（山西专版）2020年中考数学复习 第二单元 方程（组）与不等式（组）第06课时 分式方程及其应用课

第6课时分式方程及其应用考点一分式方程的概念及解法考点聚焦1.分式方程:分母中含有①的方程.2.分式方程的解法(1)基本思想:把分式方程转化为整式方程.(2)一般步骤:图6-1未知数最简公分母3.增根:使分式方程的最简公分母为③的根.【温馨提示】(1)产生增根的原因:分式方程本身隐含着分母不为0的条件,将其转化为整式方程后没有此条件限制了.(2)分式方程的增根与无解的区别:分式方程无解,可能是解为增根,也可能是去分母后的整式方程无解.分式方程的增根是去分母后的整式方程的根,也是使分式方程的分母为0的根.0考点二分式方程的实际应用1.一般步骤图6-2【温馨提示】列分式方程解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题的步骤类似,不同之处是要检验两次.2.双检验(1)检验求出的解是否为原分式方程的解;(2)检验是否符合变量的实际意义.3.常见问题及其等量关系(1)行程问题:时间=路程速度;(2)工程问题:工作时间=工作总量工作效率;(3)购买(销售)问题:数量=总价单价.题组一必会题对点演练1.方程2𝑥+1𝑥-1=3的解是()A.x=-45B.x=45C.x=-4D.x=4D3.解方程1𝑥-2=1-𝑥2-𝑥-3,去分母得()A.1=1-x-3(x-2)B.1=x-1-3(2-x)C.1=x-1-3(x-2)D.-1=1-x-3(x-2)2.若x=5是分式方程𝑎𝑥-2−15𝑥=0的根,则a的值为()A.-5B.5C.-9D.9DC5.甲、乙两人加工一批零件,甲完成120个与乙完成100个所用的时间相同,已知甲比乙每天多完成4个.设甲每天完成x个零件,依题意,下面所列方程正确的是()A.120𝑥=100𝑥-4B.120𝑥=100𝑥+4C.120𝑥-4=100𝑥D.120𝑥+4=100𝑥4.若分式方程𝑥2𝑥-1=1𝑥-1有增根,则增根为()A.x=-1B.x=1C.x=±1D.x=0BA6.分式方程𝑥𝑥-1-1=3(𝑥-1)(𝑥+2)的解为()A.x=1B.x=2C.x=-1D.无解题组二易错题【失分点】解分式方程,去分母时漏乘常数项,忽略符号变化;忘记检验根的合理性;混淆增根和无解.D[答案]B[解析]方程去分母得,x+2=m,则x=m-2,当分母x+3=0,即x=-3时,方程无解,所以m-2=-3,即m=-1时方程无解.7.若关于x的方程𝑥+2𝑥+3=𝑚𝑥+3无解,则m的值为()A.1B.-1C.2D.-2[答案]2[解析]方程两边同乘x-3,得:x-5=-m,x=5-m,若方程产生增根,则增根为x=3,所以5-m=3.解得m=2.8.当m=时,解分式方程𝑥-5𝑥-3=𝑚3-𝑥会出现增根.考向一解分式方程例1[2019·南京]解方程:𝑥𝑥-1-1=3𝑥2-1.解:方程两边同乘(x+1)(x-1),得,x(x+1)-(x2-1)=3,即x2+x-x2+1=3,解得x=2.检验:当x=2时,(x+1)(x-1)=3≠0,∴x=2是原方程的解,故原分式方程的解是x=2.【方法点析】解分式方程的常见误区:(1)忘记验根;(2)去分母时漏乘不含分母的项;(3)去分母时,忽略符号变化.|考向精练|1.[2013·山西6题]解分式方程2𝑥-1+𝑥+21-𝑥=3时,去分母后变形为()A.2+(x+2)=3(x-1)B.2-x+2=3(x-1)C.2-(x+2)=3(1-x)D.2-(x+2)=3(x-1)D2.方程2𝑥-1𝑥-1−21-𝑥2=2的解是.x=-3[答案]1[解析]解原分式方程,去分母得:x-2m=2m(x-2),若原分式方程有增根,则x=2,将其代入这个一元一次方程,得2-2m=2m×(2-2),解得m=1.3.[2019·巴中]若关于x的分式方程𝑥𝑥-2+2𝑚2-𝑥=2m有增根,则m的值为.解:方程左右两边同时乘2(2x-1),得2=2x-1-3.化简,得2x=6.解得x=3.检验:当x=3时,2(2x-1)≠0.∴原分式方程的解是x=3.4.[2015·山西17(2)题]解方程:12𝑥-1=12−34𝑥-2.考向二分式方程的应用例2[2019·威海]列方程解应用题:小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球.他们两家到体育公园的距离分别是1200米,3000米.小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍,若二人同时到达,则小明需提前4分钟出发,求小明和小刚两人的速度.解:设小明的速度为x米/分,则小刚的速度为3x米/分,根据题意,得1200𝑥−30003𝑥=4,解得x=50,经检验,x=50是分式方程的解且符合题意,所以3x=150.答:小明的速度为50米/分,小刚的速度为150米/分.【方法点析】列分式方程解实际问题的关键是找出“等量关系”,列出方程.解方程后,需要从两个方面检验:一是检验此解是不是原分式方程的解;二是检验此解是否符合实际问题的意义.|考向精练|1.[2016·山西7题]甲、乙两个搬运工搬运某种货物,已知乙比甲每小时多搬运600kg,甲搬运5000kg所用的时间与乙搬运8000kg所用的时间相等,求甲、乙两人每小时分别搬运多少千克货物.设甲每小时搬运xkg货物,则可列方程为()A.5000𝑥-600=8000𝑥B.5000𝑥=8000𝑥+600C.5000𝑥+600=8000𝑥D.5000𝑥=8000𝑥-600B2.某市为治理污水,需要铺设一段全长为3000米的污水排放管道,为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响,实际施工时每天的工效比原计划增加25%,结果提前30天完成这一任务,实际每天铺设多长管道?若设原计划每天铺设x米管道,根据题意可列方程为.[答案]3000𝑥−3000(1+25%)𝑥=30[解析]∵原计划每天铺设x米管道,则实际每天铺设(1+25%)x米管道,∴原计划的工作时间为3000𝑥天,实际的工作时间为3000(1+25%)𝑥天.由题中等量关系可知,原计划的工作时间-实际的工作时间=30天,故可得分式方程:3000𝑥−3000(1+25%)𝑥=30.3.[2019·扬州]“绿水青山就是金山银山”,为了更进一步优化环境,甲、乙两队承担河道整治任务.甲、乙两个工程队每天共整治河道1500米,且甲工程队整治3600米河道用的时间与乙工程队整治2400米所用的时间相等.求甲工程队每天整治多少米?解:设甲工程队每天整治x米,则乙工程队每天整治(1500-x)米.根据题意可得:3600𝑥=24001500-𝑥,解得x=900,经检验,x=900是原方程的根,且符合题意.答:甲工程队每天整治900米.4.[2019·黄冈]为了对学生进行革命传统教育,红旗中学开展了“清明节祭扫”活动.全校学生从学校同时出发,步行4000米到达烈士纪念馆.学校要求九(1)班提前到达目的地,做好活动的准备工作.行走过程中,九(1)班步行的平均速度是其他班的1.25倍,结果比其他班提前10分钟到达.分别求九(1)班、其他班步行的平均速度.解:设其他班的平均速度为x米/分,则九(1)班的平均速度为1.25x米/分.依题意得,4000𝑥−40001.25𝑥=10,解得x=80.经检验:x=80是所列方程的解且符合题意.此时,1.25x=1.25×80=100.答:九(1)班的平均速度为100米/分,其他班的平均速度为80米/分.5.[2018·山西20题]2018年1月20日,山西迎来了“复兴号”列车,与“和谐号”相比,“复兴号”列车时速更快,安全性更好.已知“太原南—北京西”全程大约500千米,“复兴号”G92次列车平均每小时比某列“和谐号”列车多行驶40千米,其行驶时间是该列“和谐号”列车行驶时间的45(两列车中途停留时间均除外),经查询,“复兴号”G92次列车从太原南到北京西,中途只有石家庄一站,停留10分钟.求乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要多长时间.解:设“复兴号”G92次列车从太原南到北京西的行驶时间为x小时.由题意,得500𝑥=50054𝑥+40,解得x=52,经检验,x=52是原方程的根且符合题意.52+16=83(小时).答:乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要83小时.考向三根据分式方程解的情况确定字母系数的取值例3若关于x的分式方程2𝑥-𝑎𝑥-2=12的解为非负数,则a的取值范围是()A.a≥1B.a1C.a≥1且a≠4D.a1且a≠4[答案]C[解析]去分母,得2(2x-a)=x-2.解得x=2𝑎-23.由题意,得2𝑎-23≥0且2𝑎-23≠2,解得a≥1且a≠4.|考向精练|[答案]B1.[2019·荆州]已知关于x的分式方程𝑥𝑥-1-2=𝑘1-𝑥的解为正数,则k的取值范围为()A.-2k0B.k-2且k≠-1C.k-2D.k2且k≠1[解析]∵𝑥𝑥-1-2=𝑘1-𝑥,∴x-2(x-1)=-k,∴x=2+k.∵该分式方程有解,∴2+k≠1,∴k≠-1.∵x0,∴2+k0,∴k-2,即k-2且k≠-1.[答案]k6且k≠3[解析]去分母得:x-2(x-3)=k,解得x=6-k.由题意得,x0且x≠3,∴6-k0且6-k≠3,即k6且k≠3.2.[2018·眉山]已知关于x的分式方程𝑥𝑥-3-2=𝑘𝑥-3有正数解,则k的取值范围为.