（课标专用）天津市2020高考数学二轮复习 专题四 数列 4.1 等差数列与等比数列课件

专题四4.1等差数列与等比数列考情概览•命题分析高频考点•探究突破核心归纳•预测演练专题四数列专题四4.1等差数列与等比数列考情概览•命题分析高频考点•探究突破核心归纳•预测演练考情概览•命题分析-2-高考命题热点高考真题印证命题角度·素养立意等差数列与等比数列2018天津,理18(1)2017天津,理18(1)2016天津,理52016天津,理18(1)2015天津,理18(1)以等差、等比数列的基本运算和性质为命题重点,考查通项公式的求解;考查数学运算的核心素养以及方程组的数学思想数列求和2018天津,理18(2)2017天津,理18(2)2016天津,理18(2)2015天津,理18(2)考查数列求和的基本运算等,考查数学运算、逻辑推理等核心素养数列综合问题2018天津,理18(2)②与不等式的证明或其他知识相结合,考查数学运算与逻辑推理的核心素养专题四4.1等差数列与等比数列考情概览•命题分析高频考点•探究突破核心归纳•预测演练4.1等差数列与等比数列专题四4.1等差数列与等比数列考情概览•命题分析高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-4-突破点一突破点二突破点三突破点四等差数列与等比数列的基本量的求解【例1】(1)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若3S3=S2+S4,a1=2,则a5=()A.-12B.-10C.10D.12(2)“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为()A.23fB.223fC.2512fD.2712f212BD专题四4.1等差数列与等比数列考情概览•命题分析高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-5-突破点一突破点二突破点三突破点四分析推理(1)根据已知,直接设公差d,然后根据等差数列前n项和公式表示已知,列出方程求解,然后再代入通项公式求项;(2)首先根据已知确定十二平均律中单音的频率依次排列构成等比数列,然后确定公差和首项,代入通项公式即可求项.解析:(1)因为3S3=S2+S4,所以3S3=(S3-a3)+(S3+a4),即S3=a4-a3.设公差为d,则3a1+3d=d,又由a1=2,得d=-3,所以a5=a1+4d=-10.(2)设第n个单音的频率为an,由题意,𝑎𝑛𝑎𝑛-1=212(n≥2),所以{an}为等比数列,因为a1=f,所以a8=a1×(212)7=2712f,故选D.专题四4.1等差数列与等比数列考情概览•命题分析高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-6-突破点一突破点二突破点三突破点四规律方法等差数列、等比数列的通项公式、求和公式中一共包含a1,n,d(q),an与Sn这五个量.如果已知其中的三个,就可以求其余的两个.其基本解题过程为(1)设基本量:首项a1和公差d(公比q);(2)列、解方程组:把条件转化为关于a1和d(q)的方程(组),然后求解,注意整体代换,以减少运算量.专题四4.1等差数列与等比数列考情概览•命题分析高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-7-突破点一突破点二突破点三突破点四即时巩固1(1)(2019辽宁丹东高三质量测试(一))我国明代伟大数学家程大位在《算法统宗》中常以诗歌的形式呈现数学问题,其中有一首“竹筒容米”问题:“家有九节竹一茎,为因盛米不均平,下头三节三升九,上梢四节贮三升,唯有中间两节竹,要将米数次第盛,若有先生能算法,也教算得到天明.”意思是:九节竹的盛米容积成等差数列,其中的“三升九”指3.9升,则九节竹的中间一节的盛米容积为()A.0.9升B.1升C.1.1升D.2.1升(2)(2019山东聊城一模)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若2S3=S4+S5,a1=1,则a6=()A.1B.32C.64D.-32BD专题四4.1等差数列与等比数列考情概览•命题分析高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-8-突破点一突破点二突破点三突破点四解析:(1)依题意得𝑎1+𝑎2+𝑎3=3.9,𝑎6+𝑎7+𝑎8+𝑎9=3,故𝑎2=1.3,𝑎7+𝑎8=1.5,即a2+5d+a2+6d=2a2+11d=2.6+11d=1.5,解得d=-0.1,故a5=a2+3d=1.3-0.3=1(升).故选B.(2)设等比数列{an}的公比为q,显然q≠1.∵2S3=S4+S5,a1=1,∴2×1-𝑞31-𝑞=1-𝑞41-𝑞+1-𝑞51-𝑞,化简得q2+q-2=0,解得q=-2.则a6=(-2)5=-32.故选D.专题四4.1等差数列与等比数列考情概览•命题分析高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-9-突破点一突破点二突破点三突破点四等差数列与等比数列的判定与证明【例2】(1)已知{an}是各项均为正数的等差数列,公差为d.对任意的n∈N*,bn是an和an+1的等比中项.设cn=𝑏𝑛+12−𝑏𝑛2,n∈N*,求证:数列{cn}是等差数列.(2)设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知S2=2,S3=-6.①求{an}的通项公式;②求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.分析推理(1)首先根据已知用an表示bn,进而表示出cn,然后检验cn+1-cn是否为常数即可证明;也可以先写出数列{an}的通项公式,再根据已知求出数列的通项公式进行判断.(2)①首先根据已知列出方程组求出首项与公比,进而求出数列的通项公式;②根据①问,求出Sn,然后利用等差中项检验三项是否构成等差数列.𝑐𝑛专题四4.1等差数列与等比数列考情概览•命题分析高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-10-突破点一突破点二突破点三突破点四(1)证明:方法一(定义法)由题意得𝑏𝑛2=anan+1,有cn=𝑏𝑛+12−𝑏𝑛2=an+1an+2-anan+1=2dan+1,因此cn+1-cn=2d(an+2-an+1)=2d2,所以{cn}是等差数列.方法二(通项法)由已知可知数列{an}是公差为d的等差数列,设首项为a1,则an=a1+(n-1)d.由bn是an与an+1的等比中项,可得𝑏𝑛2=an·an+1=[a1+(n-1)d](a1+nd)=𝑎12+(2n-1)a1d+n(n-1)d2.故cn=𝑏𝑛+12−𝑏𝑛2=𝑎12+[2(n+1)-1]a1d+(n+1)·[(n+1)-1]d2-[𝑎12+(2n-1)a1d+n(n-1)d2]=2a1d+2nd2=2d(a1+d)+(n-1)2d2,由已知,d为常数,所以数列{cn}是首项为2d(a1+d),公差为2d2的等差数列.专题四4.1等差数列与等比数列考情概览•命题分析高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-11-突破点一突破点二突破点三突破点四(2)解:①设{an}的公比为q.由题设可得𝑎1(1+𝑞)=2,𝑎1(1+𝑞+𝑞2)=-6.解得q=-2,a1=-2.故{an}的通项公式为an=(-2)n.②由①可得Sn=𝑎1(1-𝑞𝑛)1-𝑞=-23+(-1)n2𝑛+13.由于Sn+2+Sn+1=-43+(-1)n2𝑛+3-2𝑛+23=2-23+(-1)𝑛2𝑛+13=2Sn,故Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.专题四4.1等差数列与等比数列考情概览•命题分析高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-12-突破点一突破点二突破点三突破点四该题中的(2)中,是否对所有的等比数列“Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列”都成立?如果成立,请给出证明;如果不成立,请求出成立的条件.解:并不是对所有的等比数列“Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列”都成立.设等比数列{an}的首项为a1,公比为q.(1)当q=1时,Sn=na1.此时Sn+1+Sn+2=(n+1)a1+(n+2)a1=(2n+3)a1.由Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列可得,Sn+1+Sn+2=2Sn,即(2n+3)a1=2na1.因为a1≠0,显然该等式不成立,所以此时Sn+1,Sn,Sn+2不能构成等差数列.专题四4.1等差数列与等比数列考情概览•命题分析高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-13-突破点一突破点二突破点三突破点四(2)当q≠1时,Sn=𝑎1(1-𝑞𝑛)1-𝑞.此时Sn+1+Sn+2=𝑎1(1-𝑞𝑛+1)1-𝑞+𝑎1(1-𝑞𝑛+2)1-𝑞=𝑎1(2-𝑞𝑛+1-𝑞𝑛+2)1-𝑞.由Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列可得,Sn+1+Sn+2=2Sn,即𝑎1(2-𝑞𝑛+1-𝑞𝑛+2)1-𝑞=2𝑎1(1-𝑞𝑛)1-𝑞,整理得qn+2+qn+1-2qn=0,即q2+q-2=0,解得q=1(舍),q=-2.所以q=-2.综上,只有公比q=-2的等比数列{an},上述结论才能成立.专题四4.1等差数列与等比数列考情概览•命题分析高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-14-突破点一突破点二突破点三突破点四规律方法1.证明数列{an}是等差数列的两种基本方法:(1)利用定义,证明an+1-an(n∈N*)为常数;(2)利用等差中项,证明2an=an-1+an+1(n≥2).2.证明数列{an}是等比数列的两种基本方法:(1)利用定义,证明𝑎𝑛+1𝑎𝑛(n∈N*)为常数;(2)利用等比中项,证明𝑎𝑛2=an-1an+1(n≥2,且an≠0).专题四4.1等差数列与等比数列考情概览•命题分析高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-15-突破点一突破点二突破点三突破点四即时巩固2(1)(2019天津河北区二模)已知数列{an}满足a1=2,(n+2)an=(n+1)an+1-2(n2+3n+2),设bn=.①求b1,b2,b3的值;②证明数列{bn}是等差数列.(2)(2019河北唐山一模)已知数列{an}满足:a1=1,an+1=2an+n-1,记bn=an+n.①求b1,b2,b3;②判断{bn}是否为等比数列,并说明理由;③求{an}的前n项和Sn.𝑎𝑛𝑛+1专题四4.1等差数列与等比数列考情概览•命题分析高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-16-突破点一突破点二突破点三突破点四解:(1)①将n=1代入得3a1=2a2-12.又a1=2,所以a2=9.将n=2代入得4a2=3a3-24,所以a3=20.从而b1=𝑎11+1=1,b2=𝑎22+1=3,b3=𝑎33+1=5.②证明:将(n+2)an=(n+1)an+1-2(n2+3n+2)两边同时除以(n+1)(n+2),得𝑎𝑛𝑛+1=𝑎𝑛+1𝑛+2-2,所以𝑎𝑛+1𝑛+2−𝑎𝑛𝑛+1=2,即bn+1-bn=2,所以数列𝑏𝑛是以1为首项,2为公差的等差数列.专题四4.1等差数列与等比数列考情概览•命题分析高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-17-突破点一突破点二突破点三突破点四(2)①因为a1=1,所以a2=2a1+0=2,a3=2a2+2-1=5,从而b1=2,b2=a2+2=4,b3=a3+3=8.②{bn}是等比数列.理由如下:因为an+1=2an+n-1,所以an+1+(n+1)=2(an+n),所以𝑎𝑛+1+(𝑛+1)𝑎𝑛+𝑛=2,即𝑏𝑛+1𝑏𝑛=2,所以{bn}是等比数列,且首项b1=2,公比为2.③由②知bn=2n,故an=bn-n=2n-n.所以Sn=(21+22+23+…+2n)-(1+2+3+…+n)=2n+1-2-𝑛2+𝑛2.专题四4.1等差数列与等比数列考情概览•命题分析高频考点•探究突