（全国通用）2020高考数学 艺体生文化课 第十一章 圆锥曲线 第1节 椭圆标准方程和几何性质课件

第十一章圆锥曲线第1节椭圆标准方程和几何性质知识梳理1.椭圆的概念在平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a0,c0,且a,c为常数:(1)若ac,P点的轨迹是椭圆;(2)若a=c,P点的轨迹是线段;(3)若ac,P点的轨迹不存在.2.椭圆的标准方程和几何性质22221(0)xyabab标准方程焦点位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形22221(0)yxabab标准方程性质范围-a≤x≤a-b≤y≤b-b≤x≤b-a≤y≤a对称性对称轴:x轴、y轴;对称中心:(0,0)顶点A1(-a,0),A2(a,0)B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a)B1(-b,0),B2(b,0)轴长长轴A1A2的长为2a短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|=2c离心率e=,e∈(0,1)a,b,c的关系a2=b2+c2ca22221(0)xyabab22221(0)yxabab精选例题【例1】(回归课本P40例4)求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.22222222121212()()(:1,54,5,4,543,321)()()0,28,,53,03,0,5,0,5,0,0,40,4.()xyxabcabcabeaFFAABB【解析】　把已知的方程化为椭圆的标准方程其焦点在轴上且椭圆长轴的长为短轴的长为离心率两个焦点分别为和四个顶点的坐标分别为和【变式1-1】(2019新课标II卷,文)若抛物线y2=2px(p0)的焦点是椭圆的一个焦点,则p=()A.2B.3C.4D.823()8D.2Dpppp【答案】　【由解析】　题意可得:,解得.故选2213xypp【变式1-2】(2018新课标Ⅰ卷,文)已知椭圆C:的一个焦点为(2,0),则C的离心率为()2222C,2,4,8,2222,,C.222cbabcaCe【答案】　【解析】　根据题意可知因为所以即所以椭圆的离心率为故选22214xya11222A.B.C.D.3223【例2】(2018上海卷)设P是椭圆上的动点,则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为()2,2,5,5,225.CPaaaa【答案】　【解析】　由椭圆的定义可得到两焦点的距离之和为已知得所以22153xyA.22B.23C.25D.42【例3】(2018新课标Ⅰ卷,理)设椭圆C:的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).(1)当l与x轴垂直时,求直线AM的方程;()()(11,0,1.22,1,1,.222222.22)()FlxAAMyxyx【解析】　由已知得的方程为由已知可得点的坐标为或所以的方程为或2212xy【例3】(2018新课标Ⅰ卷,理)设椭圆C:的右焦点为F,过F的直线l与C交于A,B两点,点M的坐标为(2,0).(2)设O为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB.11221212121211122()()(2:,0.,,.,10,,,,,2,2,,.2)()(3)22(,MAMBMAMBlxOMAOMBlxOMABOMAOMBlxlykxkAxyBxyxxyyMAMBkkxxkxxkxxykxkykxkkk证明当与轴重合时当与轴垂直时为的垂直平分线所以当与轴不重合也不垂直时设的方程为则直线的斜率之和为由得212)4.(2)(2)kxx2212xy2222222212122233312122()()(11214220.2422,,.21214412842340.210,,,.,.)MAMBxykxykxkxkkkxxxxkkkkkkkkxxkxxkkkkMAMBOMAOMBOMAOMB将代入得所以则从而故的倾斜角互补所以综上专题训练1.(2018新课标Ⅱ卷,文)已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,P是C上的一点,若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,则C的离心率为()121221212112D,90,60,,22,3,231,223|||||1,D||.2(3)1)|(FPFFPFPFFPFmcFFmPFmaPFPFmccmeaam【答案】　【解析】　在△中设则又由椭圆定义可知则离心率故选331A.1B.23C.D.31222.(2016新课标Ⅰ卷,文)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为()22222B,,,,.11Rt,,2211,24411,,B.22bcaOFcOBbBFbcabcBOFbcaODODalODbceea【答案】　【解析】如图椭圆中设则利用△的面积可得即①由已知椭圆中心到的距离为其短轴长的即代入①化简得椭圆离心率故选1123A.B.C.D.3234142221222222222222A,20,2,3,2263,23,,,A.333()AAxyabxayababdaababccaacaceaa【答案】　【解析】　以线段为直径的圆是直线与圆相切所以圆心到直线的距离整理为即得即有故选3.(2017新课标Ⅲ卷,文)已知椭圆C:(ab0)的左右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为()22221xyab6321A.B.C.D.333322121212121211221:16,25,4,(4,0),3620(4,0),||8,.(,),,0((0,6),(0,25))||||,||||(3,15)212,||||8||2||12xyCabcFFFFMCMmnmnmnMFMFMFMFaMFFMFFFMFaMF椭圆的可得有为上一点且在第一象限【答案】　设可得而△为等腰三角析】形【　，解84,4.(2019新课标Ⅲ卷,文)设F1,F2为椭圆C:的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为.2213620xy121212222222112222222222,||4||()8()2152211||||,221184215,15,22 (,):1.36201511,36203620(15)362MFFMMFFMFFMFhMFhMFSFFyMFhSnnxyMmnCxymnnm△△等腰三角形△底边上的高为则即可得为椭圆的上点且在第一象限将代入椭圆方程可得有1,3,3().(3,15).0mmM解得舍去5.(2017新课标Ⅰ卷,文)设A、B是椭圆C:长轴的两个端点,若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是()A.(0,1]∪[9,+∞)B.(0,]∪[9,+∞)C.(0,1]∪[4,+∞)D.(0,]∪[4,+∞)A03,,120,3tan603,3,01;3,,120,tan603,3,9,30,19,(][),A.mxCMAMBambmmyCMAMBammbm【答案】　【解析】当焦点在轴上要使上存在点满足则即得当焦点在轴上要使上存在点满足则即得故的取值范围为选22221xyab336.(2018新课标Ⅱ卷,理)已知F1,F2是椭圆C:(ab0)的左,右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为()22221xyab2111A.B.C.D.323436121221222222222D,120,332,,tan,66sin112sin,cos,,sin131311221313,π531211sin()322131314,,D.4PFFFFPPFFFcAPPAFPFPAFPAFPAFAFAPFcacPAFace【答案】　【解析】因为△为等腰三角形所以由斜率为得由正弦定理得所以选7.(2019新课标Ⅰ卷,文)已知椭圆C的焦点为F1(-1,0),F2(1,0),过F2的直线与C交于A,B两点.若|AF2|=2|F2B|,|AB|=|BF1|,则C的方程为()22222222A.1B.1C.1D.12324354xxyxyxyy121121221222222B,||,||2,||||3.||||2,42.||||24,||2,||2.,(0,).3||2||(,).2291(0),BFxAFxBFABxBFBFaxaAFAFaxAFxAFxAbbAFBFBxyBabab【答案】【解析】如图所示设则所以由椭圆定义即又所以因此点为椭圆的上顶点设其坐标为由可得点的坐标为因为点在椭圆上所以2222211.3.441,2.1.B.32aaxycb解得又所以所以椭圆方程为故选8.(2019新课标II卷,文)已知F1,F2是椭圆C:的两个焦点,P为C上一点,O为坐标原点．(1)若△POF2为等边三角形,求C的离心率；22221(0)xyabab1212122112(1),,90,||,||3,2||||(31),31.PFPOFFPFFPFPFcPFcaPFPFccCea【解析】连结由△为等边三角形可知在△中于是故的离心率是8.(2019新课标II卷,文)已知F1,F2是椭圆C:的两个焦点,P为C上一点,O为坐标原点．(2)如果存在点P,使得PF1⊥PF2,且△F1PF2的面积等于16,求b的值和a的取值范围.22221(0)xyabab222222222221(2),(,)||216,21,1,||161Pxyycyyxyxcxcabcyxycxyab由题意可知满足条件的点存在当且仅当即①②③4222222222222222222216,,4.(),,232,42.4,42,.4,[42,).babcyybccaxcbcbabcbcabaPba由②③及得又由①知故由②③得所以从而故当时存在满足条件的点所以的取值范围为9.(2018新课标Ⅲ卷,文)已知斜率为k的直线l与椭圆C:交于A,B两点.线段AB的中点为M(1,m)(m0).(1)证明:22143xy1;2k22221122112212121212121221,,,,1,1.4343,0.4331,,.22411,0,,1()()(,4330,0)()()21.2xyxyAxyBxyyyxxyykkxxxxyymkmmMmmABMmmk【证明】　设则两式相减并由得由题设知于是　①点为线段的中点即点在椭圆内部得又解得　②由①②得3333112231231221,0.,,0,1,1,()()()()()()()1,0,0.1()()(31,20.33)(),,1,,1,0,42330,,,222()()|||FPxyFPFAFBxyxyxyxxxyyymPCmPFFPFPFP由题意得设由已知则由及题设得又点在上所以从而可得323.|29.(2018新课标Ⅲ卷,文)已知斜率为k的直线l与椭圆C:交于A,B两点.线段AB的中点为M(1,m)(m0).(2)设F为C的右焦点,P为C上一点,且.证明:22143xy0FPFAFB