（广西课标版）2020版高考数学二轮复习 4.1 等差数列与等比数列课件 文

4.1等差数列与等比数列-2-试题统计题型命题规律复习策略(2015全国Ⅰ,文7)(2015全国Ⅰ,文13)(2015全国Ⅱ,文5)(2015全国Ⅱ,文9)(2016全国Ⅰ,文17)(2016全国Ⅱ,文17)(2016全国Ⅲ,文17)(2017全国Ⅰ,文17)(2017全国Ⅱ,文17)(2018全国Ⅱ,文17)(2018全国Ⅲ,文17)(2019全国Ⅰ,文14)(2019全国Ⅰ,文18)(2019全国Ⅱ,文18)(2019全国Ⅲ,文6)(2019全国Ⅲ,文14)选择题填空题解答题等差数列、等比数列的判定及其通项公式是高考的热点,在考查基本运算、基本概念的同时,也注重对函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想的考查;对等差数列、等比数列的性质考查主要是求解数列的等差中项、等比中项、通项公式和前n项和最大、最小等问题,主要是中低档题;等差数列、等比数列的证明多在解答题中的某一问出现,属于中档题;等差数列、等比数列的前n项和是高考考查的重点,在解答时要注意与不等式、函数、方程等知识相结合.抓住考查的主要题目类型进行训练,重点是等差数列与等比数列的基本量的求解,利用等差数列与等比数列的性质求数列中的基本量,等差数列与等比数列的证明,求解等差数列、等比数列的综合问题.-3-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四等差数列与等比数列的基本量的求解【思考】如何求解等差数列与等比数列的基本量?例1(2019全国Ⅱ,文18)已知{an}是各项均为正数的等比数列,a1=2,a3=2a2+16.(1)求{an}的通项公式;(2)设bn=log2an.求数列{bn}的前n项和.解(1)设{an}的公比为q,由题设得2q2=4q+16,即q2-2q-8=0,解得q=-2(舍去)或q=4.因此{an}的通项公式为an=2×4n-1=22n-1.(2)由(1)得bn=(2n-1)log22=2n-1,因此数列{bn}的前n项和为1+3+…+2n-1=n2.-4-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思等差数列、等比数列的通项公式、求和公式中一共包含a1,n,d(q),an与Sn这五个量.已知其中的三个,就可以求其余的两个.因为a1,d(q)是两个基本量,所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量,再根据通项公式、求和公式构建这两者的方程(组),通过解方程(组)求其值,这也是方程思想在数列问题中的体现.-5-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四对点训练1(1)(2019全国Ⅲ,文14)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a3=5,a7=13,则S10=.(2)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等比数列{bn}的前n项和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.①若a3+b3=5,求{bn}的通项公式;②若T3=21,求S3.100解析(1)设等差数列{an}的公差为d,则𝑎3=𝑎1+2𝑑=5,𝑎7=𝑎1+6𝑑=13,解得𝑎1=1,𝑑=2.故S10=10a1+10×92d=10×1+10×92×2=100.-6-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四(2)解设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,则an=-1+(n-1)d,bn=qn-1.由a2+b2=2,得d+q=3.①①由a3+b3=5,得2d+q2=6.②联立①和②解得𝑑=3,𝑞=0(舍去)或𝑑=1,𝑞=2.因此{bn}的通项公式为bn=2n-1.②由b1=1,T3=21,得q2+q-20=0,解得q=-5或q=4.当q=-5时,由①得d=8,则S3=21;当q=4时,由①得d=-1,则S3=-6.-7-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四等差数列与等比数列的判定与证明【思考】证明数列{an}是等差数列或等比数列的基本方法有哪些?例2已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=4an-1+1(n≥2),且a1=1,bn=an+1-2an.(1)求证:数列{bn}是等比数列;(2)若,求证:数列{cn}是等差数列.cn=𝑎𝑛2𝑛-8-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四证明(1)∵当n≥3时,an=Sn-𝑆𝑛−1=4(an-1-an-2),∴an-2an-1=2(an-1-2an-2),∴当n≥2时,an+1-2an=2(an-2an-1),即bn=2bn-1.又S2=4a1+1=5,∴a2=4,b1=a2-2a1=2.∴{bn}是以2为首项,2为公比的等比数列.(2)由(1)知bn=2n,∴an+1=2n+2an.∴cn=𝑎𝑛2𝑛=2𝑛-1+2𝑎𝑛-12𝑛=12+𝑎𝑛-12𝑛-1=12+cn-1,即cn-𝑐𝑛-1=12.又c1=𝑎12=12,∴{cn}是以12为首项,12为公差的等差数列.-9-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思1.证明数列{an}是等差数列的两种基本方法:(1)利用定义,证明an+1-an(n∈N*)为常数;(2)利用等差中项,证明2an=an-1+an+1(n≥2).2.证明数列{an}是等比数列的两种基本方法:(1)利用定义,证明𝑎𝑛+1𝑎𝑛(n∈N*)为常数;(2)利用等比中项,证明𝑎𝑛2=an-1an+1(n≥2,且an≠0).-10-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四对点训练2已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=14,且Sn=Sn-1+an-1+12(n∈N*,n≥2).数列{bn}满足:b1=-1194,且3bn-bn-1=n(n≥2,且n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)求证:数列{bn-an}为等比数列.(1)解由Sn=Sn-1+an-1+12,得Sn-Sn-1=an-1+12,即an-an-1=12(n∈N*,n≥2),则数列{an}是以12为公差的等差数列,故an=a1+(n-1)×12=12n-14(n∈N*).-11-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四(2)证明∵3bn-bn-1=n(n≥2),∴bn=13bn-1+13n(n≥2),∴bn-an=13bn-1+13n-12n+14=13bn-1-16n+14=13𝑏𝑛-1-12𝑛+34(n≥2),bn-1-an-1=bn-1-12(n-1)+14=bn-1-12n+34(n≥2).∴bn-an=13(bn-1-an-1)(n≥2).∵b1-a1=-30≠0,∴𝑏𝑛-𝑎𝑛𝑏𝑛-1-𝑎𝑛-1=13(n≥2),∴数列{bn-an}是以-30为首项,13为公比的等比数列.-12-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四等差数列与等比数列性质的应用【思考】常用的等差数列、等比数列的性质有哪些?例3(1)(2019河南洛阳二模,14)已知等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a8a13=64,则log2a1+log2a2+…+log2a20=.(2)(2019江苏联合调研,9)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若a1+a3+a5+a7+a9=10,,则S10的值为.𝑎82−𝑎22=3650552-13-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四解析(1)由等比数列的性质可得a10a11=a8a13,所以a10a11+a8a13=2a10a11=64,得a10a11=32.又log2a1+log2a2+…+log2a20=log2(a1·a2·a3·…·a20)=log2[(a1·a20)·(a2·a19)·(a3·a18)…(a10·a11)]=log2(a10·a11)10=log23210=50.(2)设{an}的公差为d.因为a1+a3+a5+a7+a9=5a5=10,所以a5=2.又因为𝑎82−𝑎22=(a8+a2)(a8-a2)=2a5(a8-a2)=36,所以a8-a2=6d=9,则d=32,a1=a5-4d=-4,所以S10=-40+12×10×9×32=552.-14-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思等差数列与等比数列的性质多与其下标有关,解题需多注意观察,发现其联系,加以应用.(1)等差数列的性质:①an=am+(n-m)d(n,m∈N*);②若m+n=p+q,则am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*);③设等差数列{an}的前n项和为Sn,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也成等差数列.(2)等比数列的性质:①an=amqn-m(m,n∈N*);②若m+n=p+q,则am·an=ap·aq(m,n,p,q∈N*);③若等比数列{an}的公比不为-1,前n项和为Sn,则Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也成等比数列.-15-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四对点训练3(1)(2019吉林实验中学一模,6)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S4=8,S8=20,则a13+a14+a15+a16=()A.12B.8C.20D.16(2)设Sn,Tn分别是等差数列{an},{bn}的前n项和,已知𝑆𝑛𝑇𝑛=𝑛+12𝑛-1,n∈N*,则𝑎5𝑏5=.C1017解析(1)∵S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12成等差数列,S4=8,S8=20,∴S8-S4=12,S12-S8=16,S16-S12=20,∴a13+a14+a15+a16=20.(2)𝑎5𝑏5=9(𝑎1+𝑎9)29(𝑏1+𝑏9)2=𝑆9𝑇9=9+12×9-1=1017.-16-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四等差数列、等比数列的综合问题【思考】解决等差数列、等比数列的综合问题的基本思路是怎样的?例4(2019天津,文18)设{an}是等差数列,{bn}是等比数列,公比大于0.已知a1=b1=3,b2=a3,b3=4a2+3.(1)求{an}和{bn}的通项公式;(2)设数列{cn}满足cn=1,𝑛为奇数,𝑏𝑛2,𝑛为偶数,求a1c1+a2c2+…+a2nc2n(n∈N*).解(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q.依题意,得3𝑞=3+2𝑑,3𝑞2=15+4𝑑.解得𝑑=3,𝑞=3,故an=3+3(n-1)=3n,bn=3×3n-1=3n.所以,{an}的通项公式为an=3n,{bn}的通项公式为bn=3n.-17-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四(2)a1c1+a2c2+…+a2nc2n=(a1+a3+a5+…+a2n-1)+(a2b1+a4b2+a6b3+…+a2nbn)=[n×3+𝑛(𝑛-1)2×6]+(6×31+12×32+18×33+…+6n×3n)=3n2+6(1×31+2×32+…+n×3n).记Tn=1×31+2×32+…+n×3n,①则3Tn=1×32+2×33+…+n×3n+1,②②-①得,2Tn=-3-32-33-…-3n+n×3n+1=-3(1-3𝑛)1-3+n×3n+1=(2𝑛-1)3𝑛+1+32.所以,a1c1+a2c2+…+a2nc2n=3n2+6Tn=3n2+3×(2𝑛-1)3𝑛+1+32=(2𝑛-1)3𝑛+2+6𝑛2+92(n∈N*).-18-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四题后反思等差数列和等比数列的综合问题,涉及的知识面很广,题目的变化也很多,但是只要抓住基本量a1,d(q),充分运用方程、函数、转化等数学思想方法,合理运用相关知识,就能解决这类问题.-19-命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四对点训练4等差数列{an}的前n项和为Sn,已知S10=0,S15=25,则nSn的最小值为.-49解析设数列{an}的首项为a1,公差为d,则S10=10a1+10×92d=10a1+45d=0,①S15=15a1+15×142d=15a1+105d=25.②联立①②,得a1=-3,d=23,所以Sn=-3n+𝑛(𝑛-1)2×23=13n2-103n.令f(n)=nSn,则f(n)=13n3-103n2,f'(n)=n2-203n.令f