（福建专用）2020版高考数学一轮复习 第九章 解析几何 9.7 抛物线课件 新人教A版

9.7抛物线知识梳理-2-知识梳理双基自测2311.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的,直线l叫做抛物线的.距离相等焦点准线知识梳理-3-知识梳理双基自测2312.抛物线的标准方程和几何性质标准方程y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)p的几何意义:焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y=0x=0焦点Fp2,0F-p2,0F0,p2F0,-p2知识梳理-4-知识梳理双基自测231标准方程y2=2px(p0)y2=-2px(p0)x2=2py(p0)x2=-2py(p0)p的几何意义:焦点F到准线l的距离离心率e=准线方程范围x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0,y0))|PF|=x0+𝑝2|PF|=-x0+𝑝2|PF|=y0+𝑝2|PF|=-y0+𝑝21x=-𝑝2x=𝑝2y=-𝑝2y=𝑝2知识梳理-5-知识梳理双基自测2313.常用结论设AB是过抛物线y2=2px(p0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),如图所示,则知识梳理-6-知识梳理双基自测231(1)x1x2=𝑝24,y1y2=-p2.(2)弦长|AB|=x1+x2+p=2𝑝sin2𝛼(α为弦AB所在直线的倾斜角).(3)S△AOB=𝑝22sin𝛼(α为弦AB所在直线的倾斜角).(4)1|𝐴𝐹|+1|𝐵𝐹|为定值2𝑝.(5)以AB为直径的圆与准线相切.(6)以AF或BF为直径的圆与y轴相切.(7)∠CFD=90°.知识梳理2-7-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.()(2)若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线一定相切.()(3)若一抛物线过点P(-2,3),其标准方程可写为y2=2px(p0).()(4)抛物线既是中心对称图形,又是轴对称图形.()(5)AB为抛物线y2=2px(p0)的过焦点F𝑝2,0的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=𝑝24,y1y2=-p2,弦长|AB|=x1+x2+p.()答案答案关闭(1)×(2)×(3)×(4)×(5)√知识梳理-8-知识梳理双基自测234152.点A(2,1)到抛物线y2=ax准线的距离为1,则a的值为()A.-14或-112B.14或112C.-4或-12D.4或12答案解析解析关闭抛物线的准线方程为x=-𝑎4,则点A(2,1)到抛物线y2=ax准线的距离为2+𝑎4=1,解得a=-4或a=-12.故选C.答案解析关闭C知识梳理-9-知识梳理双基自测234153.M是抛物线C:y2=2px(p0)上一点,F是抛物线C的焦点,O为坐标原点,若|MF|=p,K是抛物线C的准线与x轴的交点,则∠MKO=()A.15°B.30°C.45°D.60°答案解析解析关闭由题意得,点M的坐标为𝑝2,±𝑝.∵K-𝑝2,0,∴kKM=±1.∴∠MKO=45°,故选C.答案解析关闭C知识梳理-10-知识梳理双基自测234154.过抛物线C:x2=4y的焦点F作直线l交抛物线C于A,B两点,若|AB|=5,则线段AB中点的纵坐标为.答案解析解析关闭抛物线C:x2=4y,则p=2.设经过点F的直线与抛物线相交于A,B两点,其纵坐标分别为y1,y2,利用抛物线定义,|AB|=y1+y2+p=5,AB中点纵坐标为y0=12(y1+y2)=12(|AB|-p)=32.答案解析关闭32知识梳理-11-知识梳理双基自测234155.动圆过点(1,0),且与直线x=-1相切,则动圆的圆心的轨迹方程为.答案解析解析关闭设动圆的圆心坐标为(x,y),则圆心到点(1,0)的距离与到直线x=-1的距离相等,根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2=4x.答案解析关闭y2=4x-12-考点1考点2考点3考点1抛物线的定义及其应用例1(1)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB的面积为()A.√22B.√2C.3√22D.2√2(2)(2018河北衡水模拟)已知抛物线C:y2=8x上一点P,直线l1:x=-2,l2:3x-5y+30=0,则P到这两条直线的距离之和的最小值为()A.2B.2√34C.1615√34D.1817√34思考如何灵活应用抛物线的定义解决距离问题?答案解析解析关闭(1)焦点F(1,0),设A,B分别在第一、第四象限,则点A到准线l:x=-1的距离为3,得点A的横坐标为2,纵坐标为2√2,直线AB的方程为y=2√2(x-1),与抛物线方程联立可得2x2-5x+2=0,所以点B的横坐标为12,纵坐标为-√2,S△AOB=12×1×(2√2+√2)=3√22.(2)由题意得直线l1:x=-2是抛物线的准线,设P到直线l1的距离为|PA|,点P到直线l2的距离为|PB|,所以P到这两条直线的距离之和为|PA|+|PB|=|PF|+|PB|,当P,B,F三点共线时,距离之和最小.此时,最小值为|3×2-5×0+30|32+(-5)2=1817√34.答案解析关闭(1)C(2)D-13-考点1考点2考点3解题心得1.由抛物线定义,把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.2.注意灵活运用抛物线上一点P(x,y)到焦点F的距离|PF|=|x|+𝑝2或|PF|=|y|+𝑝2.-14-考点1考点2考点3对点训练1(1)抛物线y2=2px(p0)的焦点为圆x2+y2-6x=0的圆心,过圆心且斜率为2的直线l与抛物线相交于M,N两点,则|MN|=()A.30B.25C.20D.15(2)已知点P是抛物线y2=2x上的动点,点P到准线的距离为d,且点P在y轴上的射影是M,点A72,4,则|PA|+|PM|的最小值是()A.72B.4C.92D.5DC-15-考点1考点2考点3解析：(1)圆x2+y2-6x=0的圆心(3,0),焦点F(3,0),抛物线y2=12x,设M(x1,y1),N(x2,y2),直线l的方程为y=2x-6,联立𝑦2=12𝑥,𝑦=2𝑥-6得x2-9x+9=0,∴x1+x2=9.∴|MN|=x1+x2+p=9+6=15,故选D.-16-考点1考点2考点3(2)抛物线焦点F12,0,准线x=-12,如图,延长PM交准线于N,由抛物线定义得|PF|=|PN|.∵|PA|+|PM|+|MN|=|PA|+|PN|=|PA|+|PF|≥|AF|=5,而|MN|=12,∴|PA|+|PM|≥5-12=92,当且仅当A,P,F三点共线时,取等号,此时,点P位于抛物线上,∴|PA|+|PM|的最小值为92.-17-考点1考点2考点3考点2抛物线的标准方程及几何性质例2(1)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于焦点到准线的距离为()A.2B.4C.6D.8(2)若抛物线y2=2px(p0)的准线经过双曲线x2-y2=1的一个焦点,则p=.思考求抛物线标准方程的常用方法和关键是什么?A,B两点,交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4√2,|DE|=2√5,则C的答案答案关闭(1)B(2)2√2-18-考点1考点2考点3解析(1)不妨设抛物线C的方程为y2=2px(p0),圆的方程为x2+y2=R2.因为|AB|=4√2,所以可设A(m,2√2).又因为|DE|=2√5,所以𝑅2=5+𝑝24,𝑚2+8=𝑅2,8=2𝑝𝑚,解得p2=16.故p=4,即C的焦点到准线的距离是4.(2)双曲线x2-y2=1的焦点为F1(-√2,0),F2(√2,0).抛物线的准线方程为x=-𝑝2.因为p0,所以-𝑝2=-√2,解得p=2√2.-19-考点1考点2考点3解题心得1.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法,其关键是判断焦点位置、开口方向,在方程的类型已经确定的前提下,由于标准方程只有一个参数p,只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.2.涉及抛物线上点到焦点的距离或点到准线的距离,在求最值时可以相互转换,并结合图形很容易找到最值.-20-考点1考点2考点3对点训练2(1)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若𝐹𝑃=4𝐹𝑄,则|QF|=()A.72B.52C.3D.2(2)如图,过抛物线y2=2px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为()A.y2=9xB.y2=6xC.y2=3xD.y2=√3xCC-21-考点1考点2考点3解析:(1)因为𝐹𝑃=4𝐹𝑄,所以|𝐹𝑃|=4|𝐹𝑄|.所以|𝑃𝑄||𝑃𝐹|=34.过Q作QQ'⊥l,垂足为Q',设l与x轴的交点为A,则|AF|=4,所以|𝑃𝑄||𝑃𝐹|=|𝑄𝑄'||𝐴𝐹|=34,所以|QQ'|=3,根据抛物线定义可知|QF|=|QQ'|=3,故选C.-22-考点1考点2考点3(2)如图,分别过A,B作AA1⊥l于点A1,BB1⊥l于点B1,由抛物线的定义知,|AF|=|AA1|,|BF|=|BB1|.∵|BC|=2|BF|,∴|BC|=2|BB1|,∴∠BCB1=30°,∴∠AFx=60°,连接A1F,则△AA1F为等边三角形,过点F作FF1⊥AA1于点F1,则F1为AA1的中点,设l交x轴于点K,则|KF|=|A1F1|=12|AA1|=12|AF|,即p=32,故抛物线方程为y2=3x.-23-考点1考点2考点3考点3直线与抛物线的关系例3已知点F为抛物线E:y2=2px(p0)的焦点,点A(2,m)在抛物线E上,且|AF|=3.(1)求抛物线E的方程;(2)若点G(-1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明:以点F为圆心且与直线GA相切的圆,必与直线GB相切.思考直线与抛物线中的焦点弦问题常用结论有哪些?-24-考点1考点2考点3(1)解由抛物线的定义,得|AF|=2+𝑝2.因为|AF|=3,即2+𝑝2=3,解得p=2,所以抛物线E的方程为y2=4x.(2)证法一因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,所以m=±2√2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2√2).由A(2,2√2),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2√2(x-1).由𝑦=2√2(𝑥-1),𝑦2=4𝑥,得2x2-5x+2=0,解得x=2或x=12,从而B12,-√2.-25-考点1考点2考点3又G(-1,0),所以kGA=2√2-02-(-1)=2√23,kGB=-√2-012-(-1)=-2√23,所以kGA+kGB=0,从而∠AGF=∠BGF,这表明点F到直线GA,GB的距离相等,故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.证法二设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A(2,m)在抛物线E:y2=4x上,所以m=±2√2,由抛物线的对称性,不妨设A(2,2√2).由A(2,2√2),F(1,0)可得直线AF的方程为y=2√2(x-1).由𝑦=2√2(𝑥-1),𝑦2=4𝑥得2x2-5x+2=0,-26-考点1考点2考点3解得x=2或x=12,从而B12,-√2.又G(-1,0),故直线GA的方程为2√2x-3y+2√2=0,从而r=|2√2+2√2|√8+9=4√2√17.又直线GB的方程为2√2x+3y+2√2=0,所以点F到直线GB的距离d=|2√2+2√2|√8+9=4√2√17=r.这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.-27-考点1考点2考点3解题心得1.直线与抛物线相交于两点问题可结合抛物线的定义及几何性质进行处理,必要时联立直线与抛物线的方程来解决.2.若直线与抛物线只有一个交点,则直线与抛物线可能相切