（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第十二章 系列4选讲 12.1 矩阵与变换课件

§12.1矩阵与变换第十二章系列4选讲KAOQINGKAOXIANGFENXI考情考向分析矩阵命题出自三个方向：一是变换的复合与矩阵的乘法，通过研究曲线上任意一点的变换可以得出曲线的变换.二是逆变换与逆矩阵，主要由点或曲线的变换用待定系数法求矩阵或逆矩阵.三是特征值与特征向量.属于低档题.NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE知识梳理1.乘法规则ZHISHISHULI(1)行矩阵[a11a12]与列矩阵b11b21的乘法规则：[a11a12]b11b21＝________________.[a11×b11＋a12×b21](2)二阶矩阵a11a12a21a22与列向量x0y0的乘法规则：a11×x0＋a12×y0a21×x0＋a22×y0a11a12a21a22x0y0＝__________________.(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：a11a12a21a22b11b12b21b22＝a11×b11＋a12×b21a11×b12＋a12×b22a21×b11＋a22×b21a21×b12＋a22×b22.(4)两个二阶矩阵的乘法满足_____律，但不满足_____律和_____律.即(AB)C＝A(BC)，AB≠BA，由AB＝AC不一定能推出B＝C.一般地，两个矩阵只有当前一个矩阵的_____与后一个矩阵的_____相等时才能进行乘法运算.结合交换消去列数行数2.常见的平面变换(1)恒等变换：如1001；(2)伸压变换：如10012；(3)反射变换：如100－1；(4)旋转变换：如cosθ－sinθsinθcosθ，其中θ为旋转角度；(5)投影变换：如1000，1010；(6)切变变换：如1k01(k∈R，且k≠0).3.逆变换与逆矩阵(1)对于二阶矩阵A，B，若有AB＝BA＝E，则称A是_______，B称为A的_______；(2)若二阶矩阵A，B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且(AB)－1＝B－1A－1.4.特征值与特征向量设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A的一个_______，而α称为A的属于特征值λ的一个_________.可逆的逆矩阵特征值特征向量5.特征多项式设A＝abcd是一个二阶矩阵，λ∈R，我们把行列式f(λ)＝λ－a－b－cλ－d＝___________________，称为A的特征多项式.λ2－(a＋d)λ＋ad－bc基础自测JICHUZICE题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)已知A，B，C为二阶矩阵，且AB＝AC，若矩阵A存在逆矩阵，则B＝C.()123456(2)1－12110211021＝－3－161.()(3)若二阶矩阵A，B均存在逆矩阵，则(AB)－1＝B－1A－1.()√√×(4)矩阵A＝3652的特征值为8和－3.()√7题组二教材改编1234562.[P52例3]已知矩阵A＝2345，则A的逆矩阵A－1＝____________.解析因为det(A)＝2×5－3×4＝－2，－52322－1所以A－1＝－523242－22＝－52322－1.71234563.[P11习题T7]已知矩阵M＝2a21，其中a∈R.若点P(1，－2)在矩阵M的变换下得到点P′(－4,0)，实数a的值为____.解得a＝3.3解析由2a211－2＝－40，得2－2a＝－4，7＝0000.1234564.[P39例1(1)]已知A＝12121212，B＝12－12－1212，求AB.解AB＝1212121212－12－1212＝12×12＋12×－1212×－12＋12×1212×12＋12×－1212×－12＋12×1271234565.A＝－1001，B＝0－110，则AB的逆矩阵为_______.题组三易错自纠0110解析∵A－1＝－1001，B－1＝01－10，∴(AB)－1＝B－1A－1＝01－10－1001＝0110.76.设椭圆的方程为x2＋y2a＝1，若它在矩阵M＝10012对应的伸压变换下变为一个圆，则实数a＝____.解析设P(x，y)为椭圆上任意一点，变换后为P′(x′，y′)，1234564则x′y′＝10012xy＝x12y，所以x＝x′，y＝2y′，代入椭圆的方程，得x′2＋4y′2a＝1.因为它表示圆，所以a＝4.712345677.已知矩阵A＝－1002，B＝1206，求矩阵A－1B.2题型分类深度剖析PARTTWO题型一矩阵与变换自主演练1.已知a，b是实数，如果矩阵M＝2ab1所对应的变换将直线x－y＝1变换成x＋2y＝1，求a，b的值.解设M＝abcd，则有abcd1－1＝－1－1，abcd－21＝0－2，2.二阶矩阵M对应的变换将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2).(1)求矩阵M；所以a－b＝－1，c－d＝－1，且－2a＋b＝0，－2c＋d＝－2，解得a＝1，b＝2，c＝3，d＝4，所以M＝1234.因为x′y′＝1234xy＝x＋2y3x＋4y，(2)设直线l在矩阵M变换作用下得到了直线m：x－y＝4，求直线l的方程.解设直线l上任意一点P(x，y)，在矩阵M的变换作用下得到点P′(x′，y′).且m：x′－y′＝4，所以(x＋2y)－(3x＋4y)＝4，整理得x＋y＋2＝0，所以直线l的方程为x＋y＋2＝0.思维升华已知变换前后的坐标，求变换对应的矩阵时，通常用待定系数法求解.题型二求逆矩阵师生共研例1已知矩阵det(A)＝2143，B＝110－1.(1)求A的逆矩阵A－1；解因为|A|＝2×3－1×4＝2，所以A－1＝32－12－4222＝32－12－21.C＝A－1B＝32－12－21110－1(2)求矩阵C，使得AC＝B.解由AC＝B得(A－1A)C＝A－1B，故＝322－2－3.思维升华求逆矩阵的方法(1)待定系数法设A是一个二阶可逆矩阵abcd，AB＝BA＝E；(2)公式法|A|＝abcd＝ad－bc≠0，有A－1＝d|A|－b|A|－c|A|a|A|.跟踪训练1已知矩阵A＝102－2，矩阵B的逆矩阵B－1＝1－1202，求矩阵AB.解B＝(B－1)－1＝221220212＝114012.∴AB＝120－2114012＝1540－1.题型三特征值与特征向量师生共研例2已知矩阵A的逆矩阵A－1＝2112.(1)求矩阵A；解因为矩阵A是矩阵A－1的逆矩阵，且|A－1|＝2×2－1×1＝3≠0，所以A＝132－1－12＝23－13－1323.解矩阵A－1的特征多项式为f(λ)＝λ－2－1－1λ－2＝λ2－4λ＋3＝(λ－1)(λ－3)，(2)求矩阵A－1的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.令f(λ)＝0，得矩阵A－1的特征值为λ1＝1或λ2＝3，所以ξ1＝1－1是矩阵A－1的属于特征值λ1＝1的一个特征向量，ξ2＝11是矩阵A－1的属于特征值λ2＝3的一个特征向量.思维升华已知A＝abcd，求特征值和特征向量的步骤(1)令f(λ)＝λ－a－b－cλ－d＝(λ－a)(λ－d)－bc＝0，求出特征值λ；(2)列方程组λ－ax－by＝0，－cx＋λ－dy＝0；(3)赋值法求特征向量，一般取x＝1或者y＝1，写出相应特征的向量.跟踪训练2(2018·无锡期末)已知变换T将平面内的点1，12，(0,1)分别变换成点94，－2，－32，4.设变换T对应的矩阵为M.(1)求矩阵M；解设M＝abcd，则abcd112＝94－2，abcd01＝－324，得a＝3，b＝－，c＝－4，d＝4，∴M＝3－32－44.∴f(λ)＝λ－3324λ－4＝(λ－3)(λ－4)－6(2)求矩阵M的特征值.解设矩阵M的特征多项式为f(λ)，＝λ2－7λ＋6.令f(λ)＝0，则λ1＝1，λ2＝6.3课时作业PARTTHREE1.已知A＝1562，求A的特征值.＝(λ－1)(λ－2)－30＝λ2－3λ－28＝(λ－7)(λ＋4)，∴A的特征值为λ1＝7，λ2＝－4.故A的特征值为7和－4.基础保分练123456789101112解A的特征多项式f(λ)＝λ－1－5－6λ－21234567891011122.(2018·南通、泰州模拟)设矩阵A满足：A1206＝－1－203，求矩阵A的逆矩阵A－1.1234567891011123.(2019·徐州模拟)已知矩阵A＝2101，向量b＝102.求向量a，使得A2a＝b.解A2＝21012101＝4301，设a＝xy，由A2a＝b，得4301xy＝102，即4x＋3y＝10，y＝2，解得x＝1，y＝2，所以a＝12.1234567891011124.(2018·宿迁期中)已知变换T把直角坐标平面上的点A(3，－4)，B(0,5)分别变换成点A′(2，－1)，B′(－1,2)，求变换T对应的二阶矩阵M.1234567891011125.曲线C1：x2＋2y2＝1在矩阵M＝1201的作用下变换为曲线C2，求C2的方程.解设P(x，y)为曲线C2上任意一点，P′(x′，y′)为曲线x2＋2y2＝1上与P对应的点，则1201x′y′＝xy，即x＝x′＋2y′，y＝y′，即x′＝x－2y，y′＝y.因为P′是曲线C1上的点，所以C2