（江苏专用）2020版高考数学一轮复习 第十三章 平面解析几何初步 13.2 直线与圆、圆与圆的位置

§13.2直线与圆、圆与圆的位置关系高考数学(江苏省专用)五年高考A组自主命题·江苏卷题组考点直线与圆、圆与圆的位置关系1.(2018江苏,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=2x上在第一象限内的点,B(5,0),以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若 · =0,则点A的横坐标为.ABCD答案3解析解法一:设A(a,2a),a0,则C ,∴圆C的方程为 +(y-a)2= +a2,由 得 或 故D(1,2).∴ · =(5-a,-2a)· = +2a2-4a=0,∴a=3或a=-1,又a0,∴a=3,∴点A的横坐标为3. 5,2aa252ax2(5)4a22225(5)(),242,aaxyaayx,2xaya1,2,xyABCD3,22aa22152aa解法二:由B(5,0),l:y=2x,∠ODB=90°,得OB=5,tan∠BOD=2,sin∠BOD= ,cos∠BOD= ,则OD= ,BD=2 .因为 · =0,所以AD=BD=2 .故OA=3 ,所以点A的横坐标为OAcos∠BOD=3.解法三:由题意易得∠BAD=∠ABD=45°.设直线DB的倾斜角为θ,则tanθ=- ,∴tan∠ABO=-tan(θ-45°)=3,∴kAB=-tan∠ABO=-3.∴AB的方程为y=-3(x-5),由 得xA=3.251555ABCD55123(5),2,yxyx评析本题综合考查了《考试说明》中三个C级要求,涉及三个知识点:直线方程、圆的标准方程及平面向量的数量积.主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系、向量的数量积等基础知识,考查灵活运用数学知识综合解决问题的能力.解后反思解决直线方程和圆的方程的问题,首先要理清相关的知识和基本方法,如点到直线的距离、直线与直线的位置关系、直线与圆的位置关系(相切问题、弦长问题)、圆与圆的位置关系等;其次要在解题中注意数形结合,特别是直线与圆的几何性质的应用,同时体会代数与几何的相互转化的方法等.2.(2017江苏,13,5分)在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若 · ≤20,则点P的横坐标的取值范围是.PAPB答案[-5 ,1]2解析本题考查平面向量数量积及其应用,圆的方程的应用及圆与圆相交.解法一:设P(x,y),则由 · ≤20可得,(-12-x)(-x)+(-y)(6-y)≤20,即(x+6)2+(y-3)2≤65,所以P为圆(x+6)2+(y-3)2=65上或其内部一点.又点P在圆x2+y2=50上,联立得 解得 或 即P为圆x2+y2=50的劣弧MN上的一点(如图), PAPB222250,(6)(3)65,xyxy1,7xy5,5,xy易知-5 ≤x≤1.解法二:设P(x,y),则由 · ≤20,可得(-12-x)(-x)+(-y)(6-y)≤20,即x2+12x+y2-6y≤20,由于点P在圆x2+y2=50上,故12x-6y+30≤0,即2x-y+5≤0,∴点P为圆x2+y2=50上且满足2x-y+5≤0的点,即P为圆x2+y2=50的劣弧MN上的一点(如图), 同解法一,可得N(1,7),M(-5,-5),易知-5 ≤x≤1.2PAPB23.(2019江苏,18,16分)如图,一个湖的边界是圆心为O的圆,湖的一侧有一条直线型公路l,湖上有桥AB(AB是圆O的直径).规划在公路l上选两个点P,Q,并修建两段直线型道路PB,QA,规划要求:线段PB,QA上的所有点到点O的距离均 圆O的半径.已知点A,B到直线l的距离分别为AC和BD(C,D为垂足),测得AB=10,AC=6,BD=12(单位:百米).(1)若道路PB与桥AB垂直,求道路PB的长;(2)在规划要求下,P和Q中能否有一个点选在D处?并说明理由;(3)在规划要求下,若道路PB和QA的长度均为d(单位:百米),求当d最小时,P,Q两点间的距离. 不小于解析本题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识,考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.解法一:(1)过A作AE⊥BD,垂足为E.由已知条件得,四边形ACDE为矩形,DE=BE=AC=6,AE=CD=8.因为PB⊥AB,所以cos∠PBD=sin∠ABE= = .所以PB= = =15.因此道路PB的长为15(百米).81045cosBDPBD1245 (2)不能,理由如下:①若P在D处,由(1)可得E在圆上,则线段BE上的点(除B,E)到点O的距离均小于圆O的半径,所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处,连接AD,由(1)知AD= =10,从而cos∠BAD= = 0,所以∠BAD为锐角.所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.22AEED2222ADABBDADAB725综上,P和Q均不能选在D处.(3)先讨论点P的位置.当∠OBP90°时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求;当∠OBP≥90°时,对线段PB上任意一点F,OF≥OB,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径,点P符合规划要求.设P1为l上一点,且P1B⊥AB,由(1)知,P1B=15,此时P1D=P1Bsin∠P1BD=P1Bcos∠EBA=15× =9;当∠OBP90°时,在△PP1B中,PBP1B=15.由上可知,d≥15.再讨论点Q的位置.由(2)知,要使得QA≥15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,CQ= = =3 .此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上,当PB⊥AB,点Q位于点C右侧,且CQ=3 时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=PD+CD+CQ=17+3 .3522QAAC22156212121因此,d最小时,P,Q两点间的距离为(17+3 )百米.解法二:(1)如图,过O作OH⊥l,垂足为H.以O为坐标原点,直线OH为y轴,建立平面直角坐标系.因为BD=12,AC=6,所以OH=9,直线l的方程为y=9,点A,B的纵坐标分别为3,-3.因为AB为圆O的直径,AB=10,所以圆O的方程为x2+y2=25.从而A(4,3),B(-4,-3),直线AB的斜率为 .因为PB⊥AB,所以直线PB的斜率为- ,直线PB的方程为y=- x- .所以P(-13,9),PB= =15.因此道路PB的长为15(百米).2134434325322(134)(93) (2)①若P在D处,取线段BD上一点E(-4,0),则EO=45,所以P选在D处不满足规划要求.②若Q在D处,连接AD,由(1)知D(-4,9),又A(4,3),所以线段AD:y=- x+6(-4≤x≤4).在线段AD上取点M ,34153,4因为OM=  =5,所以线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此Q选在D处也不满足规划要求.综上,P和Q均不能选在D处.(3)先讨论点P的位置.当∠OBP90°时,线段PB上存在点到点O的距离小于圆O的半径,点P不符合规划要求;当∠OBP≥90°时,对线段PB上任意一点F,OF≥OB,即线段PB上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径,点P符合规划要求.设P1为l上一点,且P1B⊥AB,由(1)知,P1B=15,此时P1(-13,9);当∠OBP90°时,在△PP1B中,PBP1B=15.由上可知,d≥15.再讨论点Q的位置.由(2)知,要使得QA≥15,点Q只有位于点C的右侧,才能符合规划要求.当QA=15时,设Q(a,9),由AQ= =15(a4),得a=4+3 ,221534223422(4)(93)a21所以Q(4+3 ,9).此时,线段QA上所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.综上,当P(-13,9),Q(4+3 ,9)时,d最小,此时P,Q两点间的距离PQ=4+3 -(-13)=17+3 .因此,d最小时,P,Q两点间的距离为(17+3 )百米.2121212121B组统一命题、省(区、市)卷题组考点直线与圆、圆与圆的位置关系1.(2019浙江,12,6分)已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C相切于点A(-2,-1),则m=,r=.答案-2; 5解析本题考查直线与圆的位置关系,两条直线的垂直关系等知识点.通过圆的切线的性质考查学生的直观想象能力,考查学生的数学运算的核心素养.设直线2x-y+3=0为l,则AC⊥l,又kl=2,∴kAC= =- ,解得m=-2,∴C(0,-2),∴r=|AC|= = .102m1222(02)(21)5一题多解由题知点C到直线的距离为 ,r=|AC|= .由直线与圆C相切得 = ,解得m=-2,∴r= = .|3|5m222(1)m222(1)m|3|5m222(21)52.(2019北京文,11,5分)设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l.则以F为圆心,且与l相切的圆的方程为.答案(x-1)2+y2=4解析本题考查了圆的方程和抛物线的方程与性质;考查了直线与圆的位置关系.∵抛物线的方程为y2=4x,∴其焦点坐标为F(1,0),准线l的方程为x=-1.又∵圆与直线l相切,∴圆的半径r=2,故圆的方程为(x-1)2+y2=4.易错警示由抛物线方程求焦点坐标时出错,从而导致错解.3.(2018课标全国Ⅲ理改编,6,5分)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是.答案[2,6]解析本题考查直线与圆的位置关系.由圆(x-2)2+y2=2可得圆心坐标为(2,0),半径r= ,△ABP的面积记为S,点P到直线AB的距离记为d,则有S= |AB|·d.易知|AB|=2 ,dmax= + =3 ,dmin= - = ,所以2≤S≤6.212222|202|112222|202|1122方法总结与圆有关的最值问题的解题方法(1)与圆有关的长度或距离的最值问题,一般利用圆的几何性质数形结合求解.(2)与圆上点(x,y)有关的代数式的最值的常见类型及解法.①形如u= 的最值问题,可转化为过点(a,b)和点(x,y)的直线的斜率的最值问题;②形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线的截距的最值问题;③形如(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.ybxa4.(2016课标全国Ⅲ,16,5分)已知直线l:mx+y+3m- =0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=2 ,则|CD|=.33答案4解析由题意可知直线l过定点(-3, ),该定点在圆x2+y2=12上,不妨设点A(-3, ),由于|AB|=2 ,r=2 ,所以圆心到直线AB的距离为d= =3,又由点到直线的距离公式可得d= ,∴ =3,解得m=- ,所以直线l的斜率k=-m= ,即直线l的倾斜角为30°.如图,过点C作CH⊥BD,垂足为H,所以|CH|=2 ,在Rt△CHD中,∠HCD=30°,所以|CD|= =4. 333322(23)(3)2|33|1mm2|33|1mm3333323cos30思路分析由弦长|AB|=2 及圆的半径可知圆心到直线的距离为3,利用点到直线的距离公式可得 =3,进而求得m值,得到直线l的倾斜角,从而可利用平面几何知识在梯形ABDC中求得|CD|.32|33|1mm5.(2015重庆改编,8,5分)已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作