（江苏专用）2020版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何 8.3 直线、平面垂直的判定与性质课件

§8.3直线、平面垂直的判定与性质第八章立体几何KAOQINGKAOXIANGFENXI考情考向分析直线、平面垂直的判定及其性质是高考中的重点考查内容，涉及线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定及其应用等内容.题型主要以解答题的形式出现，解题要求有较强的推理论证能力，广泛应用转化与化归的思想.NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE知识梳理1.直线与平面垂直ZHISHISHULI(1)定义如果直线a与平面α内的直线都垂直，则直线a与平面α互相垂直，记作a⊥α，直线a叫做平面α的垂线，平面α叫做直线a的垂面.垂线和平面的交点即为垂足.任意一条(2)判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的两条直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面⇒l⊥α性质定理如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线_____⇒a∥b________________________________相交a，b⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b平行a⊥αb⊥α2.直线和平面所成的角(1)定义平面的一条斜线和所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.若一条直线垂直于平面，它们所成的角是，若一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是的角.(2)范围：0，π2.它在平面上的射影直角0°3.平面与平面垂直(1)二面角的有关概念①二面角：一条直线和由这条直线出发的所组成的图形叫做二面角；②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作的射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.(2)平面和平面垂直的定义如果两个平面所成的二面角是，那么就说这两个平面互相垂直.两个半平面垂直于棱直二面角(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条，那么这两个平面互相垂直⇒α⊥β性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们的直线垂直于另一个平面⇒l⊥α垂线交线l⊥αl⊂βα⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a1.若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面吗？提示垂直.若两平行线中的一条垂直于一个平面，那么在平面内可以找到两条相交直线与该直线垂直，根据异面直线所成的角，可以得出两平行直线中的另一条也与平面内的那两条直线成90°的角，即垂直于平面内的这两条相交直线，所以垂直于这个平面.2.两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面吗？提示垂直.在两个相交平面内分别作与第三个平面交线垂直的直线，则这两条直线都垂直于第三个平面，那么这两条直线互相平行.由线面平行的性质定理可知，这两个相交平面的交线与这两条垂线平行，所以该交线垂直于第三个平面.【概念方法微思考】1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.()(2)直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.()(3)若α⊥β，a⊥β，则a∥α.()(4)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直.()(5)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.()基础自测JICHUZICE题组一思考辨析×√×√123456×题组二教材改编1234562.[P43练习T2]下列命题中正确的是________.(填序号)①如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β；②如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β；③如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ；④如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β.解析对于④，若平面α⊥平面β，则平面α内的直线可能不垂直于平面β，即与平面β的关系还可以是斜交、平行或在平面β内，其他命题均是正确的.①②③3.[P45T11]在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O.(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的____心；外123456解析如图1，连结OA，OB，OC，OP，在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心.(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的____心.垂123456解析如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于点H，D，G.∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB，∴PC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，∴PC⊥AB，∵AB⊥PO，PO∩PC＝P，PO，PC⊂平面PGC，∴AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高.同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心.题组三易错自纠1234564.若l，m为两条不同的直线，α为平面，且l⊥α，则“m∥α”是“m⊥l”的____________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)充分不必要解析由l⊥α且m∥α能推出m⊥l，充分性成立；若l⊥α且m⊥l，则m∥α或者m⊂α，必要性不成立，因此“m∥α”是“m⊥l”的充分不必要条件.垂直1234565.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，点O，M，N分别是线段BD，DD1，D1C1的中点，则直线OM与AC，MN的位置关系是______.解析因为DD1⊥平面ABCD，所以AC⊥DD1，又因为AC⊥BD，DD1∩BD＝D，所以AC⊥平面BDD1B1，因为OM⊂平面BDD1B1，所以OM⊥AC.设正方体的棱长为2，则OM＝1＋2＝3，MN＝1＋1＝2，ON＝1＋4＝5，所以OM2＋MN2＝ON2，所以OM⊥MN.6.如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆O上不同于A，B的任一点，则图中直角三角形的个数为____.1234564解析因为AB是圆O的直径，所以AC⊥BC，△ACB是直角三角形；由PA⊥平面ABC可得，PA⊥AB，PA⊥AC，所以△PAB与△PAC是直角三角形；因为PA⊥平面ABC，且BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC.又BC⊥AC，PA∩AC＝A，所以BC⊥平面PAC.而PC⊂平面PAC，所以BC⊥PC，△PCB是直角三角形.故直角三角形的个数为4.2题型分类深度剖析PARTTWO题型一直线与平面垂直的判定与性质师生共研例1如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，BC＝2，D是BC的中点，F是CC1上一点.当CF＝2时，证明：B1F⊥平面ADF.思维升华证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明线面垂直的常用方法：①判定定理；②垂直于平面的传递性；③面面垂直的性质.(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直，则需借助线面垂直的性质.跟踪训练1如图，在三棱锥ABCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD.求证：(1)EF∥平面ABC；证明在平面ABD内，因为AB⊥AD，EF⊥AD，则AB∥EF.又因为EF⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以EF∥平面ABC.(2)AD⊥AC.证明因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，BC⊂平面BCD，BC⊥BD，所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD，所以BC⊥AD.又AB⊥AD，BC∩AB＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC，所以AD⊥AC.例2如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，AP⊥平面PCD，E，F分别为PC，AB的中点.(1)求证：平面PAD⊥平面ABCD；题型二平面与平面垂直的判定与性质师生共研证明因为AP⊥平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AP⊥CD.又四边形ABCD为矩形，所以AD⊥CD，又因为AP∩AD＝A，AP⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD.又因为CD⊂平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD.(2)求证：EF∥平面PAD.思维升华(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β).(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.跟踪训练2(2018·南京、盐城模拟)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC⊥AC，D，E分别是AB，AC的中点.(1)求证：B1C1∥平面A1DE；证明因为D，E分别是AB，AC的中点，所以DE∥BC.又因为在三棱柱ABC－A1B1C1中，B1C1∥BC，所以B1C1∥DE.又B1C1⊄平面A1DE，DE⊂平面A1DE，所以B1C1∥平面A1DE.(2)求证：平面A1DE⊥平面ACC1A1.证明在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，又DE⊂底面ABC，所以CC1⊥DE.又BC⊥AC，DE∥BC，所以DE⊥AC.又CC1，AC⊂平面ACC1A1，且CC1∩AC＝C，所以DE⊥平面ACC1A1，又因为DE⊂平面A1DE，所以平面A1DE⊥平面ACC1A1.题型三垂直关系中的探索性问题师生共研例3如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是棱BC，AB的中点，点F在棱CC1上，已知AB＝AC，AA1＝3，BC＝CF＝2.(1)求证：C1E∥平面ADF；(2)设点M在棱BB1上，当BM为何值时，平面CAM⊥平面ADF.思维升华对命题条件的探索的三种途径途径一：先猜后证.途径二：先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性.途径三：将几何问题转化为代数问题.跟踪训练3如图所示的空间几何体ABCDEFG中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE⊥平面ABCD，EF∥AB，EG∥AD，EF＝EG＝1.(1)求证：平面CFG⊥平面ACE；(2)在AC上是否存在一点H，使得EH∥平面CFG？若存在，求出CH的长，若不存在，请说明理由.3课时作业PARTTHREE基础保分练12345678910111213141516②1.已知两条异面直线平行于一平面，一直线与两异面直线都垂直，那么这个平面与这条直线的位置关系是_____.(填序号)①平行；②垂直；③斜交；④不能确定.解析设a，b为异面直线，a∥平面α，b∥平面α，直线l⊥a，l⊥b.过a作平面β∩α＝a′，则a∥a′，∴l⊥a′.同理过b作平面γ∩α＝b′，则l⊥b′.∵a，b异面，∴a′与b′相交，∴l⊥α.12345678910111213141516必要不充分2.设l，m表示直线，m是平面α内的一条直线，则“l⊥m”是“l⊥α”成立的____________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分又不必要”)解析由线面垂直的定义知，直线垂直于平面内至少两条相交直线，则直线与平面垂直，只平行于平面内一条直线说明充分性不成立，反之，直线垂直于平面，则直线垂直于平面内任意一条直线，说明是必要条件，则“l⊥m”是“l⊥α”成立的必要不充分条件.12345678910111213141516②③④3.已知平面α，β，直线m，n.给出下列命题：①若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β；②若n⊥α，n⊥β，m⊥α，则m⊥β；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n.其中，真命题是________.(填序号)解析对于①，当m⊂α时，才能保证m⊥β，不对；对于②，由m⊥α，n⊥α，得m∥n，又n⊥β，所以m⊥β，对；③④都对.12345678910111213141516①③4.设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，给出下列四个命题：①若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；②若α⊥β，m∥α，则m⊥β；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β；④若m∥n，n⊂α，则m∥α.其中正确的命题是______.(填序号)解析易知①正确；②可能