（江苏专用）2020版高考数学一轮复习 第十四章 圆锥曲线与方程 14.3 抛物线及其性质课件

§14.3抛物线及其性质高考数学(江苏省专用)统一命题、省(区、市)卷题组1.(2019课标全国Ⅱ理改编,8,5分)若抛物线y2=2px(p0)的焦点是椭圆 + =1的一个焦点,则p=.23xp2yp五年高考答案8解析本题考查椭圆与抛物线的几何性质;考查运算求解能力;考查的核心素养为数学运算.∵抛物线y2=2px(p0)的焦点坐标为 ,∴由已知得椭圆 + =1的一个焦点为 ,∴3p-p= ,又p0,∴p=8.,02p23xp2yp,02p24p思路分析利用抛物线的焦点是椭圆的一个焦点,建立关于p的方程,解方程得p的值.2.(2018课标全国Ⅰ理改编,8,5分)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点(-2,0)且斜率为 的直线与C交于M,N两点,则 · =.23FMFN答案8解析本题主要考查直线与抛物线的位置关系及平面向量的数量积的运算.设M(x1,y1),N(x2,y2).由已知可得直线的方程为y= (x+2),即x= y-2,由 得y2-6y+8=0.由根与系数的关系可得y1+y2=6,y1y2=8,∴x1+x2= (y1+y2)-4=5,x1x2= =4,∵F(1,0),∴ · =(x1-1)·(x2-1)+y1y2=x1x2-(x1+x2)+1+y1y2=4-5+1+8=8.233224,322yxxy32212()16yyFMFN3.(2017课标全国Ⅱ文改编,12,5分)过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为 的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为.3答案2 3解析本题考查抛物线的方程和性质.因为直线MF的斜率为 ,所以直线MF的倾斜角为60°,则∠FMN=60°.由抛物线的定义得|MF|=|MN|,所以△MNF为等边三角形.过F作FH⊥MN,垂足为H.易知F(1,0),l的方程为x=-1,所以|OF|=1,|NH|=2,所以|MF|= +2,即|MF|=4,所以M到直线NF的距离d=|FH|=|MF|sin60°=4× =2 . 3||2MF323思路分析利用抛物线的定义得|MN|=|MF|,从而得△MNF为等边三角形,易得点M到直线NF的距离等于|FH|,进而得解.解题反思涉及抛物线焦点和准线的有关问题,应充分利用抛物线的定义求解.本题中直线的倾斜角为特殊角60°,通过解三角形更快捷.若联立直线和抛物线的方程求点M的坐标,然后求点N的坐标和直线NF的方程,再利用点到直线的距离公式求解,运算量会比较大.4.(2017天津文,12,5分)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.已知点C在l上,以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC=120°,则圆的方程为.答案(x+1)2+(y- )2=13解析本题主要考查抛物线的几何性质,圆的方程以及直线与圆的位置关系.由抛物线的方程可知F(1,0),准线方程为x=-1,设点C(-1,t),t0,则圆C的方程为(x+1)2+(y-t)2=1,因为∠FAC=120°,CA⊥y轴,所以∠OAF=30°,在△AOF中,OF=1,所以OA= ,即t= ,故圆C的方程为(x+1)2+(y- )2=1. 333方法总结求圆的方程常用的方法是待定系数法,根据题意列出关于三个独立参数a,b,r(或D,E,F)的方程组,从而得到参数的值,写出圆的方程.若题中涉及直线与圆的位置关系或弦长,常把圆的方程设为标准形式,同时应考虑数形结合思想的运用.5.(2016四川改编,3,5分)抛物线y2=4x的焦点坐标是.答案(1,0)解析∵抛物线y2=2px(p0)的焦点坐标为 ,∴抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0).,02p6.(2016浙江理,9,4分)若抛物线y2=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是.答案9解析设M(x0,y0),由抛物线方程知焦点F(1,0).根据抛物线的定义得|MF|=x0+1=10,∴x0=9,即点M到y轴的距离为9.评析本题主要考查抛物线的定义以及几何性质,解决本题的关键在于抛物线定义的应用.名师点睛当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时,一般会想到转化为抛物线上的点到准线的距离求解.7.(2016课标全国Ⅰ改编,10,5分)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4 ,|DE|=2 ,则C的焦点到准线的距离为.25答案4解析不妨设C:y2=2px(p0),A(x1,2 ),则x1= = ,由题意可知|OA|=|OD|,得 +8= +5,解得p=4.22(22)2p4p24p22p评析本题主要考查抛物线的性质及运算,解题时一定要注意运算的准确性与技巧性.8.(2015陕西,14,5分)若抛物线y2=2px(p0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p=.答案2 2解析抛物线y2=2px(p0)的准线方程为x=- (p0),故直线x=- 过双曲线x2-y2=1的左焦点(- ,0),从而- =- ,得p=2 .2p2p22p229.(2019课标全国Ⅰ文,21,12分)已知点A,B关于坐标原点O对称,|AB|=4,☉M过点A,B且与直线x+2=0相切.(1)若A在直线x+y=0上,求☉M的半径;(2)是否存在定点P,使得当A运动时,|MA|-|MP|为定值?并说明理由.解析本题利用关于原点对称和直线与圆相切,考查圆的方程及圆的几何性质,要求学生具备较强的直观想象与逻辑推理能力,第(2)问设置开放性问题,考查抛物线的定义与性质.(1)因为☉M过点A,B,所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线x+y=0上,且A,B关于坐标原点O对称,所以M在直线y=x上,故可设M(a,a).因为☉M与直线x+2=0相切,所以☉M的半径为r=|a+2|.由已知得|AO|=2,又 ⊥ ,故可得2a2+4=(a+2)2,解得a=0或a=4.故☉M的半径r=2或r=6.(2)存在定点P(1,0),使得|MA|-|MP|为定值.理由如下:设M(x,y),由已知得☉M的半径为r=|x+2|,|AO|=2,由于 ⊥ ,故可得x2+y2+4=(x+2)2,化简得M的轨迹方程为y2=4x.因为曲线C:y2=4x是以点P(1,0)为焦点,以直线x=-1为准线的抛物线,所以|MP|=x+1.因为|MA|-|MP|=r-|MP|=x+2-(x+1)=1,所以存在满足条件的定点P.MOAOMOAO10.(2017北京理,18,14分)已知抛物线C:y2=2px(p0)过点P(1,1).过点 作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP,ON交于点A,B,其中O为原点.(1)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(2)求证:A为线段BM的中点.10,2解析本题考查抛物线方程及性质,直线与抛物线的位置关系.(1)由抛物线C:y2=2px(p0)过点P(1,1),得p= .所以抛物线C的方程为y2=x.抛物线C的焦点坐标为 ,准线方程为x=- .(2)证明:由题意,设直线l的方程为y=kx+ (k≠0),l与抛物线C的交点为M(x1,y1),N(x2,y2).由 得4k2x2+(4k-4)x+1=0.则x1+x2= ,x1x2= .因为点P的坐标为(1,1),所以直线OP的方程为y=x,点A的坐标为(x1,x1).直线ON的方程为y= x,点B的坐标为 .因为y1+ -2x1= 121,04141221,2ykxyx21kk214k22yx2112,yxxx212yxx12211222yxyxxxx= = = =0,所以y1+ =2x1.故A为线段BM的中点.122112211222kxxkxxxxx122121(22)()2kxxxxx22211(22)42kkkkx212yxx方法总结在研究直线与圆锥曲线位置关系时,常涉及弦长、中点、面积等问题.一般是先联立方程,再根据根与系数关系,用设而不求,整体代入的技巧进行求解.易错警示在设直线方程时,若要设成y=kx+m的形式,注意先讨论斜率是否存在;若要设成x=ty+n的形式,注意先讨论斜率是不是0.教师专用题组1.(2014上海,3,4分)若抛物线y2=2px的焦点与椭圆 + =1的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为.29x25y答案x=-2解析∵c2=9-5=4,∴c=2.∴椭圆 + =1的右焦点为(2,0),∴ =2,即p=4.∴抛物线的准线方程为x=-2.29x25y2p2.(2014湖南,15,5分)如图,正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a,b(ab),原点O为AD的中点,抛物线y2=2px(p0)经过C,F两点,则 =. ba答案1+ 2解析|OD|= ,|DE|=b,|DC|=a,|EF|=b,故C ,F ,因为抛物线y2=2px(p0)经过C、F两点,从而有 即 ∴b2=a2+2ab,∴ -2· -1=0,又 1,∴ =1+ .2a,2aa,2abb22()2,22,2aapabpb2,2,apbapbp2babababa23.(2014课标全国Ⅱ改编,10,5分)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为.答案 94解析易知直线AB的方程为y=  ,与y2=3x联立并消去x得4y2-12 y-9=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=3 ,y1y2=- .S△OAB= |OF|·|y1-y2|= ×  =  = .3334x339412123421212()4yyyy38279944.(2013江西,14,5分)抛物线x2=2py(p0)的焦点为F,其准线与双曲线 - =1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=.23x23y答案6解析如图,在正三角形ABF中,DF=p,BD= p,∴B点坐标为 .又点B在双曲线上,故 - =1,解得p=6.333,32pp2133p243p三年模拟A组2017—2019年高考模拟·考点基础题组考点一抛物线的定义和标准方程1.(2019如皋检测,2)在平面直角坐标系xOy中,双曲线x2- =1的右焦点为F,则以F为焦点的抛物线的标准方程是.23y答案y2=8x解析双曲线x2- =1的右焦点为F(2,0),则可设抛物线方程为y2=2px(p0),因为焦点为F(2,0),所以 =2,所以所求的抛物线的标准方程是y2=8x.23y2p2.(2019如皋期末,5)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线 -y2=1的左准线与抛物线y2=mx的准线重合,则m的值为.23x答案6解析由 -y2=1,可得a2=3,b2=1,∴c=2,∴双曲线的左准线为x=- ,又抛物线y2=mx的准线为x=- ,∴- =- ,解得m=6.23x324m324m思路分析由题意得出双曲线的左准线为x=- ,抛物线的准线为x=- ,直接计算可得结果.324m3.(2019扬州期中,8)在平面直角坐标系xOy中,若抛物线y2=2px(p0)上横坐标为1的点到焦点的距离为4,则该抛物线的准线方程为.答案x=-3解析抛物线y2=2px(p0)的准线方程为x=- ,由抛物线上的点到焦点的距离与该点到准线的距离相等,得1+ =4,解得p=6,所以准线方程为x=-3.2p2p4.(2019无锡期末,8)以双曲线 - =1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程是.25x24y答案y2=12x解析双曲线中,c= =3,所以右焦点为F(3,0),抛物线的焦点也为(3,0),所以 =3,所以p=6,所以抛物线的标准方程为y2=12x.542p5.(2017扬