高一数学必修4同步练习：1-2-2同角三角函数的基本关系

1-2-2同角三角函数的基本关系一、选择题1．已知cosα＝23，则sin2α等于()A.59B．±59C.53D．±53[答案]A[解析]sin2α＝1－cos2α＝59.2．已知α是第四象限角，tanα＝－512，则sinα＝()A.15B．－15C.513D．－513[答案]D[解析]不妨设α对应的锐角为α′，tanα′＝512，构造直角三角形如图，则|sinα|＝sinα′＝513，∵α为第四象限角，∴sinα0，∴sinα＝－513.[点评]已知角α的某三角函数值，求α的其它三角函数值时，可先判定其符号，然后构造直角三角形求其绝对值．如cosα＝－13，α为第三象限角，求sinα的值时，由于sinα0，构造直角三角形，如图可知|sinα|＝223，∴sinα＝－223.3．已知tanα0，且sinα＋cosα0，则()A．cosα0B．cosα0C．cosα＝0D．cosα符号不确定[答案]B[解析]∵tanα＝sinαcosα0，∴sinαcosα0，即sinα与cosα符号相同．又sinα＋cosα0，则cosα0.4．若非零实数m，n满足tanα－sinα＝m，tanα＋sinα＝n，则cosα等于()A.n－mm＋nB.m－n2C.m＋n2D.m－nn＋m[答案]A[解析]已知两等式联立，得tanα－sinα＝m，tanα＋sinα＝n，解得tanα＝m＋n2，sinα＝n－m2，则cosα＝sinαtanα＝n－mn＋m.5．化简(1sinα＋1tanα)(1－cosα)的结果是()A．sinαB．cosαC．1＋sinαD．1＋cosα[答案]A6.1＋2sinαcosα的值是()A．sinα＋cosαB．sinα－cosαC．cosα－sinαD．|sinα＋cosα|[答案]D7．如果tanθ＝2，那么sin2θ＋cos2θsinθcosθ的值是()A.73B.75C.52D.54[答案]C8．(2011～2012·琼海高一检测)若sinθ＋cosθsinθ－cosθ＝2，则sinθ·cosθ＝()A．－310B.310C．±310D.34[答案]B9．已知sinαcosα＝18，且π4απ2，则cosα－sinα的值为()A.32B．－32C.34D．－34[答案]B[解析]∵π4απ2，∴sinαcosα，∴cosα－sinα＝－cosα－sinα2＝－1－2sinαcosα＝－32.10．(08·浙江理)若cosα＋2sinα＝－5，则tanα＝()A.12B．2C．－12D．－2[答案]B[解析]解法一：将已知等式两边平方得cos2α＋4sin2α＋4sinαcosα＝5(cos2α＋sin2α)，化简得sin2α－4sinαcosα＋4cos2α＝0，即(sinα－2cosα)2＝0，故tanα＝2.解法二：设tanα＝k，则sinα＝kcosα代入cosα＋2sinα＝－5中得cosα＝－52k＋1，∴sinα＝5k2k＋1代入sin2α＋cos2α＝1中得，5k22k＋12＋52k＋12＝1，∴k＝2.二、填空题11．已知α是第三象限角，sinα＝－1213，则cosα＝________.[答案]－513[解析]∵sin2α＋cos2α＝1，∴cosα＝±1－sin2α＝±513.又α是第三象限角，∴cosα0，∴cosα＝－513.12．已知tanα＝2，则sin2α－sinαcosα＝________.[答案]25[解析]原式＝sin2α－sinαcosαsin2α＋cos2α＝sin2αcos2α－sinαcosαcos2αsin2αcos2α＋cos2αcos2α＝tan2α－tanαtan2α＋1＝25.13．已知sinθ－cosθ＝12，则sin3θ－cos3θ＝________.[答案]1116[解析]∵sinθ－cosθ＝12，∴sinθ·cosθ＝38，∴sin3θ－cos3θ＝(sinθ－cosθ)(sin2θ＋sinθcosθ＋cos2θ)＝121＋38＝1116.14．已知tanα＝cosα，那么sinα＝________.[答案]－1＋52[解析]由于tanα＝sinαcosα＝cosα，则sinα＝cos2α，所以sinα＝1－sin2α，解得sinα＝－1±52.又sinα＝cos2α≥0，所以sinα＝－1＋52.三、解答题15．已知cosα＝－35，且tanα0，求tanαcos3α1－sinα的值．[解析]∵cosα＝－35，且tanα0，∴α是第三象限角，∴sinα＝－1－cos2α＝－45，tanαcos3α1－sinα＝sinαcosαcos3α1－sinα＝sin1－sin2α1－sinα＝sinα(1＋sinα)＝－45×(1－45)＝－425.16．求证：sinα(1＋tanα)＋cosα(1＋1tanα)＝1sinα＋1cosα.[证明]左边＝sinα(1＋sinαcosα)＋cosα(1＋cosαsinα＝sinα＋sin2αcosα＋cosα＋cos2αsinα＝sin2α＋cos2αsinα＋sin2α＋cos2αcosα＝1sinα＋1cosα＝右边．即原等式成立．17．已知－π2xπ2，sinx＋cosx＝15，求tanx的值．[解析]解法一：建立方程组sinx＋cosx＝15，①sin2x＋cos2x＝1，②由①得sinx＝15－cosx，将其代入②，整理得25cos2x－5cosx－12＝0，解得cosx＝－35，或cosx＝45.又∵－π2xπ2，∴cosx＝45，sinx＝－35.∴tanx＝－34.解法二：由sinx＋cosx＝15，平方得2sinx·cosx＝－2425，∴(sinx－cosx)2＝4925.∵sinx·cosx0，∴－π2x0，∴cosx－sinx＝75.又∵sinx＋cosx＝15，∴cosx＝45，sinx＝－35.∴tanx＝－34.18．已知2cos2α＋3cosαsinα－3sin2α＝1，求(1)tanα；(2)2sinα－3cosα4sinα－9cosα.[解析](1)2cos2α＋3cosαsinα－3sin2α＝2cos2α＋3cosαsinα－3sin2αsin2α＋cos2α＝2＋3tanα－3tan2α1＋tan2α，则2＋3tanα－3tan2α1＋tan2α＝1，即4tan2α－3tanα－1＝0.解得tanα＝－14或tanα＝1.(2)原式＝2sinαcosα－3cosαcosα4sinαcosα－9cosαcosα＝2tanα－34tanα－9，当tanα＝－14时，原式＝720；当tanα＝1时，原式＝15.