三角形与四边形综合复习-教学设计

三角形与四边形综合复习（第一课时）一、本节课的定位本节课设定为一轮复习课，它是在复习了三角形（包括全等三角形、等腰三角形、直角三角形、解直角三角形）、四边形（包括平行四边形、矩形、菱形、正方形、多边形）之后进行的一节直线形图形综合复习课。一轮复习，需要给每个学生以学习的希望，设置问题背景熟悉、简单，开放性强，能调动不同层次学生的思考，鼓动不同学生的参与热情。二、本节课的必要性分析（1）现行一轮复习模式的要求。现行初三基础复习阶段多采用独立的版块复习模式，即依照课标划分的“数与代数”，“图形与几何”，“统计与概率”，“综合与实践”四板块进行。而在每一个板块复习上，又分章节进行复习，比如“图形与几何”板块上即按照“三角形全等三角形等腰三角形直角三角形解直角三角形四边形圆”这个顺序来复习。虽然三角形与四边形同属“图形与几何”板块，但他们在教材中属于不同章节，课时安排上前后相差较远。而且在教学中，教师更多的是强调知识的回顾，不注重知识点的关联和知识体系构建，特别是各个知识板块之间，板块内部各节之间的联系，致使学生综合运用能力的解题能力较弱，产生留白现象。（2）学生综合能力发展的要求。在当前的数中考数学复习教学中，有些教师会有意无意得采用再现一遍知识，再配上例题、练习的复习方式。学生在教师指引下，按部就班的进行板块式复习，单纯的、机械的重复所学知识，过度注重对已学知识的熟悉和记忆。这样知识点横向较集中，纵向未形成知识体系和方法体系，造成学生对知识的理解仍然停留在接受层面，虽然能使学生接触一些典型问题，解决一些数学练习题，但学生只是根据例题模仿参照思维。遇到综合性问题，脑海中虽有解题意识，却无法实现前后知识的联系和相互支撑，找不到解题路径。（3）中考考核的要求。现行中考考核学生综合解决问题的能力，一道题中往往涉及多个知识点，需要学生调用不同章节的知识，需要学生理解不同章节知识之间的内在联系，需要学生综合应用不同板块知识解决问题。因此本节课的定位就是在一轮复习在复习了三角形和四边形之后，为进一步提升学生分析问题，解决问题的能力，强调纵向应用，立足解题通法，注重知识关联，放眼学生发展的角度，开展解题教学。三、教学目标：总体目标：突破知识板块的设置，突破图形分类的限制，引导学生从更广的领域研究几何图形，发展几何发现的能力；具体目标：（1）经历挖掘三角形、四边形知识内在联系，借助三角形、四边形性质解决综合性问题的过程，体会三角形，四边形性质的基础性作用；（2）学会用图形变化的眼光分析图形，感悟基本图形在解决问题中的应用.四、教学过程设计：【师】上课【生】老师好【师】同学们好，前面我们复习了三角形和四边形，三角形包括一般三角形以及特殊三角形；四边形我们重点复习了平行四边形、矩形、菱形、正方形；它们都是从边、角、重要线段、对称性等方面进行研究的；【师】下面，我们就分别选取其中两个代表，直角三角形和平行四边形，看看这两个图形放在一起会发生哪些故事。学生：（1）AE=BE=CE=DC（边的关系）；（2）三角形AEB和三角形BCE、ECD都是等腰三角形；（3）平行四边形BCDE的面积等于三角形ABC的面积；（4）∠3=∠4=∠5=∠6；【师】我们得到了这么多结论，有些结论在前面在观察探索过程中，已经证明了。在你们的启发下，老师这也有一个结论，∠AED=∠BED，你们看看老师说的对不对？帮老师证一下。【生】（用实物展台进行证明，一个学生操作，一个学生展示）【师】很好，证明思路简洁明快。如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，E是AC的中点，四边形BCDE是平行四边形，你又能得到哪些结论？组织学生进行证明，同时出示ppt，显示”已知求证”等信息证明：在△DEC中，∠AED=∠5+∠6，又∠BED=∠1+∠2；由前面结论，∠1=∠6，∠5=∠2∴∠AED=∠BED【师】（引导反思）两个不同的图形放在一起就产生了这么多有价值的结论；你认为这些结论的推导是通过哪些线段和角联系在一起的？【生】是通过公共的边和角联系在一起的，比如BC、BE它们既是直角三角形中的边（或重要线段）又是四边形中的边。【师】的确如此。在今后研究复合图形的时候，要充分挖掘边、角的公共部分，寻找图形之间的内在联系；借助这些桥梁和实现图形之间的条件和结论的互通。（二）在本图中，连接BD和AD你又有何发现呢？（出示ppt）【生】（1）△AED≌△BED（2）△ABD是等腰三角形，其中AD=BD（3）DE垂直平分AB【师】如何证明呢？（出示ppt上“已知求证”的信息，不给时间证明，直接说出自己的思路）【生】上面的两个结论，只要证出一个，其余那个也就很容易得到。【师】由以上结论可以看出，它们都是围绕DE这条直线的轴对称图形。因此，要学会从图形变化的角度来观察分析几何图形方法1：借助前面的结论，证明△AED≌△BED（SAS）方法2：延长DE借助平行得△AEF~△ABC，再由E为AC中点，可得EF为△ABC中位线，可得EF垂直平分AB；方法3：延长DE，借助平行得EF为AB边上的高，在△AEB中，AE=BE，由三线合一可得EF垂直平分AB；（三）如改变图形中BC的长度，使得BC=DE时（用几何画板动态演示），四边形BCDE将变成菱形，△ABD的形状将如何变化？【生】等边三角形【师】请说明理由【师】点评：（1）在本图中，除了继承前面结论外，还要关注到“菱形”这个新条件出现产生的影响，充分挖掘利用菱形的性质，借助菱形的四边相等和轴对称性发现特殊角60°的存在，发现对角线互相垂直平分的存在。（2）由此可见，图形之间紧密联系，一个图形的变化，往往引起另一些图形相应的变化。平行四边形的变化，导致三角形ABC，三角形ADC形状变为含30°的直角三角形（3）反过来，若三角形ABC形状的变化，也会引起平行四边形形状的改变。（四）若BD平分∠ABC，猜想AB与BC的数量关系，并说明理由方法1：由于前面条件没有变，所以△ABD还是一个等腰三角形；只需再证一个角等于60°就可以啦。当BC=DE时，四边形BCDE变成菱形，△BCE中，BC=BE=CE，∴∠3=60°，由菱形的性质BD与CE互相垂直且平分，且对角线平分一组对角，∴∠OBC=30°，∴∠ABO=60°．∴△ABD是等边三角形（从菱形边相等带来的特殊角入手）方法2：我证边相等也行。因为四边形BCDE变成菱形，所以BD与CE互相垂直且平分，、∴AB=AD，前面已经有AD=BD了，当然就有三边相等。（从菱形带来的对称性入手思考）出示ppt，明确“已知，求”等信息，组织学生写出推导步骤，2分钟后，组织讨论并请一个学生上台写出解题过程。待该学生写完后，开始展示解题思路，并规范板书要求。HFODEBCAHGODEBCA21GODEBCA21QODEBCA方法1：延长DE交AB于点F，则DF⊥AB，作DH⊥BC，∴∠DFB=∠FBH=∠DHB=90°∴四边形DFBH为矩形，∵EF//BC，E为AC中点∴设EF=x，则BC=DE=2x∵BD是∠ABC的角平分线，∴DH=DF∴四边形DFBH为正方形∴DF=BF=AF=3x，所以AB=6x=3BC方法1：作OH⊥AB，OG⊥BC，∵BD是∠ABC的角平分线，∴OH=OGRt△ABC中，E为AC中点，在平行四边形BCDE中，OE=OC∴OA=3OC∴S△ABO=3S△BOC∴AB·OH=BC·OG∴AB=3BC方法3：作OG⊥BC，则OG//AB∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠1=∠2=45°∴BG=OGRt△ABC中，E为AC中点，在平行四边形BCDE中，OE=OC∴OA=3OC，∴CG：BG=1：3∴CG：OG=1：3∴AB=3BC方法1：作CQ⊥BC交BD于点Q，则OQ//AB∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠1=∠2=45°∴BC=CQRt△ABC中，E为AC中点，在平行四边形BCDE中，OE=OC∴OA=3OC，∴CQ：AB=1：3∴AB=3BC【师】（1）在本题中，关键是要发掘角平分线这一条件带来的影响，其一是依托角平分线构造轴对称图形，其二是借助它发现45°这个特殊角的存在。（2）找到了这么多解题方法，你认为哪个方法更为简单呢？请大家选择一个你最喜欢的方法整理在笔记本上。（五）本节课进行到这里，就进入了尾声。请大家谈一谈本节课你收获了哪些解题的方法或技巧【生】（1）在分析复杂图形时，一要注重发现基本图形，二要注意图形之间的内在联系，重视公共边、公共角的作用。（2）在分析图形时，注意有没有对称的情况出现。（3）需要用多种方法解决问题（4）要注意图中有没有特殊角，发现特殊图形。【师】非常好，大家总结的很到位。本节课，我们借助各类三角形、各类四边形的性质解决了问题，体会了三角形与四边形的综合应用。【师】虽然题目条件千变万化，图形变化丰富多彩，结论构成多种多样，但是在解决问题中，所用到的方法还是植根于三角形、四边形等基本图形的基本性质；因此掌握基本性质，发现并利用，才是解决问题的王道。【师】本节课我们就研究到这里，请大家记好今天的作业，感谢大家的聆听，下节课再见。