（课标通用）安徽省2019年中考数学总复习 第一篇 知识 方法 固基 第六单元 圆 第22讲 圆的有

第六单元圆第22讲圆的有关概念及性质考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点四考点五考点一圆的有关概念和性质1.圆的定义在同一平面内,一条线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的封闭图形叫做圆,固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做半径.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点四考点五2.圆的有关的概念弧圆上任意两点间的部分叫做弧,大于半圆的弧叫优弧,小于半圆的弧叫劣弧弦连接圆上任意两点的线段叫做弦直径经过圆心的弦叫直径,直径等于半径的2倍弦心距圆心到弦的距离叫做弦心距半圆圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每条弧都叫做半圆同心圆圆心相同,半径不等的两个圆叫做同心圆等圆能够重合的两个圆叫做等圆等弧在同圆或等圆中,能够互相重合的弧叫做等弧考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点四考点五3.圆的性质(1)圆的对称性:圆既是轴对称图形,又是中心对称图形,任意一条直径所在的直线都是它的对称轴,圆心是它的对称中心.(2)圆的确定:不在同一直线上的三个点确定一个圆.三角形的三个顶点确定一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点,叫做三角形的外心.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点四考点五考点二垂径定理及其推论(高频)定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧如果一条直线:①垂直于弦;②经过圆心;③平分弦;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.具备其中任意两个条件,那么就可得到其他三个结论.[提示:具备②③条件时,应是平分弦(不是直径)]考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点四考点五考点三圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系1.圆心角:顶点在圆心的角叫做圆心角.2.定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.推论:(1)在同圆或等圆中,如果两个圆心角以及这两个圆心角所对的弧、所对的弦、所对的弦的弦心距中,有一组量相等,那么其余的各组量也都相等.(2)弧的度数等于它所对的圆心角的度数.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点四考点五考点四圆周角定理及其推论(高频)圆周角顶点在圆上、两边分别和圆相交的角叫做圆周角,圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半定理同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半推论1.同弧或等弧所对的圆周角相等,在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等2.半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弧是半圆,所对的弦是直径考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考点必备梳理考点一考点二考点三考点四考点五考点五圆与多边形1.圆的内接多边形(1)如果一个多边形的每一个顶点都在同一个圆上,这个多边形叫做这个圆的内接多边形,这个圆叫做这个多边形的外接圆.(2)圆内接四边形的性质:圆的内接四边形的对角互补,并且一个外角等于它的内对角.2.正多边形与圆(见第24讲)考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点3命题点41.见第26讲【考题·初做诊断】第1题2.(2014·安徽,19,10分)如图,在☉O中,半径OC与弦AB垂直,垂足为E,以OC为直径的圆与弦AB的一个交点为F,D是CF延长线与☉O的交点.若OE=4,OF=6,求☉O的半径和CD的长.命题点1垂径定理及其推论考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点3命题点4解∵OE⊥AB,∴∠OEF=90°,∵OC为小圆的直径,∴∠OFC=90°.又∵∠EOF=∠FOC,∴Rt△OEF∽Rt△OFC.∴OE∶OF=OF∶OC,即4∶6=6∶OC.∴☉O的半径OC=9.∵在Rt△OCF中,OF=6,OC=9,∴CF=𝑂𝐶2-𝑂𝐹2=35.∵OF⊥CD,∴CF=DF,∴CD=2CF=65.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点3命题点4命题点2圆周角定理及其推论3.(2017·安徽,20,10分)如图,在四边形ABCD中,AD=BC,∠B=∠D,AD不平行于BC,过点C作CE∥AD交△ABC的外接圆O于点E,连接AE.(1)求证:四边形AECD为平行四边形;(2)连接CO,求证:CO平分∠BCE.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点3命题点4证明:(1)由圆周角定理得,∠B=∠E,又∠B=∠D,∴∠E=∠D.∵CE∥AD,∴∠D+∠ECD=180°.∴∠E+∠ECD=180°,∴AE∥CD.∴四边形AECD为平行四边形.(2)作OM⊥BC于M,ON⊥CE于N,∵四边形AECD为平行四边形,∴AD=CE.又AD=BC,∴CE=CB.∴OM=ON,又OM⊥BC,ON⊥CE,∴CO平分∠BCE.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点3命题点44.(2016·安徽,10,4分)如图,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4.P是△ABC内部的一个动点,且满足∠PAB=∠PBC.则线段CP长的最小值为(B)A.32B.2C.81313D.121313考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点3命题点4命题点3圆内接四边形5.(2012·安徽,13,5分)如图,点A,B,C,D在☉O上,O点在∠D的内部,四边形OABC为平行四边形,则∠OAD+∠OCD=60°.解析根据一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半,得∠AOC=2∠D;又因为四边形OABC是平行四边形,所以∠B=∠AOC;由圆内接四边形对角互补,得∠B+∠D=180°,所以∠D=60°,连接OD,则OA=OD,OD=OC,∠OAD=∠ODA,∠OCD=∠ODC,即有∠OAD+∠OCD=∠D=60°.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点3命题点4命题点4圆的性质6.(2015·安徽,20,10分)在☉O中,直径AB=6,BC是弦,∠ABC=30°,点P在BC上,点Q在☉O上,且OP⊥PQ.图1图2(1)如图1,当PQ∥AB时,求PQ的长度;(2)如图2,当点P在BC上移动时,求PQ长的最大值.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点3命题点4解(1)如图,连接OQ,∵PQ∥AB,PQ⊥OP,∴OP⊥AB,∵tan30°=OPOB,∴OP=3×33=3.在Rt△OPQ中,由勾股定理得PQ=32-(3)2=6.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考题初做诊断命题点1命题点2命题点3命题点4(2)如图,连接OQ,由勾股定理得PQ=𝑂𝑄2-𝑂𝑃2=9-𝑂𝑃2,要使PQ取最大值,需OP取最小值,此时OP⊥BC,∵∠ABC=30°,∴OP=12OB=32,∴PQ最大值=9-94=332.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法1垂径定理及其推论例1(2018·山东枣庄)如图,AB是☉O的直径,弦CD交AB于点P,AP=2,BP=6,∠APC=30°,则CD的长为()A.15B.25C.215D.8考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4分析:过O作OE⊥CD于E,连接OC,在Rt△OEP中,由∠OPE=30°,OP=2计算OE的长;在Rt△OCE中,由OC和OE的长利用勾股定理计算CE的长;最后得出CD=2CE.答案:C解析:过O点作OE⊥CD于E,∵AP=2,BP=6,∴AB=8,∴OA=OB=4,∴OP=2,∵∠APC=30°,∴OE=12OP=1.在Rt△OCE中,CE=𝑂𝐶2-𝑂𝐸2=15,∵OE⊥CD,O是圆心,∴CD=2CE=215.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4方法总结垂径定理是解决圆中计算,证明常用的知识,一般要把半径,弦心距,弦的一半构建在一个直角三角形里,运用勾股定理求解,即“垂径定理+勾股定理”.设圆的半径为r,弦长为a、弦心距为d,弓形高为h,则𝑎22+d2=r2;这两个公式是关于四个量r、a、d、h的一个方程组,只要已知其中任意两个量即可求出其余两个量.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4对应练1(课本习题改编)如图,已知☉O的直径AB⊥CD于点E,则下列结论一定错误的是(B)A.CE=DEB.AE=OEC.𝐵𝐶=𝐵𝐷D.△OCE≌△ODE解析:∵AB⊥CD,∵CO=DO,∠CEO=∠DEO,∴△OCE≌△ODE.不能确定AE和OE的关系,故答案选B.∴CE=DE,𝐵𝐶=𝐵𝐷.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4对应练2(2017·黑龙江牡丹江)在半径为20的☉O中,弦AB=32,点P在弦AB上,且OP=15,则AP=7或25.解析:本题共分为2种情况,A,P在M点同侧或异侧.如图,连接OA,过O作OM⊥AB于M,根据垂径定理可知AM=AB=16,根据勾股定理可得,12OM=𝑂𝐴2-𝐴𝑀2=202-162=12,所以PM=𝑂𝑃2-𝑂𝑀2=152-122=9.因此AP=AM-PM=16-9=7.同理可得,若A,P在M点异侧,则AP=AM+PM=16+9=25.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4考法2圆周角定理及其推论例2(2018·甘肃白银)如图,☉A过点O(0,0),C(,0),D(0,1),点B是x轴下方☉A上的一点,连接BO,BD,则∠OBD的度数是()A.15°B.30°C.45°D.60°分析:由∠DOC=90°,想到连接DC.由题意知DO=1,OC=,所以算出直径DC=2,由此得∠DCO=30°,所以∠OBD=∠OCD=30°.答案:B33考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4解析:连接DC.∵在☉A中,∠DOC=90°,∴DC过圆心A,即DC是☉A的直径.∵C(3,0),D(0,1),∴DO=1,CO=3.∴在Rt△DOC中,CD=𝐶𝑂2+𝐷𝑂2=2.∴∠DCO=30°,∴∠OBD=∠DCO=30°.方法总结解决与圆有关的角度的相关计算时,一般先判断角是圆周角还是圆心角,再转化成同弧所对的圆周角或圆心角,利用同弧所对的圆周角相等,同弧所对的圆周角是圆心角的一半等关系求解.另外,注意同弦所对的圆周角有两个,遇到此类情况时需分类讨论.有直径时,一般添加辅助线得到直径所对的圆周角,构造直角三角形解决问题.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4对应练3(易错题)已知☉O的半径为10,圆心O到弦AB的距离为5,则弦AB所对圆周角的度数是(D)A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°解析:如图,连接OA、OB,∵OC⊥AB,∴OC=5,OA=OB=10,又OC=12OA,∴cos∠AOC=12,∴∠AOC=60°∴∠AOB=120°,∴弦AB所对的圆周角的度数是60°或120°.故选D.考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4对应练4(2018·湖北咸宁)如图,已知☉O的半径为5,弦AB,CD所对的圆心角分别为∠AOB,∠COD,若∠AOB与∠COD互补,弦CD=6,则弦AB的长为(B)A.6B.8C.52D.53考点必备梳理考题初做诊断考法必研突破考法必研突破考法1考法2考法3考法4解析:作OF⊥AB于F,作直径BE,连接AE,如图,∵∠AOB+∠COD=180°,而∠AOE+∠AOB=180°,∴∠AOE=∠COD,∴𝐴𝐸=𝐷𝐶,∴AE=DC=6,∵OF⊥AB,∴BF=AF,而OB=O