（江西专版）2020中考数学复习方案 题型突破01 填空压轴题中的多解性问题课件

题型突破（一）填空压轴题中的多解性问题若要探究特定条件下几何图形中某点的位置时,通常要结合图形运用分类讨论思想,仔细分析该点可能出现的各种不同位置的情况,并画出对应的图形加以求解.类型一点的位置不确定（2019,12/2018,12/2017,12/2014,14/2013,14）例1[2019·江西样卷]如图Z1-1,矩形ABCD中,动点P沿B→A→D→C→B路线运动,点M是AB边上的一点,且MB=14AB,已知AB=4,BC=2,AP=2MP,则点P到边AD的距离为.【分层分析】(1)根据矩形的性质得到BC=AD=2,CD=AB=4,如何求得BM,AM的长?(2)当AP=2MP时,点P在矩形的各边运动时,可以分为哪几种情况?(3)在求解的过程中,运用了哪些数学知识?图Z1-1[答案]4或2[解析]∵四边形ABCD是矩形,AB=4,BC=2,∴BC=AD=2,CD=AB=4.∵MB=14AB,∴BM=1,AM=3.①当点P在AB边上时,∵AP=2MP,BM=1,AM=3,∴P在线段AM上,∴AP+PM=3,∴AP=2.∵AP⊥AD,∴点P到边AD的距离为2;②当P在CD边上时,如图,过M作ME⊥CD于E,则四边形BCEM是矩形,∴ME=BC=2,CE=BM=1.设PD=x,则PE=|3-x|.∵PA=𝐴𝐷2+𝑃𝐷2=4+𝑥2,PM=4+(3-𝑥)2,又∵PA=2PM,∴4+𝑥2=24+(3-𝑥)2,解得x=4.∴点P到边AD的距离为4.③P在BC边上时,点P到边AD的距离为4.综上所述,点P到边AD的距离为2或4.【方法点析】涉及几何图形中点的位置不确定时,要分类讨论点可能出现的不同位置.【配练】[2019·南昌模拟]如图Z1-2,矩形ABCD中,AB=6,AD=43,点E是BC的中点,点F在AB上,FB=2,P是矩形上一动点.若点P从点F出发,沿F→A→D→C的路线运动,当∠FPE=30°时,FP的长为.图Z1-2[解析]如图,连接DF,AE,DE,取DF的中点O,连接OA,OE.以O为圆心,OA长为半径画☉O交CD于P3.∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=∠B=90°.∵BF=2,BE=23,AF=4,AD=43,∴tan∠FEB=tan∠ADF=33,∴∠ADF=∠FEB=30°.易知EF=OF=OD=4,∴△OEF是等边三角形,∴∠EP1F=∠EP2F=∠FP3E=30°,∴FP1=4,FP2=8,FP3=43.[答案]4或8或43|题型精练|1.[2019·杭州]在直角三角形ABC中,若2AB=AC,则cosC=.[解析]如图,分两种情况讨论,AC可以是直角边,也可以是斜边.①如图①当AC是斜边时,设AB=x,则AC=2x,由勾股定理得BC=3x,则cosC=𝐵𝐶𝐴𝐶=3𝑥2𝑥=32;②如图②,当AC是直角边时,设AB=x,则AC=2x,由勾股定理得BC=5x,则cosC=𝐴𝐶𝐵𝐶=2𝑥5𝑥=25=255.综上,cosC=32或255.[答案]32或2552.[2019·绍兴]如图Z1-3,在直线AP上方有一个正方形ABCD,∠PAD=30°,以点B为圆心,AB长为半径作弧,与AP交于点A,M,分别以点A,M为圆心,AM长为半径作弧,两弧交于点E,连接ED,则∠ADE的度数为.图Z1-3[答案]15°或45°[解析]如图,∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD=90°.∵∠PAD=30°,∴∠BAM=60°.又∵BA=BM,∴△ABM是等边三角形.当点E在直线PA的上方时,点E与点B重合,显然∠ADE=∠ADB=45°;当点E在直线PA的下方时,∠BDE=180°-∠BME=180°-2×60°=60°,∴∠ADE=∠BDE-∠ADB=60°-45°=15°.因此答案为45°或15°.3.如图Z1-4,在平面直角坐标系中,已知点A(8,0)和点B(0,6),点C是AB的中点,点P在折线AOB上,直线CP截△AOB所得的三角形与△AOB相似,那么点P的坐标是.图Z1-4[解析]当PC∥OA时,△BPC∽△BOA,由点C是AB的中点,可得P为OB的中点,此时点P的坐标为(0,3).当PC∥OB时,△ACP∽△ABO,由点C是AB的中点,可得P为OA的中点,此时点P的坐标为(4,0).当PC⊥AB时,如图,∵点A(8,0)和点B(0,6),∴AB=62+82=10.∵点C是AB的中点,∴AC=5.∵∠CAP=∠OAB,∴Rt△APC∽Rt△ABO,∴𝐴𝐶𝑂𝐴=𝐴𝑃𝐴𝐵,即58=𝐴𝑃10,∴AP=254,∴OP=OA-AP=8-254=74,此时点P的坐标为74,0.综上,满足条件的点P的坐标为(0,3)或(4,0)或74,0.[答案](0,3)或(4,0)或74,04.[2019·江西12题]在平面直角坐标系中,A,B,C三点的坐标分别为(4,0),(4,4),(0,4),点P在x轴上,点D在直线AB上,若DA=1,CP⊥DP于点P,则点P的坐标为.[解析]∵A,B两点的坐标分别为(4,0),(4,4),∴AB∥y轴.∵点D在直线AB上,DA=1,∴D1(4,1),D2(4,-1).如图:①当点D在D1处时,若CP1⊥D1P1,则△COP1∽△P1AD1,∴𝐶𝑂𝑃1𝐴=𝑂𝑃1𝐴𝐷1,即44-𝑂𝑃1=𝑂𝑃11,解得OP1=2.∴P1的坐标为(2,0).[答案](2,0)或(2-22,0)或(2+22,0)②当点D在D2处时,C(0,4),D2(4,-1).设CD2的中点为E,则E2,32.∵CP⊥DP,∴点P是以E为圆心,CE长为半径的圆与x轴的交点,则PE=CE.设P(x,0),由题意得(2-𝑥)2+(32-0)2=22+(32-4)2,解得:x=2±22.∴P2(2-22,0),P3(2+22,0).综上所述,点P的坐标为(2,0)或(2-22,0)或(2+22,0).5.[2019·江西模拟]如图Z1-5,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠C=30°,AC=8,BD为AC边上的中线,点E在BC边上,且BE∶BC=3∶8,点P在Rt△ABC的边上运动,当PD∶AB=1∶2时,EP的长为.图Z1-5[解析]∵在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠C=30°,AC=8,∴AB=12AC=4,BC=43,∠A=60°.∵PD∶AB=1∶2,∴PD=2.过D作DF⊥AB于F,则DF∥BC.∵BD为AC边上的中线,∴AD=CD=BD,∴AF=BF,∴DF=23.∵点P在Rt△ABC的边上运动,PD=223,∴当PD∶AB=1∶2时,点P在边AC或BC上.[答案]32或392或312当点P1在BC边上,∵P1D=2=12AB,∴P1为BC的中点,∴BP1=12BC=23.∵BE∶BC=3∶8,∴BE=332,∴EP1=BP1-BE=32;当点P2在线段AD上时,∵P2D=2,AD=4,∴P2为AD的中点,∴AP2=2.过P2作P2G⊥BC于G,∴P2G∥AB,∴△CP2G∽△CAB,∴𝑃2𝐺𝐴𝐵=𝐶𝐺𝐵𝐶=𝐶𝑃2𝐴𝐶,即𝑃2𝐺4=𝐶𝐺43=68,∴P2G=3,CG=33,∴GE=32,∴P2E=𝑃2𝐺2+𝐸𝐺2=392;当点P3在线段CD上时,∵P3D=2,CD=4,∴P3C=2.过P3作P3H⊥BC于H,∴P3H=1,CH=3,∴EH=332,∴P3E=𝑃3𝐻2+𝐸𝐻2=312.综上所述,EP的长为32或392或312.6.如图Z1-6,在菱形ABCD中,∠A=60°,AB=3,点M为AB边上一点,AM=2,点N为AD边上的一动点,沿MN将△AMN翻折,点A落在点P处,当点P在菱形的对角线上时,AN的长度为.图Z1-6[解析]分两种情况:①当点P在菱形对角线AC上时,如图①,由折叠的性质得,AN=PN,AM=PM.∵四边形ABCD是菱形,∠BAD=60°,∴∠PAM=∠PAN=30°,∴∠AMN=∠ANM=90°-30°=60°,∴AN=AM=2.②当点P在菱形对角线BD上时,如图②.设AN=x,由折叠的性质得:PM=AM=2,PN=AN=x,∠MPN=∠A=60°.∵AB=3,∴BM=AB-AM=1.∵四边形ABCD是菱形,∴∠ADC=180°-60°=120°,∠PDN=∠MBP=12∠ADC=60°.[答案]2或5−13∵∠BPN=∠BPM+60°=∠DNP+60°,∴∠BPM=∠DNP,∴△PDN∽△MBP,∴𝐷𝑁𝐵𝑃=𝑃𝐷𝐵𝑀=𝑃𝑁𝑃𝑀,即3-𝑥𝐵𝑃=𝑃𝐷1=𝑥2,∴PD=12x,∴3-𝑥3-12𝑥=𝑥2,解得x=5-13或x=5+13(不合题意,舍去),∴AN=5-13.综上所述,AN的长为2或5-13.7.[2018·江西]在正方形ABCD中,AB=6,连接AC,BD,P是正方形边上或对角线上一点,若PD=2AP,则AP的长为.[解析]∵PD=2AP,∴设AP=x,则PD=2x.①当P在AD边上时,如图①.∵AD=6,∴AP+PD=6,∴x+2x=6,即x=2,∴AP=2.②当P在DC边上时,如图②.在Rt△ADP中,APPD,PD≠2AP,此种情况不存在.[答案]2或23或14−2③当P在BC边上时,如图③.DP的最大值为62,AP的最小值为6,PD≠2AP,此种情况不存在.④当P在AB边上时,如图④.在Rt△ADP中,AP2+AD2=PD2,∴x2+62=(2x)2,解得x1=23,x2=-23(舍),∴AP=23.③④⑤当P在对角线AC上时,如图⑤,在Rt△ABC中,AC=𝐴𝐵2+𝐵𝐶2=62,∴AO=12AC=32.在Rt△PDO中,PO=32-x,PD=2x,DO=AO=32,∴PD2=PO2+DO2,即(2x)2=(32-x)2+(32)2,解得x1=14−2,x2=-14−2(舍),∴AP=14−2.⑤⑥当P在对角线DB上时,如图⑥.在Rt△APO中,AP2=AO2+PO2,∴x2=(2x-32)2+(32)2,整理得:x2-42x+12=0.∵(-42)2-4×1×12=-160,∴方程无解.综上所述,AP=2或23或14−2.⑥探究特定条件下等腰三角形的形状时,通常要结合图形运用分类讨论思想,判断等腰三角形中的边是底边还是腰,需仔细分析该等腰三角形可能出现的各种不同情况,并画出对应的图形加以求解.类型二等腰三角形腰和底不确定(2016,12)图Z1-7例2[2016·江西12题]如图Z1-7是一张长方形纸片ABCD,已知AB=8,AD=7,E为AB上的一点,AE=5,现要剪下一张等腰三角形纸片(△AEP),使点P落在长方形ABCD的某一条边上,则等腰三角形AEP的底边长是.【分层分析】(1)△AEP是等腰三角形时,哪条边是底?哪两条边是腰?(2)当AP=AE时,怎样求底边PE的长?(3)当PE=AE时,底边AP同时还是哪个直角三角形的边?根据AB=8,要求AP的长还要先求出哪条边的长?(4)当PA=PE时,底边是哪条边?(5)本题运用了怎样的数学思想?[解析]如图:①当AP=AE=5(点P落在P1处)时,∵∠BAD=90°,∴△AEP是等腰直角三角形,∴底边PE=2AE=52.②当PE=AE=5(点P落在P2处)时,∵BE=AB-AE=8-5=3,∠B=90°,∴PB=𝑃𝐸2-𝐵𝐸2=4,∴底边AP=𝐴𝐵2+𝑃𝐵2=82+42=45.③当PA=PE(点P落在P3处)时,底边AE=5.综上所述,等腰三角形AEP的底边长为52或45或5,故答案为52或45或5.[答案]52或45或5【方法点析】涉及几何图形中等腰三角形时,要分类讨论哪条边是等腰三角形的腰、底边或哪个角是等腰三角形的顶角、底角.图Z1-8【配练】[2019·南昌模拟]如图Z1-8,在矩形ABCD中,AD=2AB=2,E是BC边上的一个动点,连接AE,过点D作DF⊥AE于F,连接CF,当△CDF为等腰三角形时,BE