（课标专用）天津市2020高考数学二轮复习 专题二 函数与导数 2.3 二 利用导数解不等式及参数的

专题二2.3二利用导数解不等式及参数的取值范围高频考点•探究突破核心归纳•预测演练二利用导数解不等式及参数的取值范围专题二2.3二利用导数解不等式及参数的取值范围高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-2-突破点一突破点二突破点三利用导数证明不等式【例1】(2019天津和平区第二学期高三调研)已知函数f(x)=ln𝑥+𝑘e𝑥(k为常数).曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与x轴平行.(1)求k的值.(2)求函数f(x)的单调区间.(3)设g(x)=(x2+x)f'(x),其中f'(x)为f(x)的导函数.证明:对任意x0,g(x)1+e-2.分析推理(1)由题意,求出函数的导函数,由导数的几何意义和已知可得f'(1)=0,解方程即可求得k值;(2)求函数的导数,判断导函数的符号求出函数的单调区间;(3)首先写出等价不等式,然后根据不等式的结构特征构造相应的两个函数,利用导数研究两个函数的最值,进而证得不等式.专题二2.3二利用导数解不等式及参数的取值范围高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-3-突破点一突破点二突破点三(1)解:由f(x)=ln𝑥+𝑘e𝑥可得f'(x)=1𝑥-𝑘-ln𝑥e𝑥,x∈(0,+∞).而f'(1)=0,即1-𝑘e=0,解得k=1.(2)解:由(1)知,f'(x)=1𝑥-ln𝑥-1e𝑥,x∈(0,+∞).设k(x)=1𝑥-lnx-1,则k'(x)=-1𝑥2−1𝑥0,即k(x)在区间(0,+∞)内是减函数.由k(1)=0知,当0x1时,k(x)0,从而f'(x)0;当x1时,k(x)0,从而f'(x)0.综上可知,f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+∞).专题二2.3二利用导数解不等式及参数的取值范围高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-4-突破点一突破点二突破点三(3)证明:因为g(x)=(x2+x)f'(x),所以g(x)=𝑥+1e𝑥(1-x-xlnx),x∈(0,+∞).对任意x0,g(x)1+e-2等价于1-x-xlnxe𝑥𝑥+1(1+e-2).设h(x)=1-x-xlnx,x∈(0,+∞),则h'(x)=-lnx-2=-(lnx-lne-2),x∈(0,+∞).当x∈(0,e-2)时,h'(x)0,故h(x)单调递增;当x∈(e-2,+∞)时,h'(x)0,故h(x)单调递减.所以,h(x)的最大值为h(e-2)=1+e-2,则1-x-xlnx≤1+e-2.设φ(x)=ex-(x+1),因为φ'(x)=ex-1=ex-e0,所以当x∈(0,+∞)时,φ'(x)0,φ(x)单调递增.专题二2.3二利用导数解不等式及参数的取值范围高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-5-突破点一突破点二突破点三则φ(x)φ(0)=0,即ex-(x+1)0,从而有e𝑥𝑥+11.则1-x-xlnx≤1+e-2e𝑥𝑥+1(1+e-2).因此,对任意x0,g(x)1+e-2.规律方法利用导数证明不等式,主要是构造函数,通过导数判断函数的单调性,由函数的单调性证明不等式成立,或通过求函数的最值,当该函数的最大值或最小值使不等式成立时,不等式恒成立,从而可将不等式的证明转化为求函数的最值.专题二2.3二利用导数解不等式及参数的取值范围高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-6-突破点一突破点二突破点三即时巩固1(2019天津蓟州等部分区联考)已知函数f(x)=alnx+x2,其中a∈R.(1)讨论f(x)的单调性.(2)当a=1时,证明:f(x)≤x2+x-1.(3)求证:对任意正整数n,都有1+121+122…1+12𝑛e(其中e≈2.7183为自然对数的底数).(1)解:函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=𝑎𝑥+2x=𝑎+2𝑥2𝑥.①当a≥0时,f'(x)0,所以f(x)在区间(0,+∞)内单调递增;②当a0时,令f'(x)=0,解得x=-𝑎2.当0x-𝑎2时,a+2x20,专题二2.3二利用导数解不等式及参数的取值范围高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-7-突破点一突破点二突破点三所以f'(x)0,所以f(x)在区间0,-𝑎2内单调递减;当x-𝑎2时,a+2x20,所以f'(x)0,所以f(x)在区间-𝑎2,+∞内单调递增.综上,当a≥0时,函数f(x)在区间(0,+∞)内单调递增;当a0时,函数f(x)在区间0,-𝑎2内单调递减,在区间-𝑎2,+∞内单调递增.专题二2.3二利用导数解不等式及参数的取值范围高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-8-突破点一突破点二突破点三(2)证明:当a=1时,f(x)=lnx+x2.要证明f(x)≤x2+x-1,即证lnx≤x-1,即lnx-x+1≤0.设g(x)=lnx-x+1,则g'(x)=1-𝑥𝑥.令g'(x)=0,得x=1.当x∈(0,1)时,g'(x)0,当x∈(1,+∞)时,g'(x)0.所以x=1为极大值点,也为最大值点,所以g(x)≤g(1)=0,即lnx-x+1≤0.故f(x)≤x2+x-1.专题二2.3二利用导数解不等式及参数的取值范围高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-9-突破点一突破点二突破点三(3)证明:由(2)知,lnx≤x-1.令x=1+12𝑛,则ln1+12𝑛≤12𝑛,所以ln1+12+ln1+122+…+ln1+12𝑛≤12+122+…+12𝑛=121-12𝑛1-12=1-12𝑛1=lne,即ln1+121+122…1+12𝑛lne,所以1+121+122…1+12𝑛e.专题二2.3二利用导数解不等式及参数的取值范围高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-10-突破点一突破点二突破点三利用导数解与不等式恒成立有关的问题【例2】(2019天津十二重点中学高三联考(二))已知函数f(x)=(ax2+x+a)e-x(a∈R).(1)当a=0时,求f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程.(2)若a≥0,求函数f(x)的单调区间.(3)若对任意的a≤0,f(x)≤bln(x+1)在x∈[0,+∞)内恒成立,求实数b的取值范围.分析推理(1)利用函数和导函数的解析式求得切点和切线斜率,从而得到切线方程;(2)通过导函数的结构特征判断其符号的变换,根据参数a的符号对导函数符号的变换进行分类讨论;(3)首先确定不等式,然后构造相应的函数h(x)=bln(x+1)-xe-x,根据b的取值不同进行分类讨论,进而确定b的取值范围.专题二2.3二利用导数解不等式及参数的取值范围高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-11-突破点一突破点二突破点三解:(1)当a=0时,f(x)=x·e-x.则f'(x)=e-x-x·e-x=e-x(1-x),故f'(0)=1,f(0)=0,f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程为y=x.(2)由题意,f'(x)=(2ax+1)e-x-(ax2+x+a)e-x=-e-x[ax2+(1-2a)x+a-1]=-e-x(x-1)·(ax+1-a).①当a=0时,f'(x)=-e-x(x-1),令f'(x)0,得x1;f'(x)0,得x1,所以f(x)在区间(-∞,1)内单调递增,在区间(1,+∞)内单调递减.②当a0时,1-1𝑎1,令f'(x)0,得1-1𝑎x1;f'(x)0,得x1-1𝑎或x1,所以f(x)在区间1-1𝑎,1内单调递增,在区间-∞,1-1𝑎,(1,+∞)内单调递减.专题二2.3二利用导数解不等式及参数的取值范围高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-12-突破点一突破点二突破点三(3)令g(a)=e-x(x2+1)a+xe-x,a∈(-∞,0].当x∈[0,+∞)时,e-x(x2+1)≥0,g(a)单调递增,则g(a)max=g(0)=xe-x,则g(a)≤bln(x+1)对∀a∈(-∞,0]恒成立等价于bln(x+1)≥g(a)max=g(0),即xe-x≤bln(x+1)对x∈[0,+∞)恒成立.当b≤0时,∀x∈(0,+∞),bln(x+1)0,xe-x0,此时xe-xbln(x+1),不合题意,舍去;当b0时,令h(x)=bln(x+1)-xe-x,x∈[0,+∞),则h'(x)=𝑏𝑥+1-(e-x-xe-x)=𝑏e𝑥+𝑥2-1(𝑥+1)e𝑥.其中对∀x∈[0,+∞),(x+1)ex0,令p(x)=bex+x2-1,x∈[0,+∞),则p(x)在区间[0,+∞)内单调递增;专题二2.3二利用导数解不等式及参数的取值范围高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-13-突破点一突破点二突破点三①当b≥1时,p(x)≥p(0)=b-1≥0,所以对∀x∈[0,+∞),h'(x)≥0,则h(x)在区间[0,+∞)内单调递增,故对任意x∈[0,+∞),h(x)≥h(0)=0,即不等式bln(x+1)≥xe-x在区间[0,+∞)内恒成立,满足题意;②当0b1时,由p(0)=b-10,又p(1)=be0,且p(x)在区间[0,+∞)内单调递增,所以存在唯一的x0∈(0,1),使得p(x0)=0,且x∈(0,x0)时,p(x)0,即h'(x)0,所以h(x)在区间(0,x0)内单调递减,则当x∈(0,x0)时,h(x)h(0)=0,即bln(x+1)xe-x,不符合题意;综上所述,b≥1.专题二2.3二利用导数解不等式及参数的取值范围高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-14-突破点一突破点二突破点三规律方法1.不等式的恒成立问题和有解问题、无解问题的解题方法是依据不等式的特点,进行等价变形,构造函数,借助函数的图象观察或参变分离,转化为求函数的最值问题来处理.如不等式f(x)g(x)恒成立的处理方法一般是构造F(x)=f(x)-g(x),F(x)min0;或分离参数,将不等式等价变形为ah(x)或ah(x),进而转化为求函数h(x)的最值.2.f(x)a恒成立⇔𝑓(𝑥)min𝑎,有解⇔𝑓(𝑥)max𝑎,无解⇔𝑓(𝑥)max≤𝑎.专题二2.3二利用导数解不等式及参数的取值范围高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-15-突破点一突破点二突破点三即时巩固2已知函数f(x)=ex-ax-1-,x∈R.(1)当a=2时,求f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程.(2)若对任意x≥0都有f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.𝑥22解:(1)因为当a=2时,f(x)=ex-2x-1-𝑥22,所以f(0)=0,f'(x)=ex-2-x,所以f'(0)=-1.所以所求切线方程为y=-x.专题二2.3二利用导数解不等式及参数的取值范围高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-16-突破点一突破点二突破点三(2)f'(x)=ex-x-a,令h(x)=f'(x)=ex-x-a,则h'(x)=ex-1,当x≥0时,h'(x)≥0,f'(x)单调递增,所以f'(x)≥f'(0)=1-a.当a≤1时,f'(x)≥0,f(x)在区间[0,+∞)内单调递增,f(x)≥f(0)=0恒成立;当a1时,存在x0∈(0,+∞),使f'(x0)=0,则f(x)在区间[0,x0)内单调递减,在区间(x0,+∞)内单调递增,则当x∈[0,x0)时,f(x)f(0)=0,不合题意.综上所述,实数a的取值范围为(-∞,1].专题二2.3二利用导数解不等式及参数的取值范围高频考点•探究突破核心归纳•预测演练高频考点•探究突破-17-突破点一突破点二突破点三利用导数解函数中的探索