（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用（第2课时）导数与

第2课时导数与函数的极值、最值第三章§3.2导数的应用NEIRONGSUOYIN内容索引题型分类深度剖析课时作业1题型分类深度剖析PARTONE题型一用导数求解函数极值问题多维探究命题点1根据函数图象判断极值例1设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是________.(填序号)①函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)；②函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)；③函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)；④函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2).④命题点2求已知函数的极值例2设函数f(x)＝ln(x＋1)＋a(x2－x)，其中a∈R.讨论函数f(x)极值点的个数，并说明理由.例3已知函数f(x)＝exx2－k2x＋lnx，若x＝2是函数f(x)的唯一一个极值点，则实数k的取值范围为_________.命题点3根据极值(点)求参数(－∞，e]思维升华函数极值的两类热点问题(1)求函数f(x)极值的一般解题步骤①确定函数的定义域；②求导数f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号.(2)根据函数极值情况求参数的两个要领①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.②验证：求解后验证根的合理性.跟踪训练1已知函数f(x)＝ax－1－lnx(a∈R).(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数；(2)若函数f(x)在x＝1处取得极值，∀x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－2恒成立，求实数b的取值范围.解∵函数f(x)在x＝1处取得极值，∴a＝1，∴f(x)≥bx－2，即1＋1x－lnxx≥b，令g(x)＝1＋1x－lnxx，则g′(x)＝lnx－2x2，令g′(x)＝0，得x＝e2，则g(x)在(0，e2)上单调递减，在(e2，＋∞)上单调递增，∴g(x)min＝g(e2)＝1－1e2，即b≤1－1e2，即实数b的取值范围为－∞，1－1e2.题型二用导数求函数的最值师生共研例4已知函数f(x)＝1－xx＋klnx，k1e，求函数f(x)在1e，e上的最大值和最小值.若例题条件中的k1e改为“k≥1e”，则函数f(x)在1e，e上的最小值是多少？引申探究思维升华(1)若函数在区间[a，b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值；(2)若函数在闭区间[a，b]内有极值，要先求出[a，b]上的极值，与f(a)，f(b)比较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表完成；(3)函数f(x)在区间(a，b)上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大(或最小)值点，此结论在导数的实际应用中经常用到.跟踪训练2已知常数a≠0，f(x)＝alnx＋2x.当f(x)的最小值不小于－a时，求实数a的取值范围.题型三函数极值、最值的综合问题师生共研例5已知函数f(x)＝ax2＋bx＋cex(a0)的导函数y＝f′(x)的两个零点为－3和0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的极小值为－e3，求f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值.思维升华(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小.(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.跟踪训练3(2018·南通模拟)已知函数f(x)＝(x－k－1)ex(k∈R).(1)当x0时，求f(x)的单调区间和极值；解因为f′(x)＝(x－k)ex，x0.①当k≤0时，f′(x)0恒成立，所以f(x)的单调增区间是(0，＋∞)，无单调减区间，无极值.②当k0时，由f′(x)0，得xk；由f′(x)0，得0xk，所以f(x)的单调减区间是(0，k)，单调增区间是(k，＋∞)，f(x)的极小值为f(k)＝－ek，无极大值.(2)若对于任意x∈[1,2]，都有f(x)4x成立，求k的取值范围.因为ex0，所以x－k－14xex，解由f(x)4x，可得(x－k－1)ex－4x0，即kx－1－4xex对任意x∈[1,2]恒成立.记g(x)＝x－1－4xex，x∈[1,2]，则g′(x)＝1－41－xex＝ex＋4x－1ex，因为x∈[1,2]，所以g′(x)0，即g(x)在[1,2]上单调递增，所以g(x)max＝g(2)＝1－8e2＝e2－8e2.所以实数k的取值范围为e2－8e2，＋∞.答题模板DATIMUBAN利用导数求函数的最值例(16分)已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a0时，求函数f(x)在[1,2]上的最小值.2课时作业PARTTWO1.函数f(x)＝13x3－4x＋4的极大值为________.基础保分练12345678910111213141516283解析f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)，f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以f(x)的极大值为f(－2)＝283.123456789101112131415162.已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝________.2解析由题意得f′(x)＝3x2－12，由f′(x)＝0得x＝±2，当x∈(－∞，－2)时，f′(x)0，函数f(x)单调递增，当x∈(－2,2)时，f′(x)0，函数f(x)单调递减，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)0，函数f(x)单调递增，所以a＝2.123456789101112131415163.函数y＝xex的最小值是________.－1e解析因为y＝xex，所以y′＝ex＋xex＝(1＋x)ex.当x－1时，y′0；当x－1时，y′0，所以当x＝－1时，函数取得最小值，且ymin＝－1e.123456789101112131415164.函数f(x)＝12x2－lnx的最小值为________.12解析f′(x)＝x－1x＝x2－1x且x0.令f′(x)0，得x1.令f′(x)0，得0x1.∴f(x)在x＝1处取得极小值也是最小值，且f(1)＝12－ln1＝12.123456789101112131415165.若函数f(x)＝x3－2cx2＋x有极值点，则实数c的取值范围为_______________________.－∞，－32∪32，＋∞解析若函数f(x)＝x3－2cx2＋x有极值点，则f′(x)＝3x2－4cx＋1＝0有两个不等实根，故Δ＝(－4c)2－120，解得c32或c－32.所以实数c的取值范围为－∞，－32∪32，＋∞.123456789101112131415166.若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式为y＝－x3＋27x＋123(x0)，则获得最大利润时的年产量为___百万件.3解析y′＝－3x2＋27＝－3(x＋3)(x－3)，当0x3时，y′0；当x3时，y′0.故当x＝3时，该商品的年利润最大.解得a22.∴a的取值范围是22，＋∞.解析f′(x)＝3x2－3a2＝3(x＋a)(x－a)，由f′(x)＝0得x＝±a，当－axa时，f′(x)0，函数f(x)单调递减；当xa或x－a时，f′(x)0，函数f(x)单调递增，∴f(x)的极大值为f(－a)，极小值为f(a).∴f(－a)＝－a3＋3a3＋a0且f(a)＝a3－3a3＋a0，123456789101112131415167.函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a0)的极大值是正数，极小值是负数，则a的取值范围是____________.22，＋∞∴f(x)max＝f1a＝－lna－1＝－1，解得a＝1.123456789101112131415168.已知y＝f(x)是奇函数，当x∈(0,2)时，f(x)＝lnx－axa12，当x∈(－2,0)时，f(x)的最小值为1，则a＝________.1解析由题意知，当x∈(0,2)时，f(x)的最大值为－1.令f′(x)＝1x－a＝0，得x＝1a，当0x1a时，f′(x)0；当x1a时，f′(x)0.123456789101112131415169.(2018·苏北四市检测)设直线y＝a与曲线y2＝x和y＝ex分别交于点M，N，则当线段MN的长度取得最小值时，a的值为________.221234567891011121314151610.(2018·江苏)若函数f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[－1,1]上的最大值与最小值的和为________.－31234567891011121314151611.设函数f(x)＝alnx－bx2(x0)，若函数f(x)在x＝1处与直线y＝－12相切.(1)求实数a，b的值；解f′(x)＝ax－2bx，∵函数f(x)在x＝1处与直线y＝－12相切，∴f′1＝a－2b＝0，f1＝－b＝－12，解得a＝1，b＝12.∴f(x)max＝f(1)＝－12.12345678910111213141516(2)求函数f(x)在1e，e上的最大值.解由(1)知，f(x)＝lnx－12x2，f′(x)＝1x－x＝1－x2x，当1e≤x≤e时，令f′(x)0，得1e≤x1，令f′(x)0，得1x≤e，∴f(x)在1e，1上单调递增，在(1，e]上单调递减，1234567891011121314151612.已知函数f(x)＝－x3＋x2，x1，alnx，x≥1.(1)求f(x)在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点；12345678910111213141516(2)求f(x)在[－1，e](e为自然对数的底数)上的最大值.技能提升练1234567891011121314151613.函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3,2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是________.20解析因为f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，令f′(x)＝0，得x＝±1，可知－1,1为函数的极值点.又f(－3)＝－19，f(－1)＝1，f(1)＝－3，f(2)＝1，所以在区间[－3,2]上，f(x)max＝1，f(x)min＝－19.由题设知在区间[－3,2]上，f(x)max－f(x)min≤t，从而t≥20，所以t的最小值是20.1234567891011121314151614.(2018·江苏省泰兴中学检测)已知a，b∈R，直线y＝ax＋b＋π2与函数f(x)＝tanx的图象在x＝－π4处相切，设g(x)＝ex＋bx2＋a，若在区间[1,2]上，不等式m≤g(x)≤m2－2恒成立，则实数m的取值范围为______________________.(－∞，－e]∪[e，e＋1]拓展冲刺练1234567891011121314151615.已知函数f(x)＝xlnx＋mex(e为自然对数的底数)有两个极值点，则实数m的取值范围是__________.－1e，0解因为f′(x)＝a－1x＝ax－1x，16.已知函数f(x)＝ax－lnx，x∈(0，e]的最小值是2，求正实数a的值.12345678910111213141516所以当01ae时，f(x)在0，1a上单调递减，在1a，e上单调递增，所以f(x)