（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第十一章 计数原理、随机变量及其概率分布 11.6 离散型

§11.6离散型随机变量的均值与方差第十一章计数原理、随机变量及其概率分布KAOQINGKAOXIANGFENXI考情考向分析以理解均值与方差的概念为主，考查二项分布的均值与方差.掌握均值与方差的求法是解题关键.高考中常以解答题的形式考查，难度为中档.NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE知识梳理1.均值(1)若离散型随机变量X的概率分布为ZHISHISHULI则称E(X)＝μ＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn为X的_____或_________.(2)离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的_____水平.(3)均值的性质E(c)＝c，E(aX＋b)＝_________(a，b，c为常数).Xx1x2…xnPp1p2…pn均值数学期望平均aE(X)＋b2.方差(1)若离散型随机变量X所有可能的取值是x1，x2，…，xn，且这些值的概率分别是p1，p2，…，pn，则称：V(X)＝(x1－μ)2p1＋(x2－μ)2p2＋…＋(xn－μ)2pn为X的_____.(2)σ＝_____，叫标准差.(3)方差的性质a，b为常数，则V(aX＋b)＝______.若X～B(n，p)，则E(X)＝np，V(X)＝________.V(X)方差a2V(X)np(1－p)【概念方法微思考】随机变量的均值和方差有什么关系？提示均值(数学期望)反映了随机变量取值的平均水平，而方差则表现了随机变量所取的值对于它的均值(数学期望)的集中与离散的程度，因此二者的关系是十分密切的.基础自测JICHUZICE题组一思考辨析1234561.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定.()(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小.()(3)若随机变量X的取值中的某个值对应的概率增大时，均值也增大.()(4)均值是算术平均数概念的推广，和概率无关.()√√××7题组二教材改编2.[P74习题T6]在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X的均值是____.1234560.7解析E(X)＝1×0.7＋0×0.3＝0.7.7123456P(X＝x)＝Cx3C2－x7C210(x＝0,1,2)，3.[P69例2]有10件产品，其中3件是次品，从这10件产品中任取2件，用X表示取到次品的件数，则E(X)＝___.35解析X服从超几何分布，∴P(X＝0)＝C27C210＝2145＝715，P(X＝1)＝C17C13C210＝2145＝715，P(X＝2)＝C23C210＝345＝115.∴E(X)＝0×715＋1×715＋2×115＝915＝35.7∴V(X)＝－1－132×16＋132×13＋232×12＝59.4.[P74习题T1]随机变量X的概率分布为123456其中a，b，c成等差数列.若E(X)＝13，则方差V(X)的值是___.X－101Pabc59解析∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，E(X)＝－1×a＋1×c＝c－a＝13，得a＝16，b＝13，c＝12，7123456题组三易错自纠5.下列说法中正确的是____.(填序号)①离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的概率的平均值；②离散型随机变量X的方差V(X)反映了X取值相对于均值的离散程度；③离散型随机变量X的均值E(X)反映了X取值的大小规律；④离散型随机变量X的方差V(X)反映了X取值的概率的平均值.②解析根据均值与方差的概念知②正确.76.设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4.若yi＝xi＋a(a为非零常数，i＝1,2，…，10)，则y1，y2，…，y10的均值和标准差分别为_____，____.1234561＋a2解析将每个数据都加上a后均值也增加a，方差与标准差都不变.71234567.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则V(X)＝_____.1.96解析由题意得X～B(100,0.02)，∴V(X)＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.72题型分类深度剖析PARTTWO题型一离散型随机变量的均值、方差多维探究命题点1求离散型随机变量的均值、方差例1(2018·无锡模拟)某小区停车场的收费标准为：每车每次停车的时间不超过2小时免费，超过2小时的部分每小时收费1元(不足1小时的部分按1小时计算).现有甲、乙两人独立来该停车场停车(各停车一次)，且两人停车时间均不超过5小时.(1)求甲、乙两人所付停车费相同的概率；停车时间取车概率停车人员(0,2](2,3](3,4](4,5]甲12xxx乙1613y0设甲、乙两人停车时间(小时)与取车概率如下表所示.(2)设甲、乙两人所付停车费之和为随机变量ξ，求ξ的概率分布与均值E(ξ).命题点2已知离散型随机变量的均值与方差，求参数值例2设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分.(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的概率分布；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数.若E(η)＝53，V(η)＝59，求a∶b∶c.思维升华离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略(1)求离散型随机变量的均值与方差.可依题设条件求出离散型随机变量的概率分布，然后利用均值、方差公式直接求解.(2)由已知均值或方差求参数值.可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程(组)，解方程(组)即可求出参数值.(3)由已知条件，作出对两种方案的判断.可依据均值、方差的意义，对实际问题作出判断.跟踪训练1为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为；两人滑雪时间都不会超过3小时.(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；14，1612，23(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的概率分布与均值E(ξ)，方差V(ξ).题型二均值与方差在决策中的应用师生共研例3计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站.过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和.单位：亿立方米)都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的入流量相互独立.(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：年入流量X40X8080≤X≤120X120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台发电机年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损800万元.欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？思维升华随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.跟踪训练2某投资公司在2018年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为；项目二：通信设备.据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由.79和2935，13和115例(10分)为回馈顾客，某商场拟通过模拟兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的概率分布及均值；(2)商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.答题模板DATIMUBAN离散型随机变量的均值与方差问题3课时作业PARTTHREE1.在数学趣味知识培训活动中，甲学生的6次培训成绩分别为102,105,112,113,117,123，从中随机抽2个，记被抽到的分数超过115的个数为X，则随机变量X的标准差为_____.基础保分练123456789101112131415164515123456789101112131415162.设随机变量ξ的概率分布如下表所示，且E(ξ)＝1.6，则a－b＝______.ξ0123P0.1ab0.1－0.2解析由0.1＋a＋b＋0.1＝1，得a＋b＝0.8.又由E(ξ)＝0×0.1＋1×a＋2×b＋3×0.1＝1.6，得a＋2b＝1.3，解得a＝0.3，b＝0.5，∴a－b＝－0.2.12345678910111213141516每个岗位至少1名，共有C25A44＝240(种)分法，3.甲、乙等5名志愿者被随机地分到A，B，C，D4个不同的岗位服务，每个岗位至少有1名志愿者.设随机变量X为这5名志愿者中参加A岗位服务的人数，则X的均值为___.54解析根据题意，5名志愿者被随机分配到A，B，C，D4个不同的岗位，分析知X＝1,2，且P(X＝1)＝C15C24A33240＝180240＝34，P(X＝2)＝C25A33240＝60240＝14，故E(X)＝1×34＋2×14＝54.12345678910111213141516解析由题意知np＝6，np1－p＝3，解得p＝12，n＝12.4.若X～B(n，p)，且E(X)＝6，V(X)＝3，则P(X＝1)的值为_______.3×2－10∴P(X＝1)＝C112×12×1－1211＝12212＝3×2－10.12345678910111213141516而P(X＝0)＝C26C210＝1545；P(X＝1)＝C16C14C210＝2445；5.一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的.从袋子中摸出2个球，其中白球的个数为X，则X的均值是___.45解析根据题意知X＝0,1,2，P(X＝2)＝C24C210＝645.故E(X)＝0×1545＋1×2445＋2×645＝3645＝45.123456789101112131415166.某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学.若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X(单位：分)的均值为____.0.9解析由题意得X＝0,1,2，则P(X＝0)＝0.6×0.5＝0.3，P(X＝1)＝0.4×0.5＋0.6×0.5＝0.5，P(X＝2)＝0.4×0