（福建专用）2020版高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 1.4 简单的逻辑联结词、全称量

1.4简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词知识梳理-2-知识梳理双基自测23411.简单的逻辑联结词(1)命题中的叫做逻辑联结词.(2)命题p∧q,p∨q,p的真假判断¬pqp∧qp∨q¬p真真假真假假真真假假“且”“或”“非”真真假真假真假假知识梳理-3-知识梳理双基自测23412.全称量词和存在量词量词名称常见量词表示符号全称量词所有、一切、任意、全部、每一个、任给等存在量词存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等∀∃知识梳理-4-知识梳理双基自测23413.全称命题和特称命题命题名称命题结构命题简记全称命题对M中任意一个x,有p(x)成立特称命题存在M中的一个x0,使p(x0)成立∀x∈M,p(x)∃x0∈M,p(x0)知识梳理-5-知识梳理双基自测23414.含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M,p(x)∃x0∈M,p(x0)∃x0∈M,¬p(x0)∀x∈M,¬p(x)知识梳理2-6-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)若命题p∧q为假命题,则命题p,q都是假命题.()(2)命题“46或32”是真命题.()(3)若p∧q为真,则p∨q必为真;反之,若p∨q为真,则p∧q必为真.()(4)(教材习题改编P26T1(4))“梯形的对角线相等”是特称命题.()(5)命题“菱形的对角线相等”的否定是“菱形的对角线不相等”.()答案答案关闭(1)×(2)√(3)×(4)×(5)×6知识梳理-7-知识梳理双基自测234152.已知命题p:∀x0,log2x2x+3,则􀱑p为()A.∀x0,log2x≥2x+3B.∃x00,log2x0≥2x0+3C.∃x00,log2x02x0+3D.∀x0,log2x≥2x+3答案解析解析关闭根据全称命题的否定为特称命题,则􀱑p为:∃x00,log2x0≥2x0+3,故选B.答案解析关闭B6知识梳理-8-知识梳理双基自测23415答案答案关闭A3.命题“∃x0∈(0,+∞),lnx0=x0-1”的否定是()A.∀x∈(0,+∞),lnx≠x-1B.∀x∉(0,+∞),lnx=x-1C.∃x0∈(0,+∞),lnx0≠x0-1D.∃x0∉(0,+∞),lnx0=x0-16知识梳理-9-知识梳理双基自测2341564.已知命题p:对任意x∈R,总有2x0;命题q:“x1”是“x2”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是()A.p∧qB.(􀱑p)∧(􀱑q)C.(􀱑p)∧qD.p∧(􀱑q)答案解析解析关闭由题意可知命题p为真命题,q为假命题,故􀱑p为假命题,􀱑q为真命题.从而p∧q为假,(􀱑p)∧(􀱑q)为假,(􀱑p)∧q为假,p∧(􀱑q)为真.故选D.答案解析关闭D知识梳理-10-知识梳理双基自测2341565.(2017河北百校联考)若命题“∃x0∈R,asinx0+cosx0≥2”为假命题,则实数a的取值范围为()A.(-√3,√3)B.[-√3,√3]C.(-∞,-√3)∪(√3,+∞)D.(-∞,-√3]∪[√3,+∞)答案解析解析关闭由题意知命题“∀x∈R,asinx+cosx2”为真命题,即√𝑎2+12,解得-√3a√3.故实数a的取值范围是(-√3,√3).答案解析关闭A知识梳理-11-知识梳理双基自测234156.(教材习题改编P27T3(2))命题“所有末位数字是0的整数,都可以被5整除”的否定为.答案答案关闭有些末位数字是0的整数,不可以被5整除6-12-考点1考点2考点3考点4考点1含简单逻辑联结词的命题的真假例1(1)(2017山东潍坊二模)已知命题p∧q是假命题,p∨q是真命题,则下列命题一定是真命题的是()A.qB.(􀱑p)∧(􀱑q)C.pD.(􀱑p)∨(􀱑q)(2)已知命题p:∀x0,ln(x+1)0;命题q:若ab,则a2b2,下列命题为真命题的是()A.p∧qB.p∧􀱑qC.􀱑p∧qD.􀱑p∧􀱑q思考如何判断含简单逻辑联结词的命题的真假?答案解析解析关闭(1)命题p∧q是假命题,p∨q是真命题,则p与q中有且仅有一个命题为真命题.所以􀱑p与􀱑q中有且仅有一个命题为真命题,即一定是真命题的是(􀱑p)∨(􀱑q).故选D.(2)对∀x0,都有x+11,所以ln(x+1)0,故p为真命题.因1-2,但12(-2)2,故q为假命题,所以􀱑q为真命题,故p∧􀱑q为真命题.故选B.答案解析关闭(1)D(2)B-13-考点1考点2考点3考点4解题心得要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假,首先判断构成这个命题的每个简单命题的真假,然后依据“p∨q见真即真”“p∧q见假即假”“p与¬p真假相反”做出判断.-14-考点1考点2考点3考点4对点训练1已知命题p:∃x0∈(0,+∞),x0+3;命题q:∀x∈(2,+∞),x22x,则下列命题为真命题的是()A.p∧(􀱑q)B.(􀱑p)∧qC.p∧qD.(􀱑p)∨q1𝑥0答案解析解析关闭命题p:∃x0∈(0,+∞),x0+1𝑥03,是真命题,例如取x0=4;命题q:∀x∈(2,+∞),x22x,是假命题,取x=4时,x2=2x.所以真命题是p∧(􀱑q).故选A.答案解析关闭A-15-考点1考点2考点3考点4考点2全(特)称命题的真假判定例2下列命题中,为真命题的是()B.任意x∈(0,π),sinxcosxC.任意x∈(0,+∞),x2+1xD.存在x0∈R,+x0=-1思考如何判断一个全称命题是真命题?又如何判断一个特称命题是真命题?A.存在x0∈R,sin2𝑥02+cos2𝑥02=12𝑥02答案解析解析关闭对于A选项,∀x∈R,sin2𝑥2+cos2𝑥2=1,故A为假命题;对于B选项,存在x0=π6,sinx0=12,cosx0=√32,sinx0cosx0,故B为假命题;对于C选项,x2+1-x=𝑥-122+340恒成立,C为真命题;对于D选项,x2+x+1=𝑥+122+340恒成立,不存在x0∈R,使𝑥02+x0=-1成立,故D为假命题.答案解析关闭C-16-考点1考点2考点3考点4解题心得1.判定全称命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每个元素x,证明p(x)成立;要判断特称命题是真命题,只要在限定集合内至少能找到一个x0,使p(x0)成立.2.不管是全称命题,还是特称命题,若其真假不容易正面判断时,可先判断其否定的真假.-17-考点1考点2考点3考点4对点训练2下列命题中,为真命题的是()A.∀x∈R,x20B.∀x∈R,-1sinx1C.∃x0∈R,0D.∃x0∈R,tanx0=22𝑥0答案解析解析关闭∀x∈R,x2≥0,故A错;∀x∈R,-1≤sinx≤1,故B错;∀x∈R,2x0,故C错,故选D.答案解析关闭D-18-考点1考点2考点3考点4考点3含有一个量词的命题的否定例3命题“∀x∈R,∃n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是()A.∀x∈R,∃n∈N*,使得nx2B.∀x∈R,∀n∈N*,使得nx2C.∃x∈R,∃n∈N*,使得nx2D.∃x∈R,∀n∈N*,使得nx2思考如何对全(特)称命题进行否定?答案解析解析关闭由含量词命题的否定格式,可知首先改写量词,而n≥x2的否定为nx2.故选D.答案解析关闭D-19-考点1考点2考点3考点4解题心得1.对全(特)称命题进行否定的方法是改量词,否结论.没有量词的要结合命题的含义加上量词.2.常见词语的否定形式:词语是都是=()至少有一个至多有一个且词语的否定不是不都是≠≤(≥)一个也没有至少有两个或-20-考点1考点2考点3考点4对点训练3(1)命题“∃x∈∁RQ,x3∈Q”的否定是()A.∃x∉∁RQ,x3∈QB.∃x∈∁RQ,x3∉QC.∀x∉∁RQ,x3∈QD.∀x∈∁RQ,x3∉Q(2)已知命题p:∃x∈R,log2(3x+1)≤0,则()A.p是假命题,􀱑p:∀x∈R,log2(3x+1)≤0B.p是假命题,􀱑p:∀x∈R,log2(3x+1)0C.p是真命题,􀱑p:∀x∈R,log2(3x+1)≤0D.p是真命题,􀱑p:∀x∈R,log2(3x+1)0答案解析解析关闭(1)“∃x∈∁RQ”改为“∀x∈∁RQ”,“x3∈Q”的否定为“x3∉Q”.(2)因为3x+11,所以log2(3x+1)0恒成立,则命题p是假命题;又􀱑p:∀x∈R,log2(3x+1)0,故选B.答案解析关闭(1)D(2)B-21-考点1考点2考点3考点4考点4由命题的真假求参数的取值范围例4(1)已知p:∃x∈R,mx2+1≤0,q:∀x∈R,x2+mx+10,若p∨q为假命题,则实数m的取值范围为()A.m≥2B.m≤-2C.m≤-2或m≥2D.-2≤m≤2(2)若把(1)中条件“若p∨q为假命题”改为“若p∧q为真命题”,则实数m的取值范围为.(3)若把(1)中条件“若p∨q为假命题”改为“若p∧q为假命题,p∨q为真命题”,则实数m的取值范围为.思考如何依据命题的真假求参数的取值范围?答案答案关闭(1)A(2)(-2,0)(3)(-∞,-2]∪[0,2)-22-考点1考点2考点3考点4解析:(1)由题意知p,q均为假命题.当p是假命题时,mx2+10恒成立,则有m≥0;当q是真命题时,有Δ=m2-40,解得-2m2.因此由p,q均为假命题得𝑚≥0,𝑚≤-2或𝑚≥2,即m≥2.(2)由(1)知当p是真命题时,有m0;当q是真命题时,有-2m2.因为p∧q为真,所以p为真命题,q也为真命题.所以𝑚0,-2𝑚2,即-2m0.-23-考点1考点2考点3考点4(3)因为p∧q为假,p∨q为真,所以p,q必一真一假.当p真q假时,有𝑚0,𝑚≥2或𝑚≤-2,故m≤-2.当p假q真时,有𝑚≥0,-2𝑚2,故0≤m2.故m的取值范围是(-∞,-2]∪[0,2).-24-考点1考点2考点3考点4解题心得以命题真假为依据求参数的取值范围时,首先要对两个简单命题进行化简,然后依据命题“p∨q”“p∧q”“¬p”的真假,判断出每个简单命题的真假,最后列出含有参数的不等式(组)求解即可.-25-考点1考点2考点3考点4对点训练4(1)若命题“∃x0∈R,+(a-1)x0+10”是真命题,则实数a的取值范围是()A.[-1,3]B.(-1,3)C.(-∞,-1]∪[3,+∞)D.(-∞,-1)∪(3,+∞)(2)已知命题p:∀x∈[0,1],a≥ex;命题q:∃x∈R,使得x2+4x+a=0.若命题“p∧q”是真命题,则实数a的取值范围是.𝑥02答案解析解析关闭(1)因为命题“∃x0∈R,𝑥02+(a-1)x0+10”等价于𝑥02+(a-1)x0+1=0有两个不等的实根,所以Δ=(a-1)2-40,即a2-2a-30,解得a-1或a3,故选D.(2)若命题“p∧q”是真命题,则命题p,q都是真命题.由∀x∈[0,1],a≥ex,得a≥e;由∃x∈R,使x2+4x+a=0,知Δ=16-4a≥0,a≤4,因此e≤a≤4.答案解析关闭(1)D(2)[e,4]26