（福建专用）2020版高考数学一轮复习 第十一章 计数原理 11.1 分类加法计数原理与分步乘法计数

第十一章计数原理11.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理知识梳理-3-知识梳理双基自测211.两个计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理条件完成一件事有.在第1类方案中有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同的方法……在第n类方案中有mn种不同的方法完成一件事需要,做第1步有m1种不同的方法,做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法结论完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种方法完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种方法n类不同的方案n个步骤知识梳理-4-知识梳理双基自测212.两个计数原理的区别与联系分类加法计数原理分步乘法计数原理相同点用来计算完成一件事的方法种数不同点分类、相加分步、相乘每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事每步依次完成才算完成这件事情(每步中的每一种方法不能独立完成这件事)注意点类类独立不重不漏步步相依缺一不可知识梳理2-5-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)在分类加法计数原理中,某两类不同方案中的方法可以相同.()(2)在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能直接完成这件事.()(3)在分步乘法计数原理中,只有各个步骤都完成后,这件事情才算完成.()(4)在分步乘法计数原理中,每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.()(5)如果完成一件事情有n个不同的步骤,在每一步中都有若干种不同的方法mi(i=1,2,3,…,n),那么完成这件事共有m1m2m3…mn种方法.()答案答案关闭(1)×(2)√(3)√(4)√(5)√知识梳理-6-知识梳理双基自测234152.在所有的两位数中,个位数字比十位数字大的两位数共有()A.45个B.36个C.30个D.50个答案解析解析关闭个位数字为2的有1个,个位数字为3的有2个……个位数字为9的有8个,由分类加法计数原理知,共1+2+3+4+…+8=8(1+8)2=36(个).答案解析关闭B知识梳理-7-知识梳理双基自测234153.如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A.24B.18C.12D.9答案解析解析关闭由题意知,小明从街道的E处出发到F处的最短路径有6条,再从F处到G处的最短路径有3条,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为6×3=18,故选B.答案解析关闭B知识梳理-8-知识梳理双基自测234154.把10个苹果分成三堆,要求每堆至少1个,至多5个,则不同的分法共有()A.4种B.5种C.6种D.7种答案解析解析关闭用分类加法计数原理,分三类:①三堆中“最多”的一堆为5个,其他两堆总和为5,每堆至少1个,只有2种分法,即1和4,2和3.②三堆中“最多”的一堆为4个,其他两堆总和为6,每堆至少1个,只有2种分法,即2和4,3和3.③三堆中“最多”的一堆为3个,那是不可能的.所以不同的分法共有2+2=4(种).答案解析关闭A知识梳理-9-知识梳理双基自测234155.有4部车床,需加工3个不同的零件,其不同的安排方法有()A.34B.43C.A43D.44答案解析解析关闭以“每个零件”分步,共3步.而每个零件能在4部车床中的任一台上加工,所以有4种方法,于是安排方法为4×4×4=43(种).答案解析关闭B-10-考点1考点2考点3考点1分类加法计数原理例1(1)设集合A={1,2,3,4},m,n∈A,则关于x,y的方程𝑥2𝑚+𝑦2𝑛=1表示焦点位于x轴上的椭圆有()A.6个B.8个C.12个D.16个(2)如图,在A,B间有四个焊接点1,2,3,4,若焊接点脱落导致断路,则电路不通.今发现A,B之间电路不通,则焊接点脱落的不同情况有()A.9种B.11种C.13种D.15种思考使用分类加法计数原理遵循的原则是什么?答案解析解析关闭(1)因为椭圆的焦点在x轴上,所以当m=4时,n=1,2,3;当m=3时,n=1,2;当m=2时,n=1.故满足条件的椭圆共有3+2+1=6(个).(2)按照焊接点脱落的个数进行分类.若脱落1个,则有(1),(4),共2种;若脱落2个,有(1,4),(2,3),(1,2),(1,3),(4,2),(4,3),共6种;若脱落3个,有(1,2,3),(1,2,4),(2,3,4),(1,3,4),共4种;若脱落4个,有(1,2,3,4),共1种.由分类加法计数原理,知共有2+6+4+1=13(种)焊接点脱落的情况.答案解析关闭(1)A(2)C-11-考点1考点2考点3解题心得使用分类加法计数原理遵循的原则:分类的划分标准可能有多个,但不论是以哪一个为标准,都应遵循“标准要明确,不重不漏”的原则,且完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类.-12-考点1考点2考点3对点训练1(1)把甲、乙、丙三名志愿者安排在周一至周五参加某项志愿者活动,要求每人参加一天且每天至多安排一人,并要求甲安排在另外两名前面,不同的安排方案共有()A.20种B.30种C.40种D.60种(2)如图,从A到O有种不同的走法(不重复过一点).答案答案关闭(1)A(2)5-13-考点1考点2考点3(2)分三类:第一类,直接由A到O,有1种走法;第二类,中间过一个点,有A→B→O和A→C→O2种不同的走法;第三类,中间过两个点,有A→B→C→O和A→C→B→O2种不同的走法,由分类加法计数原理可得共有1+2+2=5种不同的走法.解析:(1)可将安排方案分为三类:①甲排在周一,共有A42种排法;②甲排在周二,共有A32种排法;③甲排在周三,共有A22种排法,故不同的安排方案共有A42+A32+A22=20种.故选A.-14-考点1考点2考点3考点2分步乘法计数原理例2(1)4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目,每人报一项,共有多少种报名方法?(2)4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军,共有多少种可能的结果?思考应用分步乘法计数原理解决问题时如何分步?对分步有何要求?-15-考点1考点2考点3解：(1)要完成的是“4名同学每人从三个项目中选一项报名”这件事,因为每人必报一项,四人都报完才算完成,于是应按人分步,且分为四步.又每人可在三项中选一项,选法为3种,所以共有3×3×3×3=34=81(种)报名方法.(2)要完成的是“三个项目冠军的获取”这件事,因为每项冠军只能有一人获得,三项冠军都有得主,这件事才算完成,于是应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步.而每项冠军是四人中的某一人,有4种可能情况,于是共有4×4×4=43=64(种)可能的结果.解题心得利用分步乘法计数原理解决问题时,要按事件发生的过程合理分步,并且分步必须满足两个条件:一是完成一件事的各个步骤是相互依存的,二是只有各个步骤都完成了,才算完成这件事.-16-考点1考点2考点3对点训练2(1)6名选手依次演讲,其中选手甲不在第一个,也不在最后一个演讲,则不同的演讲次序共有()A.240种B.360种C.480种D.720种(2)在运动会比赛中,8名男运动员参加100m决赛.其中甲、乙、丙三人必须在1,2,3,4,5,6,7,8八条跑道的奇数号跑道上,则安排这8名运动员比赛的方式共有种.答案解析解析关闭(1)第一步先排甲,共有A41种不同的排法;第二步再排其他人,共有A55种不同的排法,因此不同的演讲次序共有A41·A55=480(种).(2)分两步安排这8名运动员.第一步:安排甲、乙、丙三人,共有1,3,5,7四条跑道可安排.故安排方式有4×3×2=24种.第二步:安排另外5人,可在2,4,6,8及余下的一条奇数号跑道安排,所以安排方式有5×4×3×2×1=120种.故安排这8人的方式共有24×120=2880种.答案解析关闭(1)C(2)2880-17-考点1考点2考点3考点3两个计数原理的综合应用例3(1)某校在暑假组织社会实践活动,将8名高一年级学生平均分配给甲、乙两家公司,其中2名英语成绩优秀的学生不能分给同一个公司;另3名电脑特长学生也不能分给同一个公司,则不同的分配方案有()A.36种B.38种C.108种D.114种(2)如图,用4种不同的颜色涂入图中的矩形A,B,C,D中,要求相邻的矩形涂色不同,则不同的涂法有()A.72种B.48种C.24种D.12种答案答案关闭(1)A(2)A-18-考点1考点2考点3解析：(1)由题意可得,有2类分配方案,第1类方案:甲公司要2名电脑特长学生有3种情况;要1名英语成绩优秀的学生有2种情况;再从剩下的3个人中选一人,有3种情况.故共有3×2×3=18种分配方案.第2类方案:甲公司要1名电脑特长学生有3种情况;要1名英语成绩优秀的学生有2种情况;再从剩下的3个人中选2个人,有3种情况,故共3×2×3=18种分配方案.由分类计数原理,可得不同的分配方案共有18+18=36(种),故选A.-19-考点1考点2考点3(2)方法一:首先涂A有4种涂法,则涂B有3种涂法,C与A,B相邻,则C有2种涂法,D只与C相邻,则D有3种涂法,所以共有4×3×2×3=72(种)涂法.方法二:按要求涂色至少需要3种颜色,故分两类:一是4种颜色都用,这时A有4种涂法,B有3种涂法,C有2种涂法,D有1种涂法,共有4×3×2×1=24(种)涂法;二是用3种颜色,这时A,B,C的涂法有4×3×2=24(种),D只要不与C同色即可,故D有2种涂法,所以不同的涂法共有24+24×2=72(种).解题心得在综合应用两个原理解决问题时,一般是先分类再分步.分类后分别对每一类进行计数,在计算每一类时可能要分步,在分步时可能又用到分类加法计数原理.-20-考点1考点2考点3对点训练3(1)如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是()A.48B.18C.24D.36(2)如图,矩形的对角线把矩形分成A,B,C,D四部分,现用5种不同颜色给四部分涂色,每部分涂1种颜色,要求共边的两部分颜色互异,则共有种不同的涂色方法.答案答案关闭(1)D(2)260-21-考点1考点2考点3解析：(1)第一类,对于每一条棱,都可以与两个面构成“正交线面对”,这样的“正交线面对”有2×12=24个;第二类,对于每一条面对角线,都可以与一个对角面构成“正交线面对”,这样的“正交线面对”有12个.所以正方体中“正交线面对”共有24+12=36(个).(2)区域A有5种涂色方法;区域B有4种涂色方法;区域C的涂色方法可分为两类:若C与A涂同色,区域D有4种涂色方法;若C与A涂不同色,此时区域C有3种涂色方法,区域D也有3种涂色方法.故共有5×4×4+5×4×3×3=260(种)涂色方法.22