（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第二章 函数 微专题一 分段函数探究课件

微专题一分段函数探究第二章函数例1函数f(x)＝x2－4a＋1x－8a＋4，x1，logax，x≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，求a的取值范围．一、分段函数的性质例2已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(－∞，0)时，f(x)＝－xlg(2－x)，求函数f(x)的解析式．解因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)＝0.当x0时，－x0，由已知得f(－x)＝xlg(2＋x)，所以－f(x)＝xlg(2＋x)，即f(x)＝－xlg(2＋x)(x0)．所以f(x)＝－xlg2－x，x0，－xlg2＋x，x≥0.即f(x)＝－xlg(2＋|x|)(x∈R)．观察图象知函数的单调增区间为0，32.解析y＝－(x－3)|x|＝－x2＋3x，x0，x2－3x，x≤0.跟踪训练1(1)函数y＝－(x－3)|x|的单调增区间是________．0，32作出该函数的图象如图所示，(2)已知函数f(x)＝ex－k，x≤0，1－kx＋k，x0是R上的增函数，则实数k的取值范围是________．12，1解析由题意得e0－k≤k，1－k0，解得12≤k1.所以g(x)＝x，x0，0，x＝0，－x，x0为偶函数．(3)判断g(x)＝x，x0，0，x＝0，－x，x0的奇偶性．解当x0时，－x0，g(－x)＝－－x＝x＝g(x)，当x0时，－x0，g(－x)＝－x＝g(x)，又g(－0)＝g(0)，(4)已知函数f(x)＝x2＋4x，x≥0，－x2＋4x，x0，若f(2－a2)f(a)，求实数a的取值范围．解当x≥0时，函数f(x)＝x2＋4x在[0，＋∞)上是增函数，当x0时，函数f(x)＝－x2＋4x在(－∞，0)上是增函数，易知连续函数y＝f(x)是定义在R上的增函数，因为f(2－a2)f(a)，所以2－a2a，所以－2a1，所以实数a的取值范围是(－2,1)．例3已知函数f(x)＝3x＋12，x∈[－1，t]，－2x－12，x∈1，a].若存在实数t使f(x)的值域是[－1,1]，求实数a的取值范围．二、分段函数的值域(最值)例4若函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为________．－4或8跟踪训练2(1)已知函数f(x)＝x2－2，x－1，2x－1，x≥－1，则函数f(x)的值域为____________．(－1，＋∞)解析根据分段函数f(x)＝x2－2，x－1，2x－1，x≥－1的图象(图略)可知，该函数的值域为(－1，＋∞)．(2)函数f(x)＝1x，x≥1，－x2＋2，x1的最大值为________．2解析当x≥1时，函数f(x)＝1x为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.(3)已知a∈R，函数f(x)＝x＋4x－a＋a在区间[1,4]上的最大值是5，则a的取值范围是_________.－∞，92(4)函数f(x)＝1－2ax＋3a，x1，lnx，x≥1的值域为R，求实数a的取值范围．解因为当x≥1时，lnx≥0，又因为函数f(x)＝1－2ax＋3a，x1，lnx，x≥1的值域为R，所以当x1时，f(x)＝(1－2a)x＋3a必须取到所有的负数，所以1－2a0，1－2a＋3a≥0，解得－1≤a12，所以实数a的取值范围是－1，12.例5(1)已知f(x)＝2－x，x≤1，log81x，x1，则g(x)＝f(x)－12的零点个数为________．三、分段函数的零点2解析令g(x)＝0，得f(x)＝12.当x≤1时，2－x＝12，即x＝1；当x1时，log81x＝12，即x＝81＝9.故所求零点为1和9，g(x)的零点个数为2.由图象知实数k的取值范围是－13，1∪(1，＋∞).(2)函数f(x)＝x2－x，x0，12－12＋x，x≤0.若关于x的方程f(x)＝kx－k至少有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是___________________.－13，1∪(1，＋∞)临界点－12，12和(1,0)连线的斜率为－13，解析如图，作出函数图象，y＝kx－k过定点(1,0)，又f′(1)＝1，跟踪训练3已知函数f(x)＝x，x≥a，x3－3x，xa.若函数g(x)＝2f(x)－ax恰有2个不同零点，求实数a的取值范围.解当a＝－1时，f(x)＝2x2－1，x≥－1，1，x－1.四、分段函数的综合问题例6已知函数f(x)＝x2＋(x－1)|x－a|.(1)若a＝－1，解方程f(x)＝1；当x≥－1时，令2x2－1＝1，解得x＝1或x＝－1；当x－1时，f(x)＝1恒成立.∴方程的解集为{x|x≤－1或x＝1}.解f(x)＝2x2－a＋1x＋a，x≥a，a＋1x－a，xa.(2)若函数f(x)在R上单调递增，求实数a的取值范围；若f(x)在R上单调递增，则有a＋14≤a，a＋10，a＋1a－a≤2a2－aa＋1＋a，解得a≥13.(3)若a1，且不等式f(x)≥2x－3对一切实数x∈R恒成立，求实数a的取值范围.当a0时，f(x)在(－∞，a)和a3，＋∞上递增，在a，a3上递减.解由f(x)＝－x－a2＋a2，x≤a，3x－a32－a23，xa，跟踪训练4已知函数f(x)＝x2＋2x|x－a|，其中a∈R.(1)求函数f(x)的单调区间；故当a≥0时，f(x)在(－∞，a)和(a，＋∞)上递增，又∵f(a)＝a2，∴f(x)在R上递增，(2)若不等式4≤f(x)≤16在x∈[1,2]上恒成立，求实数a的取值范围.