（江苏专用）2020版高考数学一轮复习 第二十一章 选修4系列 21.1 矩阵与变换课件

第二十一章选修4系列§21.1矩阵与变换高考数学(江苏省专用)考点矩阵与变换五年高考自主命题·江苏卷题组1.(2019江苏,21A,10分)已知矩阵A= .(1)求A2;(2)求矩阵A的特征值.3122　解析本题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识,考查运算求解能力.(1)因为A= ,所以A2=  = = .(2)矩阵A的特征多项式为f(λ)= =λ2-5λ+4.令f(λ)=0,解得A的特征值λ1=1,λ2=4.3122　3122　3122　3312311223222122　115106　3122λλ　2.(2018江苏,21B,10分)已知矩阵A= .(1)求A的逆矩阵A-1;(2)若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P'(3,1),求点P的坐标.2312　解析本题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识,考查运算求解能力.(1)解法一:因为A= ,det(A)=2×2-1×3=1≠0,所以A可逆.从而A-1= .解法二:设A-1= ,则AA-1=E(E为二阶单位矩阵),∴  = ,得到a=2,b=-3,c=-1,d=2,∴A-1= .(2)设P(x,y),则  = ,所以 =A-1 = .因此,点P的坐标为(3,-1).2312　2312　abcd　2312　abcd　1001　2312　2312　xy31xy31313.(2017江苏,21B,10分)已知矩阵A= ,B= .(1)求AB;(2)若曲线C1: + =1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2,求C2的方程.0110　　1002　　28x22y解析本题主要考查矩阵的乘法、线性变换等基础知识,考查运算求解能力.(1)因为A= ,B= ,所以AB=  = .(2)设Q(x0,y0)为曲线C1上的任意一点,它在矩阵AB对应的变换作用下变为P(x,y),则  = ,即 所以 因为点Q(x0,y0)在曲线C1上,则 + =1,从而 + =1,即x2+y2=8.因此曲线C1在矩阵AB对应的变换作用下得到曲线C2:x2+y2=8.0110　1002　0110　1002　0210　0210　00xyxy002,,yxxy00,.2xyxy208x202y28y28x4.(2016江苏,21B,10分)已知矩阵A= ,矩阵B的逆矩阵B-1= ,求矩阵AB.1202　11202　　　解析解法一:设B= ,则B-1B=  = ,即 = ,故 解得 所以B= .因此,AB=  = .解法二:因为B-1= ,abcd　11202　　　abcd　1001　112222acbdcd　1001　11,210,220,21,acbdcd1,1,40,1,2abcd114102　　1202　114102　　51401　　11202　　所以B=(B-1)-1= = .因此,AB=  = .122220122　　114102　　1202　114102　　51401　　5.(2015江苏,21B,10分)已知x,y∈R,向量α= 是矩阵A= 的属于特征值-2的一个特征向量,求矩阵A以及它的另一个特征值.1110xy　　解析由已知,得Aα=-2α,即  = = ,则 即 所以矩阵A= .从而矩阵A的特征多项式f(λ)=(λ+2)(λ-1),所以矩阵A的另一个特征值为1.10xy　　111xy2212,2,xy1,2,xy1120　　教师专用题组考点矩阵与变换1.(2014江苏,21B,10分)已知矩阵A= ,B= ,向量α= ,x,y为实数,若Aα=Bα,求x+y的值.121x　1121　2y解析由已知,得Aα=  = ,Bα=  = .因为Aα=Bα,所以 = .故 解得 所以x+y= .121x　　2y222yxy1121　　2y24yy222yxy24yy222,24.yyxyy1,24.xy722.(2014福建,21,14分)已知矩阵A的逆矩阵A-1= .(1)求矩阵A;(2)求矩阵A-1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.2112　　解析(1)因为矩阵A是矩阵A-1的逆矩阵,且|A-1|=2×2-1×1=3≠0,所以A=  = .(2)矩阵A-1的特征多项式为f(λ)= =λ2-4λ+3=(λ-1)(λ-3),令f(λ)=0,得矩阵A-1的特征值为λ1=1或λ2=3,所以ξ1= 是矩阵A-1的属于特征值λ1=1的一个特征向量,ξ2= 是矩阵A-1的属于特征值λ2=3的一个特征向量.132112　21331233　2112λλ　11113.(2013福建,21(1),7分)已知直线l:ax+y=1在矩阵A= 对应的变换作用下变为直线l':x+by=1.(1)求实数a,b的值;(2)若点P(x0,y0)在直线l上,且A = ,求点P的坐标.1201　　00xy00xy解析(1)设直线l:ax+y=1上任意点M(x,y)在矩阵A对应的变换作用下的像是M'(x',y').由 =  = ,得 又点M'(x',y')在l'上,所以x'+by'=1,即x+(b+2)y=1,依题意得 解得 (2)由A = ,得 解得y0=0.又点P(x0,y0)在直线l上,所以x0=1.故点P的坐标为(1,0).''xy1201　　xy2xyy'2,'.xxyyy1,21,ab1,1.ab00xy00xy000002,,xxyyy评析本题主要考查矩阵、矩阵与变换等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.4.(2013江苏,21B,10分)已知矩阵A= ,B= ,求矩阵A-1B.1002　　1206　　解析设矩阵A的逆矩阵为 ,则  = ,即 = ,故a=-1,b=0,c=0,d= ,从而A的逆矩阵为A-1= ,所以A-1B=  = .abcd　　1002　　abcd　　1001　　22abcd　　1001　　1210102　　10102　　1206　　1203　　5.(2012江苏,21B,10分)已知矩阵A的逆矩阵A-1= ,求矩阵A的特征值.13441122　　　解析因为A-1A=E,所以A=(A-1)-1.因为A-1= ,所以A=(A-1)-1= ,于是矩阵A的特征多项式为f(λ)= =λ2-3λ-4.令f(λ)=0,解得A的特征值λ1=-1,λ2=4.13441122　　　　2321　　2321λλ　　　　评析本题主要考查矩阵的基础知识,考查运算求解能力.6.(2011江苏,21B,10分)已知矩阵A= ,向量β= .求向量α,使得A2α=β.1121　　12解析A2=  = .设α= .由A2α=β,得  = ,从而 解得x=-1,y=2,所以α= .1121　　1121　　3243　　xy3243　　xy12321,432.xyxy12评析本题考查矩阵运算法则等基础知识,对运算能力有一定的要求,属中等难度题.7.(2011福建,21(1),7分)设矩阵M= (其中a0,b0).(1)若a=2,b=3,求矩阵M的逆矩阵M-1;(2)若曲线C:x2+y2=1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C': +y2=1,求a,b的值.00ab　　24x解析(1)设矩阵M的逆矩阵M-1= ,则MM-1= .又M= ,所以  = ,所以2x1=1,2y1=0,3x2=0,3y2=1,即x1= ,y1=0,x2=0,y2= ,故所求的逆矩阵M-1= .(2)设曲线C上任意一点P(x,y),它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点P'(x',y'),则  = ,即 又点P(x',y')在曲线C'上,所以 +y'2=1,则 +b2y2=1为曲线C的方程.1122xyxy　　1001　　2003　　2003　　1122xyxy　　1001　　1213102103　　00ab　　xy''xy',',axxbyy2'4x224ax又已知曲线C的方程x2+y2=1,故 又a0,b0,所以 224,1.ab2,1.ab三年模拟A组2017—2019年高考模拟·考点基础题组1.(2019无锡期末,21A)设旋转变换矩阵A= ,若 ·A= ,求ad-bc的值.0110　　12ab　　34cd　　解析∵A= ,∴  = ,得  (6分)即a=-4,b=3,c=2,d=-1. (8分)∴ad-bc=(-4)×(-1)-2×3=-2. (10分)0110　　12ab　　0110　　34cd　　3,4,2,1,bacd2.(2019金陵中学检测,21B)若点A(2,1)在矩阵M= 对应变换作用下得到点B(4,5),求矩阵M的逆矩阵.11ab　　解析由题意得M = ,即 = ,所以 解得 所以M= . (5分)解法一:因为detM= =-7,所以M-1= = . (10分)解法二:设M-1= ,由M-1M= ,得 = ,所以 解得c= ,d= ,e= ,f=- ,所以M-1= . (10分)2145221ab4524,215,ab2,3,ab1231　　1231　　12773177　　12773177　　cdef　　1001　　3232cdcdefef　　1001　　31,30,20,21,cdefcdef1727371712773177　　3.(2019苏中、苏北七市第二次调研,21A)已知m,n∈R,向量α= 是矩阵M= 的属于特征值3的