（课标通用）安徽省2019年中考数学总复习 第一篇 知识 方法 固基 第三单元 函数 第12讲 二次

第12讲二次函数的图象及性质考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点四考点五考点一二次函数概念及表达式定义:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)的函数叫做二次函数.三种解析式(1)一般形式:y=ax2+bx+c;(2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0),其中二次函数的顶点坐标是(h,k);(3)交点式:y=a(x-𝑥1)(x-𝑥2)(a≠0),其中𝑥1,𝑥2为抛物线与x轴交点的横坐标,也是一元二次方程a𝑥2+bx+c=0(a≠0)的两个根考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点四考点五考点二二次函数图象及其性质(高频)1.图象性质大致图象a0a0开口方向向上向下顶点坐标-b2a,4ac-b24a对称轴直线x=-b2a考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点四考点五增减性当x-b2a时,y随x的增大而减小;当x-𝑏2𝑎时,y随x的增大而增大当x-𝑏2𝑎时,y随x的增大而增大;当x-𝑏2𝑎时,y随x的增大而减小最值当x=-𝑏2𝑎时,y取最小值为4𝑎𝑐-𝑏24𝑎当x=-𝑏2𝑎时,y取最大值为4𝑎𝑐-𝑏24𝑎考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点四考点五2.图象与系数关系项目字母字母的符号图象的特征aa0开口向上a0开口向下bb=0对称轴为y轴ab0(b与a同号)对称轴在y轴左侧ab0(b与a异号)对称轴在y轴右侧cc=0经过原点c0与y轴正半轴相交c0与y轴负半轴相交考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点四考点五考点三二次函数表达式的确定(高频)1.三种表达式的适用条件及求法确定二次函数表达式一般利用一般式求解.对不同的已知条件,应灵活设出二次函数表达式的形式进行求解.2.表达式三种形式的适用条件(1)当已知抛物线上任意三点时,通常设为一般式y=ax2+bx+c;(2)当已知抛物线的顶点坐标(h,k)和抛物线上另一点时,通常设为顶点式y=a(x-h)2+k;(3)当已知抛物线与x轴交点坐标(x1,0)和(x2,0)时,通常设为交点式y=a(x-x1)(x-x2).考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点四考点五3.用待定系数法求二次函数表达式的步骤(1)设二次函数的表达式;(2)根据已知条件,得到关于待定系数的方程组;(3)解方程组,求出待定系数的值,从而写出函数的表达式.4.三种表达式之间的关系顶点式一般式两点式考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点四考点五考点四二次函数的平移由于抛物线的开口方向与开口大小均由二次项系数a确定,所以两个二次函数如果a相等,那么其中一个图象可以由另一个图象平移得到.y=a(x-h)2+k移动方向平移后的解析式简记向左平移m个单位y=a(x-h+m)2+k左加向右平移m个单位y=a(x-h-m)2+k右减向上平移m个单位y=a(x-h)2+k+m上加向下平移m个单位y=a(x-h)2+k-m下减考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点四考点五考点五二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程的转化根的判别式的情况实数根的情况二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当y=0时,得一元二次方程ax2+bx+c=0b2-4ac0抛物线与x轴有两个交点(x1,0),(x2,0).x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两个不相等的实数根b2-4ac=0抛物线与x轴有一个交点-b2a,0,x=-b2a是方程ax2+bx+c=0的两个相等的实数根,即x1=x2=-b2ab2-4ac0抛物线与x轴没有交点,即方程ax2+bx+c=0没有实数根考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点1二次函数解析式1.(2013·安徽,16,8分)已知二次函数图象的顶点坐标为(1,-1),且经过原点(0,0),求该函数的解析式.解设二次函数的解析式为y=a(x-1)2-1(a≠0),2分∵函数图象经过原点(0,0),∴a(0-1)2-1=0,解得a=1.∴该函数的解析式为y=(x-1)2-1.8分命题点3考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点2二次函数性质2.(2009·安徽,23,14分)已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图1所示.命题点3图3考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2(1)请说明图1中①,②两段函数图象的实际意义;(2)写出批发该种水果的资金金额ω(元)与批发量n(kg)之间的函数关系式;在图2的坐标系中画出该函数图象;指出金额在什么范围内,以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果;(3)经调查,某经销商销售该种水果的日最高销售量与零售价之间的函数关系如图3所示,该经销商拟每日售出60kg以上该种水果,且当日零售价不变,请你帮助该经销商设计进货和销售的方案,使得当日获得的利润最大.命题点3考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2解(1)①段函数图象表示批发量不少于20kg且不多于60kg的该种水果,可按5元/kg批发;②段函数图象表示批发量高于60kg的该种水果,可按4元/kg批发.4分命题点3(2)由题意得,ω=5𝑛(20≤𝑛≤60),4𝑛(𝑛60).5分图象如图所示.由图可知,资金金额满足240ω≤300时,以同样的资金可批发到较多数量的该种水果8分考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点3(3)法一:设当日零售价为x元,由图可得当日最高销售量n=320-40x,当n60时,x6.5.由题意,销售利润为y=(x-4)(320-40x)=40(x-4)(8-x)=40[-(x-6)2+4],10分当x=6时,y最大值=160.此时,n=80.即经销商应批发80kg该种水果,日零售价定为6元/kg,当日可得最大利润160元.14分考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点3法二:设日最高销售量xkg(x60).则由题图3,知日零售价p满足x=320-40p.于是p=320-𝑥40.10分销售利润y=x320-𝑥40-4=-140(x-80)2+160.从而x=80时,y最大值=160.此时,p=6.即经销商应批发80kg该种水果,日零售价定为6元/kg,当日可得最大利润160元.14分考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点3命题点3二次函数的图象3.(2015·安徽,10,4分)如图,一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c的图象相交于P,Q两点,则函数y=ax2+(b-1)x+c的图象可能为(A)考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点3解析由于一次函数y1=x与二次函数y2=ax2+bx+c的图象有两个不同的交点,且都位于第一象限,所以方程ax2+bx+c=x,即ax2+(b-1)x+c=0有两个不相等的正实数根,所以函数y=ax2+(b-1)x+c与x轴有两个不同的交点,且都在x轴的正半轴上,故选A.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法1二次函数的解析式的确定例1(2018·黑龙江哈尔滨)将抛物线y=-5x2+1向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度,所得到的抛物线为()A.y=-5(x+1)2-1B.y=-5(x-1)2-1C.y=-5(x+1)2+3D.y=-5(x-1)2+3答案:A解析:题干给的抛物线解析式可以看做顶点式,顶点为(0,1),平移可以看做是将顶点移动到(-1,-1),所以选A.方法总结二次函数的解析式往往是通过待定系数法或通过抛物线的平移、对称变换进行考查;本题考查了抛物线平移的问题.首先,将抛物线解析式化成顶点式;其次,根据“左加右减、上加下减”的原则对解析式右侧的代数式进行变形,特别注意,左加右减是对自变量而言的;上加下减是对解析式整体而言的.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3对应练1(2018·淮北模拟)抛物线的形状、开口方向与y=x2-4x+3相同,顶点在(-2,1),则关系式为(C)A.y=12(x-2)2+1B.y=12(x+2)2-1C.y=12(x+2)2+1D.y=-12(x+2)2+112解析:抛物线的形状、开口方向与y=12x2-4x+3相同,所以a=12.顶点在(-2,1),所以是y=12(x+2)2+1.故选C.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3对应练2(2018·合肥45中模拟)二次函数的部分图象如图所示,对称轴是x=-1,则这个二次函数的表达式为(D)A.y=-x2+2x+3B.y=x2+2x+3C.y=-x2+2x-3D.y=-x2-2x+3考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3对应练3(2018·芜湖模拟)如图,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点,EG⊥AF,FH⊥CE,垂足分别为G,H,设AG=x,图中阴影部分面积为y,则y与x之间的函数关系式是(C)A.y=33x2B.y=43x2C.y=8x2D.y=9x2考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3解析:∵E,F分别是AB,CD的中点,∴AE=CF,∵AE∥CF,∴四边形AFCE是平行四边形,∴AF∥CE.∵EG⊥AF,FH⊥CE,∴四边形EHFG是矩形,∵∠AEG+∠BEC=∠BCE+∠BEC=90°,∴∠AEG=∠BCE,∴tan∠AEG=tan∠BCE,∴𝐴𝐺𝐸𝐺=𝐵𝐸𝐵𝐶,∴EG=2x.由勾股定理可知:AE=5x,∴AB=BC=25x,∴CE=5x,易证:△AEG≌△CFH,∴AG=CH,∴EH=EC-CH=4x,∴y=EG·EH=8x2,故选C.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法2二次函数的图象和性质例2(2018·广东深圳)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论正确的是()A.abc0B.2a+b=0C.3a+c0D.ax2+bx+c-3=0有两个不相等的实数根答案:B考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3解析:由二次函数图象开口向下可知,a0,由对称轴-𝑏2𝑎0可知b0,由图象与y轴交于正半轴可知c0,故abc0,故A选项错误;由图象可知,对称轴为直线x=1,即-𝑏2𝑎=1,则b=-2a,故2a+b=0,故B选项正确;由图象与x轴交于(-1,0)可知,当x=-1时,y=0,即3a+c=0,故C选项错误;当y=3时,ax2+bx+c=3,即ax2+bx+c-3=0,由图象可知,当y=3时x=1,故ax2+bx+c-3=0只有一个实数根,故D选项错误;故选B.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3方法总结本题考查了二次函数的图象和性质,抛物线在直角坐标系中的位置由a,b,c的符号确定.抛物线开口方向决定了a的符号,当开口向上时,a0,当开口向下时,a0;图象与y轴的交点决定c的符号,交于y轴正半轴c0,交于y负半轴c0,交于原点c=0;抛物线的对称轴和a的符号共同决定b的符号,抛物线的对称轴在y轴左侧,-𝑏2𝑎0,抛物线的对称轴在y轴右侧,-𝑏2𝑎0;当x=1时,二次函数的函数值为y=a+b+c;函数的图象在x轴上方时,y0,函数的图象在x轴下方时,y0;当b2-4ac0,抛物线与x轴有2个不同的交点,当b2-4ac=0,抛物线与x轴只有1个交点,b2-4ac0,抛物线与x轴没有交点.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考