（江苏专用）2020版高考数学一轮复习 第十三章 平面解析几何初步 13.1 直线与圆的方程课件

第十三章平面解析几何初步§13.1直线与圆的方程高考数学(江苏省专用)五年高考A组自主命题·江苏卷题组1.(2015江苏,10,5分)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为.答案(x-1)2+y2=2解析由mx-y-2m-1=0可得m(x-2)=y+1,由m∈R知该直线过定点(2,-1),从而点(1,0)与直线mx-y-2m-1=0的距离的最大值为 = ,故所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.22(21)(10)22.(2016江苏,18,16分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程;(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程;(3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得 + = ,求实数t的取值范围. TATPTQ解析圆M的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心为M(6,7),半径为5.(1)由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).因为圆N与x轴相切,与圆M外切,所以0y07,于是圆N的半径为y0,从而7-y0=5+y0,解得y0=1.因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.(2)因为直线l∥OA,所以直线l的斜率为 =2.设直线l的方程为y=2x+m,即2x-y+m=0,则圆心M到直线l的距离d= = .因为BC=OA= =2 ,4020|267|5m|5|5m22245而MC2=d2+ ,所以25= +5,解得m=5或m=-15.故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0. (3)解法一: + = ,即 = - = ,即| |=| |,因为| |= ,又0| |≤10,所以0 ≤10,解得t∈[2-2 ,2+2 ].对于任意t∈[2-2 ,2+2 ],欲使 = ,此时0| |≤10,只需要作直线TA的平行线,使圆心到直线的距离为 ,必然与圆交于P,Q两点,此时| |=| |,22BC2(5)5mTATPTQTATQTPPQTAPQTA22(2)4tPQ22(2)4t21212121TAPQTA2||254TATAPQ即 = ,因此对于任意t∈[2-2 ,2+2 ],均满足题意.故t∈[2-2 ,2+2 ].解法二:设P(x1,y1),Q(x2,y2).因为A(2,4),T(t,0), + = ,所以  ①因为点Q在圆M上,所以(x2-6)2+(y2-7)2=25. ②将①代入②,得(x1-t-4)2+(y1-3)2=25.于是点P(x1,y1)既在圆M上,又在圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25上,从而圆(x-6)2+(y-7)2=25与圆[x-(t+4)]2+(y-3)2=25有公共点,所以5-5≤ ≤5+5,解得2-2 ≤t≤2+2 .因此,实数t的取值范围是[2-2 ,2+2 ].TAPQ21212121TATPTQ21212,4.xxtyy22[(4)6](37)t21212121解后反思1.根据已知条件求圆的方程,一般地,可采用两种不同的方法:一是待定系数法,即先根据条件用圆的标准式或一般式设出方程,再根据条件来确定参数的值;二是通过几何图形的性质来确定圆心的位置或坐标及半径,进而求得圆的方程.2.已知直线与圆相交来确定弦长的问题,通常要利用圆心到直线的距离d,圆的半径r以及弦长l之间的关系l=2 来进行求解.22rdB组统一命题、省(区、市)卷题组考点一直线方程1.(2018北京理改编,7,5分)在平面直角坐标系中,记d为点P(cosθ,sinθ)到直线x-my-2=0的距离.当θ,m变化时,d的最大值为.答案3解析解法一:由点到直线的距离公式得d= ,cosθ-msinθ=  ,令sinα= ,cosα= ,∴cosθ-msinθ= sin(α-θ),∴d≤ = =1+ ,∴当m=0时,dmax=3.解法二:∵cos2θ+sin2θ=1,∴P点的轨迹是以原点为圆心的单位圆,又x-my-2=0表示过点(2,0)且斜率不为0的直线,如图,可得点(-1,0)到直线x=2的距离即为d的最大值.2|cossin2|1θmθm21m221cossin11mθθmm211m21mm21m22|12|1mm22121mm221m名师点睛解法一:利用点到直线的距离公式求最值.解法二:首先得出P点的轨迹是单位圆,x-my-2=0表示过点(2,0)且斜率不为0的直线,然后利用数形结合思想轻松得到答案.2.(2016四川改编,10,5分)设直线l1,l2分别是函数f(x)= 图象上点P1,P2处的切线,l1与l2垂直相交于点P,且l1,l2分别与y轴相交于点A,B,则△PAB的面积的取值范围是.ln,01,ln,1xxxx答案(0,1)解析设l1是y=-lnx(0x1)的切线,切点P1(x1,y1),l2是y=lnx(x1)的切线,切点P2(x2,y2),l1:y-y1=- (x-x1),①l2:y-y2= (x-x2),②①-②得xP= ,易知A(0,y1+1),B(0,y2-1),∵l1⊥l2,∴- · =-1,∴x1x2=1,∴S△PAB= |AB|·|xP|= |y1-y2+2|· = · = · 11x21x1212211yyxx11x21x12121212|2|11yyxx122121212(2)yyxxxx1221212(lnln2)xxxx= · = · = ,又∵0x11,x21,x1x2=1,∴x1+x22 =2,∴0S△PAB1.1221212[ln()2]xxxx12124xx122xx12xx3.(2015课标全国Ⅰ,20,12分)在直角坐标系xOy中,曲线C:y= 与直线l:y=kx+a(a0)交于M,N两点.(1)当k=0时,分别求C在点M和N处的切线方程;(2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时,总有∠OPM=∠OPN?说明理由.24x解析(1)由题设可得M(2 ,a),N(-2 ,a)或M(-2 ,a),N(2 ,a).又y'= ,故y= 在x=2 处的导数值为 ,C在点(2 ,a)处的切线方程为y-a= (x-2 ),即 x-y-a=0.y= 在x=-2 处的导数值为- ,C在点(-2 ,a)处的切线方程为y-a=- (x+2 ),即 x+y+a=0.故所求切线方程为 x-y-a=0和 x+y+a=0. (5分)(2)存在符合题意的点,证明如下:设P(0,b)为符合题意的点,M(x1,y1),N(x2,y2),直线PM,PN的斜率分别为k1,k2.将y=kx+a代入C的方程得x2-4kx-4a=0.故x1+x2=4k,x1x2=-4a.从而k1+k2= + = = .当b=-a时,有k1+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,故∠OPM=∠OPN,所以点P(0,-a)符合题意. (12分)aaaa2x24xaaaaaa24xaaaaaaaa11ybx22ybx1212122()()kxxabxxxx()kaba疑难突破要使∠OPM=∠OPN,只需直线PM与直线PN的斜率互为相反数.考点二圆的方程1.(2018天津文,12,5分)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0),(1,1),(2,0)的圆的方程为.答案x2+y2-2x=0解析本题主要考查圆的方程.解法一:易知以(0,0),(1,1),(2,0)为顶点的三角形为等腰直角三角形,其外接圆的圆心为(1,0),半径为1,所以所求圆的方程为(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0.解法二:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,由已知条件可得 解得 所以所求圆的方程为x2+y2-2x=0.2220,110,220,FDEFDF2,0,0,DEF方法总结常见的求圆的方程的方法:(1)利用圆的几何特征,求出圆心坐标和半径长,从而写出圆的标准方程.(2)利用待定系数法.若利用所给条件易求圆心的坐标和半径长,则常用标准方程求解;若所给条件与圆心、半径关系不密切或涉及圆上多点,则常用一般方程求解.2.(2016北京改编,5,5分)圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为.答案 2解析由题意知圆心坐标为(-1,0),将直线y=x+3化成一般形式为x-y+3=0,故圆心到直线的距离d= = .22|103|1(1)2易错警示在应用点到直线的距离公式d= 时,一定要将直线方程化成一般形式,正确写出A,B,C的值,此处符号易出现错误.0022||AxByCAB评析本题考查圆的标准方程及点到直线的距离公式,属中档题.3.(2016课标全国Ⅱ改编,6,5分)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=.答案- 43解析由圆的方程可知圆心为(1,4).由点到直线的距离公式可得 =1,解得a=- .2|141|1aa43易错警示圆心的坐标容易误写为(-1,-4)或(2,8).思路分析将圆的方程化成标准形式,从而得出圆心坐标,进而利用点到直线的距离公式列出关于a的方程,解方程即可求得a的值.评析本题考查了圆的方程、点到直线的距离公式.4.(2016天津,12,5分)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0, )在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为 ,则圆C的方程为.5455答案(x-2)2+y2=9解析设圆C的方程为(x-a)2+y2=r2(a0),由题意可得 解得 所以圆C的方程为(x-2)2+y2=9.222|2|45,55()(5),aar22,9,ar方法总结待定系数法是求解圆方程的常用方法,一般步骤为:①设出圆的方程;②列出关于系数的方程组,并求出各系数的值;③检验各值是否符合题意,并写出满足题意的圆的方程.评析本题主要考查点与圆的位置关系,点到直线的距离公式以及圆的方程的求法,考查方程思想方法的应用,注意圆心的横坐标的取值范围是解决本题的关键.5.(2015课标全国Ⅱ改编,7,5分)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=.答案4 6解析设圆心为P(a,b),由点A(1,3),C(1,-7)在圆上,知b= =-2.再由|PA|=|PB|,得a=1.则P(1,-2),|PA|= =5,于是圆P的方程为(x-1)2+(y+2)2=25.令x=0,得y=-2±2 ,则|MN|=|(-2+2 )-(-2-2 )|=4 .37222(11)(32)6666思路分析根据圆的几何性质及已知条件求得圆心,从而求得半径,写出圆的标准方程,令x=0,求出y,进而可得|MN|的值.名师点睛在解决有关圆的问题时,注意多考虑圆的几何性质的应用,从而简化运算过程.6.(2015课标全国Ⅱ改编,7,5分)已知三点A(1,0),B(0, ),C(2, ),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为.33答案 213解析在平面直角坐标系xOy中画出△ABC,易知△ABC是边长为2的正三角形,其外接圆的圆心为D .因此|OD|= = = .231,3222313732137.(2015课标全国Ⅰ,14,5分)一个圆经过椭圆 + =1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为.216x24y答案 +y2= 232x254解析由已知得该圆经过椭圆的三个顶点A(4,0)、B(0,2)、C(0,-2).易知线段AB的垂直平