⊥x轴于点B,得B(m,0).而点B向右平移2个单位长度得到点C,∴点C的坐标为(m+2,0).∵CD∥y轴,∴点D的横坐标为m+2.例3如图12-2,在平面直角坐标系中,反比例函数y=𝑘𝑥在第一象限的图象上有一点A(m,4),过点A作AB⊥x轴于点B,将点B向右平移2个单位长度得到点C,过点C作y轴的平行线交反比例函数的图象于点D,CD=43.(2)求反比例函数的表达式.图12-2解:(2)∵CD=43,∴点D的坐标为m+2,43.∵点A(m,4),点Dm+2,43在函数y=𝑘𝑥(x0)的图象上,∴4m=43(m+2),解得m=1,∴k=4m=4×1=4,∴反比例函数的解析式为y=4𝑥(x0).【方法点析】确定反比例函数表达式的方法:(1)找出图象上一点的坐标,用待定系数法求解;(2)根据图形的面积,利用k的几何意义求解.|考向精练|1.若点A(-2,3),B(m,-6)都在反比例函数y=𝑘𝑥的图象上,则m的值是.[答案]1[解析]∵点A(-2,3),B(m,-6)都在反比例函数y=𝑘𝑥的图象上,∴-2×3=-6m,解得m=1.2.[2019·山西14题]如图12-3,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,菱形ABCD的顶点B在x轴的正半轴上,点A的坐标为(-4,0),点D的坐标为(-1,4),反比例函数y=𝑘𝑥(x0)的图象恰好经过点C,则k的值为.图12-3[答案]16[解析]如图,分别过点D,C作x轴的垂线,垂足为E,F,则OE=1,DE=4,OA=4,∴AE=3,AD=5,∴AB=CB=5,∴B(1,0),易得△DAE≌△CBF,可得BF=AE=3,CF=DE=4,∴C(4,4),∴k=16.考向三k的几何意义的应用例4[2018·郴州]如图12-4,A,B是反比例函数y=4𝑥在第一象限内的图象上的两点,且A,B两点的横坐标分别是2和4,则△OAB的面积是()A.4B.3C.2D.1图12-4[答案]B[解析]如图,过A,B两点分别作AC⊥x轴,BD⊥x轴,垂足分别为C,D.∵A,B是反比例函数y=4𝑥在第一象限内的图象上的两点,且A,B两点的横坐标分别是2和4,∴A,B两点的坐标分别为(2,2),(4,1),∴AC=2,BD=1,DC=2,∴S梯形ACDB=12×(1+2)×2=3,观察图形,可以发现:S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ACDB,而S△BOD=S△AOC,∴S△AOB=S梯形ACDB=3.【方法点析】反比例函数与几何图形结合求系数k时,通常有两种思路:(1)解析法,即设点坐标或线段长度找等量关系列方程求解,由于“k=xy”,因此我们经常“设而不求”;(2)面积法,即利用比例系数k的几何意义转化为某图形的面积求解.|考向精练|1.[2019·山西模拟]如图12-5,在平面直角坐标系中,第二象限内的点P是反比例函数y=𝑘𝑥(k≠0)图象上的一点,过点P作PA⊥x轴于点A,点B为AO的中点,若△PAB的面积为3,则k的值为()A.6B.-6C.12D.-12图12-5[答案]D[解析]连接PO,由题意得|𝑘|2=S△PAO=2S△PAB=6,∴|k|=12.又∵图象在第二象限,∴k=-12.2.如图12-6,矩形OABC中,A(1,0),C(0,2),双曲线y=𝑘𝑥(0k2)的图象分别交AB,CB于点E,F,连接OE,OF,EF,若S△OEF=2S△BEF,则k的值为()A.23B.1C.43D.2图12-6[答案]A[解析]∵四边形OABC是矩形,∴BA⊥OA,BC⊥OC,∵A(1,0),C(0,2),∴E点坐标为(1,k),F点坐标为𝑘2,2.∴S△BEF=121-𝑘2(2-k),S△OFC=S△OAE=12k,∴S△OEF=S矩形OABC-S△OCF-S△OAE-S△BEF=2-12k-12k-121-𝑘2(2-k).∵S△OEF=2S△BEF,∴2-12k-12k-121-𝑘2(2-k)=2×121-𝑘2·(2-k),整理,得34(k-2)2+k-2=0.解得k1=2(不合题意,舍去),k2=23.∴k=23.故选A.考向四反比例函数与一次函数相结合例5如图12-7,已知A(-4,n),B(2,-4)是一次函数y1=kx+b和反比例函数y2=𝑚𝑥的图象的两个交点.(1)m=,n=,一次函数的表达式为;(2)△AOB的面积为;(3)观察图象,可知不等式kx+b-𝑚𝑥0的解集为;(4)当y1y2时,请直接写出x的取值范围:.图12-7[答案](1)-82y1=-x-2[解析](1)∵B(2,-4)在反比例函数y2=𝑚𝑥的图象上,∴m=-8,∴反比例函数的解析式为y2=-8𝑥.∵点A(-4,n)在反比例函数y2=-8𝑥的图象上,∴n=2,∴A(-4,2).∵直线y1=kx+b经过A(-4,2),B(2,-4),∴-4𝑘+𝑏=2,2𝑘+𝑏=-4,解得𝑘=-1,𝑏=-2,∴一次函数的解析式为y1=-x-2.例5如图12-7,已知A(-4,n),B(2,-4)是一次函数y1=kx+b和反比例函数y2=𝑚𝑥的图象的两个交点.(2)△AOB的面积为;图12-7[答案](2)6[解析](2)当y1=0时,x=-2.设直线y1=kx+b与x轴的交点为C,则C(-2,0),∴OC=2,∴S△AOB=S△BCO+S△ACO=12×2×4+12×2×2=6.例5如图12-7,已知A(-4,n),B(2,-4)是一次函数y1=kx+b和反比例函数y2=𝑚𝑥的图象的两个交点.(3)观察图象,可知不等式kx+b-𝑚𝑥0的解集为;图12-7[答案](3)-4x0或x2[解析](3)不等式kx+b-𝑚𝑥0的解集为-4x0或x2.例5如图12-7,已知A(-4,n),B(2,-4)是一次函数y1=kx+b和反比例函数y2=𝑚𝑥的图象的两个交点.(4)当y1y2时,请直接写出x的取值范围:.图12-7[答案