（全国通用）2020高考数学 艺体生文化课 第六章 导数 第2节 利用导数研究函数的极值或最值课件

第六章导数第2节利用导数研究函数的极值或最值知识梳理1.f(x)在x=x0处连续,f'(x0)=0,那么:①如果在x0附近的左侧f'(x)0,右侧f'(x)0,那么f(x0)是极大值.②如果在x0附近的左侧f'(x)0,右侧f'(x)0,那么f(x0)是极小值.2.函数在闭区间[a,b]上的最值如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么该函数在[a,b]上一定能够取得最大值和最小值,并且函数的最值必在极值点或区间端点取得.精选例题【例1】(2012陕西)设函数f(x)=+lnx,则()A.x=为f(x)的极大值点B.x=为f(x)的极小值点C.x=2为f(x)的极大值点D.x=2为f(x)的极小值点2D21','0,2,02,'0,2,'0,()()()(2,D().)fxfxxxxxfxxfxxfx【答案】【解析】　令则当时当时为的极小值点故选2x1212【例2】(2012陕西)设函数f(x)=xex,则()A.x=1为f(x)的极大值点B.x=1为f(x)的极小值点C.x=-1为f(x)的极大值点D.x=-1为f(x)的极小值点D'ee,'0,1,1,'0,1,'0()()()(),),.(1Dxxfxxfxxxfxxfxxfx【答案】　【解析】　令则当时当时为极小值点故选【例3】(2012重庆)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=(1-x)f'(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是()A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)D2,1'0,'0,. 21,1'0,'0,.12,()()()()()()()()()()()()()()()1'0,'0,.2,1'0,'0,.2,2,D.xyxfxfxxyxfxfxxyxfxfxxyxfxfxfxff【答案】　【解析】　当时此时函数递增当时此时函数递减当时此时函数递减当时此时函数递增函数有极大值极小值选专题训练1.函数f(x)=lnx-x在区间(0,e]上的最大值为()A.1-eB.-1C.-eD.0B11'1,0,1,()()()'0;(]()()()(1,e,'0,0,1,1,e,1,ln111]).(xfxxfxxxxfxfxxfx【答案】　【解析】因为当时当时所以的单调递增区间是单调递减区间是所以当时取得最大值2.已知函数f(x)的定义域为(a,b),导函数f‘(x)在(a,b)上的图象如图所示,则函数f(x)在(a,b)上的极大值点的个数为()A.1个B.2个C.3个D.4个()()B,',4,,0,3,2,2.()fxabxxfx【答案】　【解析】由函数极值的定义和导函数的图象可知在上与轴的交点个数为但是在原点附近的导数值恒大于零故不是函数的极值点其余的个交点都是极值点其中有个点满足其附近的导数值左正右负故极大值点有个D【答案】3.已知函数f(x)的导函数f'(x)=ax2+bx+c的图象如图所示,则f(x)的图象可能是()A.B.C.D.min()()()()()()()()()(]Ae,e.e,'e1.'0,0,'0,0.,0,0,.01.,1.A.xxxxkxkxfxxfxfxxfxxfxfxfk【答案】　【解析】　由得令当时解得当时解得在上是减函数在上是增函数实数的取值范围为故选4.若ex≥k+x在R上恒成立,则实数k的取值范围为()A.(-∞,1]B.[1,+∞)C.(-∞,-1]D.[-1,+∞)5.已知函数y=x-ln(1+x2),则函数y的极值情况是()A.有极小值B.有极大值C.既有极大值又有极小值D.无极值22222(D12(1)'11'1,111'0,1,1,'0,,)1'0,.xxyxxxxyxxyxy【答案】　【解析】令令得当时当时函数无极值6.(2014新课标Ⅱ卷)函数f(x)在x=x0处导数存在.p:f‘(x0)=0;q:x=x0是f(x)的极值点,则()A.p是q的充分必要条件B.p是q的充分条件,但不是q的必要条件C.p是q的必要条件,但不是q的充分条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件003300C'0,,,0,'00,()0',0.,'0.,,.()()()()()fxxxfxyxxfxfxxyxxxfxfxpq【答案】　【解析】当时不一定是的极值点比如在时但在的左右两侧的符号相同因而不是的极值点由极值的定义知是的极值点必有综上知是的必要条件但不是充分条件7.已知函数f(x),x∈R有唯一极值,且当x=1时,f(x)存在极小值,则()A.当x∈(-∞,1)时,f'(x)0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)0B.当x∈(-∞,1)时,f'(x)0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)0C.当x∈(-∞,1)时,f'(x)0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)0D.当x∈(-∞,1)时,f'(x)0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)0C【答案】　322()()()B236242,'20,'6236,15.'0,3()(23,),.fxxaxxxffxxaxafxxx【答案】　【解析】因为函数在处有极值所以有而代入得现令解得或所以函数的一个增区间是8.已知函数f(x)=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,则该函数的一个递增区间是()A.(2,3)B.(3,+∞)C.(2,+∞)D.(-∞,3)9.(2016四川)已知a为函数f(x)=x3-12x的极小值点,则a=()A.-4B.-2C.4D.23212D12,'312,'0,2,2.,2,()()()()()()()()()2,,'0,;2(),2,',.(2)0,fxxxfxxfxxxxfxfxxfxfxfxa【答案】　【解析】　令得当时则单调递增当时则单调递减的极小值点为max()()()()(D,0,2,1.111'0,,0,'0;11,)()()'0.ln11,1.xfxfxaxxfxxaaxfxfxfaaaa【答案】　【解析】由题意知当时的最大值为令得当时当时解得10.(2018银川模拟)已知y=f(x)是奇函数,当x∈(0,2)时,f(x)=lnx-ax(a),当x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a的值等于()12111A.B.C.D.1432()()()()()()C',135,'0,;135,'0,.,1,3,5;1,3,5,.1,5,()()()()()()3,C.yfxfxxxfxfxxxfxfxfxfxxx【答案】　【解析】由函数的导函数的图象知当及时单调递减当及时单调递增所以的单调减区间为单调增区间为在处取得极小值在处取得极大值因此不正确11.(2018合肥一模)函数y=f(x)导函数的图象如图所示,则下列说法错误的是()A.(-1,3)为函数y=f(x)的递增区间B.(3,5)为函数y=f(x)的递减区间C.函数y=f(x)在x=0处取得极大值D.函数y=f(x)在x=5处取得极小值12.若函数y=x3-3ax+a在(1,2)内有极小值,则实数a的取值范围是()A.1a2B.1a4C.2a4D.a4或a122B'33.0,()()'0,,,;0,'330,12,14,1,2.yxaafxayxaxaaa【答案】　【解析】　当时函数为单调函数不合题意舍去当时不难分析当即时函数在内有极小值13.函数y=f(x)的导函数的图象如图所示,给出下面四个判断.①f(x)在区间[-2,-1]上是增函数;②x=-1是f(x)的极小值点;③f(x)在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[2,4]上是减函数;④x=3是f(x)的极小值点.其中,所有正确判断的序号是.:2,1,1()()[][][],2,2,4.1,2..()yfxfxfxxx【答案】②③　【解析】由题中函数的导函数的图象可知在区间上是减函数在上为增函数在上为减函数在处取得极小值在处取得极大值故②③正确11'2,1,2(1)201()()(),.11(1)22afxbxfxxyxfabafbb【解析】　因为函数在处与直线相切所以解得14.设函数f(x)=alnx-bx2(x0),若函数f(x)在x=1处与直线y=-相切.(1)求实数a,b的值;1222max11121,ln,',211e,'0,1;'0,1e,ee1,1,1,e,()()()()()()()[)(]e()()11.2xfxxxfxxxxxfxxfxxfxfxf由知因为当时令得令得所以在上单调递增在上单调递减所以14.设函数f(x)=alnx-bx2(x0),若函数f(x)在x=1处与直线y=-相切.(2)求函数f(x)在[,e]上的最大值.121e15.(2017北京)已知函数f(x)=excosx-x.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;1ecos,'()()()()()()()((ecossin1,'00.01,0,01)).xxfxxxfxxxffyfxfy【解析】　　因为所以又因为所以曲线在点处的切线方程为15.(2017北京)已知函数f(x)=excosx-x.(2)求函数f(x)在区间[0,]上的最大值和最小值.()()()()()()2ecossin1,'ecossinsincos2esin,ππ0,,'0,0,.22π0,00,'0.2π0,.2()()[](]()()()()[]()[](ππ0,01,()2)2xxxhxxxhxxxxxxxhxhxxhxhfxfxfxff设则当时所以在区间上单调递减所以对任意有即所以函数在区间上单调递减因此在区间上的最大值为最小值为π.2π216.(2018哈尔滨模拟)已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R).(1)当a=时,求f(x)的极值;()()()()()()()111,ln,0,22112',22'0,2,,',.2ln21(((,).))afxxxxfxxxfxxxfxfxfxfxf极大值【解析】　当时函数的定义域为且令得于是当变化时的变化情况如表故在定义域上的极大值为无极小值12x(0,2)2(2,+∞)f'(x)+0-f(x)↗ln2-1↘16.(2018哈尔滨模拟)已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R).(2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.()()()()()()()(1121,0,,'0.0,'00,,0,,;10,0,,'0,11,,)()()()()('0,.,0,;0)),(axfxaxxxafxaxfxaxfxxaaafxayfx由知函数的定义域为当时在上恒成立即函数在上单调递增此时函数在定义域上无极值点当时当时当时故函数在处有极大值综上可知当时函数无极值点当时函数有一个极大1,.xa值点且为17.(2019新课标Ⅱ卷,文)已知函数f(x)=(x-1)lnx-x-1,证明：(1)f(x)存在唯一的极值点；000011(1)()(0).'()ln1ln.1ln'()1ln41'(1)10'(2)ln2022(1,2)'()0.'()0()'()0().()xfxfxxxxxyxyfxxffxfxx