直线与圆锥曲线的位置关系1教案

直线与圆锥曲线的位置关系1一、教学目标1、熟练的掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判断方法，会求直线与圆锥曲线相交时的弦长、定值、范围等问题。2、体会方程的数学思想、转化的数学思想及点差法、判别式法等数学思想方法应用。二、知识要点分析1、直线与圆锥曲线的位置关系的判断，（直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离）设直线L的方程是：0CByAx，圆锥曲线的方程是0),(yxf，则由0)y,x(f0CByAx消去）或消去yx(,得：02cbxax)0(a…………（*）设方程（*）的判别式acb42交点个数问题①当a＝0或a≠0，＝0时，曲线和直线只有一个交点；②当a≠0，＞0时，曲线和直线有两个交点；③当a≠0，＜0时，曲线和直线没有交点。2、直线L与圆锥曲线相交时的弦长。设直线L与圆锥曲线交于),(),,(2211yxQyxP，直线L的斜率为k，则2122122124)(1||1||xxxxkxxkPQ=||11212yyk=2122124)(11yyyyk3、设A（11y,x），B（x2，y2）是椭圆12222byax上不同的两点，且21xx，0xx21，M（x0，y0）为AB的中点，则两式相减可得2221212121abxxyyxxyy，22OMABabkk。这种方法叫点差法，最后需要检验直线与曲线是否相交。【典型例题】例1、已知抛物线的方程为xy42，直线l过定点P(－2,1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线xy42只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？【尝试解答】直线l的方程为y－1＝k(x＋2)，即y＝kx＋2k＋1，由y＝kx＋2k＋1，y2＝4x，得k2x2＋(4k2＋2k－4)x＋(2k＋1)2＝0，(*)当k＝0时，方程(*)为－4x＋1＝0，即x＝14，此时直线l和抛物线只有一个交点，当k≠0时，Δ＝(4k2＋2k－4)2－4k2(2k＋1)2＝－32k2－16k＋16，由Δ＝0，即－32k2－16k＋16＝0，得2k2＋k－1＝0，解得k＝－1或k＝12，∴当k＝－1或k＝12时，方程(*)有两个相等的实根，当－1＜k＜12且k≠0时，方程(*)有两个不等的实根，当k＜－1或k＞12时，方程(*)没有实根．综上知，当k＝0或k＝－1，或k＝12时，直线与抛物线只有一个公共点，当－1＜k＜12且k≠0时，直线与抛物线有两个公共点，当k＜－1或k＞12时，直线与抛物线没有公共点．,例2、过椭圆2222yx的一个焦点的直线交椭圆于A、B两点，求△AOB的面积的最大值(O为原点)．解：不妨设AB过焦点(0,1)，当AB斜率不存在时显然不合题意．设AB的方程为y－1＝kx，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则由y＝kx＋1，2x2＋y2＝2得(2＋k2)x2＋2kx－1＝0，所以x1＋x2＝－2k2＋k2，x1x2＝－12＋k2，所以|AB|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2＝221＋k22＋k2.又设点O到直线AB的距离为d，则d＝11＋k2，所以S△AOB＝12|AB|·d＝2·1＋k22＋k2＝2·1＋k21＋k2＋1＝21＋k2＋11＋k2≤22，所以S△AOB的最大值为22.例3.已知双曲线方程2x2－y2＝2.(1)求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在直线方程；(2)过点B(1,1)能否作直线l，使l与所给双曲线交于Q1、Q2两点，且点B是弦Q1Q2的中点？这样的直线l如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由．解：(1)即设)1,2(A的中点弦两端点为),(),,(222111yxPyxP，则有关系2,42121yyxx．又据对称性知21xx，所以2121xxyy是中点弦21PP所在直线的斜率，由1P、2P在双曲线上，则有关系22,2222222121yxyx．两式相减是：0))(())((221212121yyyyxxxx∴0)(2)(422121yyxx∴42121xxyy所求中点弦所在直线为)2(41xy，即074yx．(2)可假定直线l存在，而求出l的方程为)1(21xy，即012yx方法同(1)，联立方程0122222yxyx，消去y,得03422xx然而方程的判别式08324)4(2，无实根，因此直线l与双曲线无交点，这一矛盾说明了满足条件的直线l不存在．四．课堂巩固1．直线yxb与抛物线22yx，当b时，有且只有一个公共点；当b时，有两个不同的公共点；当b时，无公共点．2．若直线1ykx和椭圆22125xym恒有公共点，则实数m的取值范围为．3．抛物线2yax与直线ykxb(0)k交于,AB两点，且此两点的横坐标分别为1x，2x，直线与x轴的交点的横坐标是3x，则恒有（）()A312xxx()B121323xxxxxx()C3120xxx()D1213230xxxxxx4．椭圆122nymx与直线1yx交于,MN两点，MN的中点为P，且OP的斜率为22，则nm的值为（）()A22()B322()C229()D27325．已知双曲线22:14yCx，过点(1,1)P作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有（）()A1条()B2条()C3条()D4条