（福建专用）2020版高考数学一轮复习 第七章 不等式、推理与证明 7.3 合情推理与演绎推理课件

7.3合情推理与演绎推理知识梳理-2-知识梳理双基自测211.合情推理(1)定义:归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,先经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理.类比知识梳理-3-知识梳理双基自测21(2)归纳推理与类比推理归纳推理类比推理定义由某类事物的具有某些特征,推出该类事物的都具有这些特征的推理,或者由概括出的推理由两类对象具有和其中一类对象的,推出另一类对象也具有这些特征的推理特点由到、由到的推理由到的推理部分对象全部对象个别事实一般结论某些类似特征某些已知特征部分整体个别一般特殊特殊知识梳理-4-知识梳理双基自测21归纳推理类比推理一般步骤(1)通过个别情况发现某些相同性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确的一般性命题(猜想)(1)找出两类事物之间的相似性或一致性;(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确的命题(猜想)知识梳理-5-知识梳理双基自测212.演绎推理(1)定义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推理.简言之,演绎推理是由一般到的推理.(2)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括①大前提——已知的一般原理;②小前提——所研究的特殊情况;③结论——根据一般原理,对特殊情况作出的判断.特殊知识梳理2-6-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)归纳推理得到的结论不一定正确,类比推理得到的结论一定正确.()(2)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理.()(3)在类比时,平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.()(4)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理.()(5)演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确时,得到的结论一定正确.()答案答案关闭(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√知识梳理-7-知识梳理双基自测234152.若大前提是:任何实数的平方都大于0,小前提是:a∈R,结论是:a20,则这个演绎推理出错在()A.大前提B.小前提C.推理过程D.没有出错答案解析解析关闭本题中大前提是错误的,因为0的平方不大于0,所以选A.答案解析关闭A知识梳理-8-知识梳理双基自测234153.(教材习题改编P7T1)如图,根据图中的数构成的规律可知a表示的数是()A.12B.48C.60D.144答案解析解析关闭由题干图中的数据可知,每行除首末两个数外,其他数等于其上一行两肩上的数字的乘积.故a=12×12=144.答案解析关闭D知识梳理-9-知识梳理双基自测234154.甲、乙、丙、丁四名同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2名优秀,2名良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩,看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则()A.乙可以知道四人的成绩B.丁可以知道四人的成绩C.乙、丁可以知道对方的成绩D.乙、丁可以知道自己的成绩答案解析解析关闭因为甲不知道自己的成绩,所以乙、丙的成绩是一名优秀一名良好.又因为乙知道丙的成绩,所以乙知道自己的成绩.又因为乙、丙的成绩是一名优秀一名良好,所以甲、丁的成绩也是一名优秀一名良好.又因为丁知道甲的成绩,所以丁也知道自己的成绩,故选D.答案解析关闭D知识梳理-10-知识梳理双基自测234155.(教材习题改编P7T2)在平面内,若两个正三角形的边长的比为1∶2,则它们的面积比为1∶4.类似地,在空间中,若两个正四面体的棱长的比为1∶2,则它们的体积比为.答案答案关闭1∶8-11-考点1考点2考点3考点1归纳推理例1(1)(2018山东济南一模)如图,将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上标签:原点处标数字0,记为a0;点(1,0)处标数字1,记为a1;点(1,-1)处标数字0,记为a2;点(0,-1)处标数字-1,记为a3;点(-1,-1)处标数字-2,记为a4;点(-1,0)处标数字-1,记为a5;点(-1,1)处标数字0,记为a6;点(0,1)处标数字1,记为a7;……以此类推,格点坐标为(i,j)的点处所标的数字为i+j(i,j均为整数).记Sn=a1+a2+…+an,则S2018=.-249-12-考点1考点2考点3(2)有一个奇数组成的数阵排列如下:1371321…591523……111725………1927…………29……………………………则第30行从左到右第3个数是.思考如何进行归纳推理?1051-13-考点1考点2考点3解析:(1)设an对应点的坐标为(x,y),由归纳推理可知,an=x+y.第一圈从点(1,0)到点(1,1)共8个点,由对称性可得a1+a2+…+a8=0;第二圈从点(2,1)到点(2,2)共16个点,由对称性可得a9+…+a24=0,……第n圈共有8n个点,这8n项的和也为零.前n圈共有8+16+…+8n=4n(n+1)个点,可得前22圈共有2024个数,S2024=0,S2018=S2024-(a2024+a2023+…+a2019),a2024所对应点的坐标为(22,22),a2024=22+22,a2023所对应点的坐标为(21,22),a2023=21+22,a2022=20+22,a2021=19+22,a2020=18+22,a2019=17+22,可得a2024+…+a2019=249,故S2018=0-249=-249.-14-考点1考点2考点3(2)先求第30行的第1个数,再求第30行的第3个数.观察每一行的第一个数,由归纳推理可得第30行的第1个数是1+4+6+8+10+…+60==929.又第n行从左到右的第2个数比第1个数大2n,第3个数比第2个数大2n+2,所以第30行从左到右的第2个数比第1个数大60,第3个数比第2个数大62,故第30行从左到右第3个数是929+60+62=1051.30×(2+60)2-1-15-考点1考点2考点3解题心得1.归纳推理的类型及相应方法常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类:(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳,解决此类问题时,需要细心观察,寻求相邻项及项与序号之间的关系,同时还要联系相关的知识,如等差数列、等比数列等.(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳.-16-考点1考点2考点32.破解归纳推理的思维步骤(1)发现共性,通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律);(2)归纳推理,把这种相似性推广为一个明确表述的一般命题(猜想);(3)检验,得结论,对所得的一般性命题进行检验.一般地,“求同存异”“逐步细化”“先粗后精”是求解由特殊结论推广到一般结论型创新题的基本技巧.-17-考点1考点2考点3对点训练1(1)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,…,第n个三角形数为𝑛(𝑛+1)2=12n2+12n.记第n个k边形数为N(n,k)(k≥3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式:三角形数:N(n,3)=12n2+12n,正方形数:N(n,4)=n2,五边形数:N(n,5)=32n2-12n,六边形数:N(n,6)=2n2-n,……可以推测N(10,24)=.-18-考点1考点2考点3(2)如图所示,一系列正方形将点阵分割,从内向外扩展,其模式如下:4=224+12=16=424+12+20=36=624+12+20+28=64=82……由上述事实,请推测关于n的等式为.-19-考点1考点2考点3答案:(1)1000(2)4+12+20+…+(8n-4)=(2n)2(n∈N*)解析:(1)由题意可得N(n,k)=akn2+bkn(k≥3),其中数列{ak}是以12为首项,12为公差的等差数列.数列{bk}是以12为首项,-12为公差的等差数列.则N(n,24)=11n2-10n,当n=10时,N(10,24)=11×102-10×10=1000.-20-考点1考点2考点3(2)由题图中的正方形将点阵分割,从内向外扩展,其模式如下:4=224+12=16=424+12+20=36=624+12+20+28=64=82……归纳可得:等式左边是一个以8为公差,以4为首项的等差数列,右边是正偶数的平方,故第n个式子为:4+12+20+…+(8n-4)=(2n)2(n∈N*).-21-考点1考点2考点3考点2类比推理例2(1)我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”.它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式1+11+11+…中,“…”即代表无数次重复,但原式却是个定值,它可以通过方程1+1𝑥=x求得x=√5+12.类比上述过程,则3+23+2√…=()A.3B.√13+12C.6D.2√2A-22-考点1考点2考点3(2)如图①在平面几何中,△ABC的内角C的平分线CE分AB所成线段的比为.把这个结论类比到空间:在三棱锥A-BCD中(如图②),平面DEC平分二面角A-CD-B且与AB相交于E,则得到类比的结论是.思考如何进行类比推理?𝐴𝐶𝐵𝐶=𝐴𝐸𝐵𝐸𝐴𝐸𝐸𝐵=𝑆△𝐴𝐶𝐷𝑆△𝐵𝐶𝐷-23-考点1考点2考点3解析:(1)由题意,结合所给的例子类比推理可得√3+2𝑥=x(x≥0),整理得(x+1)(x-3)=0,解得x=3,故3+23+2√…=3.(2)由平面内线段的比类比转化为空间中面积的比可得𝐴𝐸𝐸𝐵=𝑆△𝐴𝐶𝐷𝑆△𝐵𝐶𝐷.解题心得在进行类比推理时,不仅要注意形式的类比,还要注意方法的类比,且要注意以下两点:(1)找两类对象的对应元素,如:三角形对应三棱锥,圆对应球,面积对应体积,平面对应空间,等差数列对应等比数列等等;(2)找对应元素的对应关系,如:两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直,边相等对应面积相等,加对应乘,乘对应乘方,减对应除,除对应开方等等.-24-考点1考点2考点3解题心得在进行类比推理时,不仅要注意形式的类比,还要注意方法的类比,且要注意以下两点:(1)找两类对象的对应元素,如:三角形对应三棱锥,圆对应球,面积对应体积,平面对应空间,等差数列对应等比数列等等;(2)找对应元素的对应关系,如:两条边(直线)垂直对应线面垂直或面面垂直,边相等对应面积相等,加对应乘,乘对应乘方,减对应除,除对应开方等等.-25-考点1考点2考点3对点训练2(1)若数列{an}是等差数列,则数列{bn}𝑏𝑛=𝑎1+𝑎2+…+𝑎𝑛𝑛也为等差数列.类比这一性质可知,若正项数列{cn}是等比数列,且{dn}也是等比数列,则dn的表达式应为()A.dn=𝑐1+𝑐2+…+𝑐𝑛𝑛B.dn=𝑐1·𝑐2·…·𝑐𝑛𝑛C.dn=c1n+c2n+…+cnnn𝑛D.dn=𝑐1·𝑐2·…·𝑐𝑛𝑛-26-考点1考点2考点3答案:(1)D(2)V四面体A-BCD=13(S1+S2+S3+S4)r(2)在平面几何中,“若△ABC的三边长分别为a,b,c,内切圆半径为r,则三角形的面积为S△ABC=(a+b+c)r”,拓展到空间,类比上述结论,“若四面体A-BCD的四个面的面积分别为S1,S2,S3,S4,内切球的半径为r,则四面体A-BCD的体积为”.12-27-考点1考点2考点3解析:(1)(方法一)由题意可知,商类比开方,和类比积,算术平均数可以类比几何平均数,故dn的表达式为dn=√c1·c2·…·cn𝑛.(方法二)若{an}是等差数列,则a1+a2+…+an=na1+n(n-1)2d,∴bn=a1+(n-1)2d=d2n+a1-d2,即{bn}为等差数列;若{cn}是等比数列,则c1·c2·…·cn=c1n·q1+2+…+(n-1)=c1n·qn(n-1)2,∴dn=𝑐1·𝑐2·…·𝑐𝑛𝑛=c1·𝑞𝑛-12,即{dn}为等比数列.-28-考点1考点2考点3(2)三角形的面积类比四面体的体积,三角