（福建专版）2020中考数学复习方案 题型突破04 动点轨迹和定值、最值问题课件

题型突破(四)动点轨迹和定值、最值问题例1如图Z4-1,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是△ABC内部的一个动点,且满足∠PAB=∠PBC,则线段CP长的最小值为.类型一动点轨迹图Z4-12【方法点析】动点的轨迹问题要在纷繁复杂的运动变化中动中求静,变中求不变.|题型精练|1.已知线段AB,到点A,B距离相等的点的轨迹是()A.线段ABB.以点A为圆心的圆C.以点B为圆心的圆D.线段AB的垂直平分线D2.已知∠AOB,到∠AOB两边距离相等的点的轨迹是()A.线段B.射线C.圆D.弧3.已知直线l,到直线l距离等于定长a的点的轨迹是()A.直线l的垂线B.长度为a的线段C.平行于l且到直线l等于定长a的两条直线D.半径为a的圆BC4.已知直线AB∥CD,点P是一个动点,且到AB和CD的距离相等,则点P的轨迹是()A.以点P为圆心的圆B.过点P的线段C.过点P且平行于AB的直线D.过点P且垂直于AB的直线C5.点O是平面内的一定点,线段AB的长为a,点P是平面内的一个动点,且点P到点O的距离为a,则点P的轨迹为()A.以点P为圆心a为半径的圆B.以点O为圆心a为半径的圆C.线段AB的垂直平分线D.线段OPB6.已知线段AB,点P是平面内的一个动点,∠APB=120°,则点P的轨迹是()A.以点P为圆心的圆B.线段AB的垂直平分线C.∠APB的平分线D.以AB为弦的两条弧D7.已知点P是☉O上的一个动点,点A是OP的中点,☉O的半径为1,动点P绕着圆周旋转一周,则点A走过的路径长为()A.πB.π2C.π4D.2πA8.如图Z4-2,半径为2,圆心角为90°的扇形OAB的弧AB上有一个动点P,过点P向半径OA作垂线,垂足为点H.设△OPH的内心为I,当点P在弧AB上从点A运动到点B时,则内心I所经过的路径长为()A.2πB.2π2C.2D.2图Z4-2B9.若x+t=3,y-5=t,则y与x之间的关系是.y=8-x10.如图Z4-3,等边三角形ABC,点B(-3,0),点C(3,0),点A在y轴的正半轴上,点P从点B出发,沿BC向点C运动,AP绕点A逆时针旋转60°得到AQ,点P从点B运动到点C过程中,点Q也随之运动,则点Q的轨迹是.(填“线段”或“弧”)图Z4-3线段11.不论m取任何实数,抛物线y=x2-2mx+m2+m-1的顶点都在一条直线上,则这条直线的函数表达式是.y=x-112.如图Z4-4,△AOB是直角三角形,∠AOB=90°,OB=2OA,点A在反比例函数y=1𝑥的图象上.若点B在反比例函数y=𝑘𝑥的图象上,则k的值为.图Z4-4[答案]-4[解析]过点A,B作AC⊥x轴,BD⊥x轴,分别交x轴于点C,D.设点A的坐标是(m,n),则AC=n,OC=m,∵∠AOB=90°,∴∠AOC+∠BOD=90°,∵∠DBO+∠BOD=90°,∴∠DBO=∠AOC,∵∠BDO=∠ACO=90°,∴△BDO∽△OCA,∴𝐵𝐷𝑂𝐶=𝑂𝐷𝐴𝐶=𝑂𝐵𝑂𝐴,∵OB=2OA,∴BD=2m,OD=2n,∵点A在反比例函数y=1𝑥的图象上,∴mn=1,∵点B在反比例函数y=𝑘𝑥的图象上,B点的坐标是(-2n,2m),∴k=-2n·2m=-4mn=-4.13.在平面直角坐标系中,A(2,0),B(0,3),过点B作直线∥x轴,点P(a,3)是直线上的动点,以AP为边在AP右侧作等腰直角三角形APQ,∠APQ=90°,直线AQ交y轴于点C.(1)当a=1时,点Q的坐标为;(2)当点P在直线上运动时,点Q也随之运动.当a=时,AQ+BQ的值最小为.图Z4-5[答案](1)(4,4)[解析](1)过点P作PE⊥OA,垂足为E,过点Q作QF⊥BP,垂足为F,如图①.∵BP∥OA,PE⊥OA,∴∠EPF=∠PEO=90°.∵∠APQ=90°,∴∠EPA=∠FPQ=90°-∠APF.在△PEA和△PFQ中,∠𝐸𝑃𝐴=∠𝐹𝑃𝑄,∠𝑃𝐸𝐴=∠𝑃𝐹𝑄=90°,𝑃𝐴=𝑃𝑄,∴△PEA≌△PFQ.∴PE=PF,EA=QF.∵a=1,∴P(1,3).∴OE=BP=1,PE=3.∵A(2,0),∴OA=2,∴EA=1,∴PF=3,QF=1.∴点Q的坐标为(4,4).13.在平面直角坐标系中,A(2,0),B(0,3),过点B作直线∥x轴,点P(a,3)是直线上的动点,以AP为边在AP右侧作等腰直角三角形APQ,∠APQ=90°,直线AQ交y轴于点C.(2)当点P在直线上运动时,点Q也随之运动.当a=时,AQ+BQ的值最小为.图Z4-5[答案](2)71173[解析](2)若点P的坐标为(a,3),则PF=PE=3,QF=AE=|2-a|.∴点Q的坐标为(a+3,5-a).∵无论a为何值,点Q的坐标(a+3,5-a)都满足一次函数解析式y=-x+8,∴点Q始终都在直线y=-x+8上运动.设直线y=-x+8与x轴、y轴分别交于点M,N,如图②所示.当x=0时,y=8,当y=0时,x=8.∴OM=ON=8.∵∠AOB=90°,∴∠OMN=45°.作点A关于直线MN的对称点A',连接A'Q,A'M,则A'Q=AQ,A'M=AM=6,∠A'MN=∠AMN=45°,∴∠A'MA=90°,AQ+BQ=A'Q+BQ,连接A'B,交MN于Q',当点Q位于点Q'的位置时,AQ+BQ=A'Q'+BQ'最短,最小值为A'B的长.设直线BP与A'M相交于H,则BH⊥A'M.在Rt△A'HB中,∠A'HB=90°,BH=OM=8,A'H=A'M-MH=3,∴A'B=𝐵𝐻2+𝐴'𝐻2=82+32=73.∵BN∥A'M,∴△BQ'N∽△A'Q'M.根据相似三角形对应高的比等于相似比可得:𝑥𝑄'8-𝑥𝑄'=𝐵𝑁𝐴'𝑀=8-36,解得xQ'=4011.∴a+3=4011,∴a=711.∴当a=711时,AQ+BQ的值最小,最小值为73.故答案为:711;73.14.如图Z4-6,AB为☉O的直径,AB=8,点C为圆上任意一点,OD⊥AC于点D,若点C在☉O上运动一周,求点D运动的路径长.图Z4-6解:点D运动的路径是以AO中点为圆心,AO一半的长为半径的圆,∵AB为☉O的直径,AB=8,∴AO=12AB=4,∴点D运动的路径长为:2π×2=4π.例2木杆AB斜靠在墙壁上,当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时,木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动.下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线,其中正确的是()类型二运动变化中的定值(定点)问题图Z4-7D|题型精练|1.等边三角形ABC的边长为2,点P是△ABC内任意一点,则点P到三边的距离之和为()A.2B.1C.3D.无法确定C2.直线y=kx+(2-k)必经过定点,这个定点是()A.(1,2)B.(2,1)C.(0,2)D.(2,2)3.若a+b+c=0,则二次函数y=ax2+bx+c必经过定点()A.(1,0)B.(0,1)C.(0,-1)D.(-1,0)4.若二次函数y=mx2-mx+3的图象经过定点,则定点为()A.(0,3)B.(1,3)C.(-1,3)D.(0,3)或(1,3)AAD5.如图Z4-8,将一副三角板叠放在一起,使直角的顶点重合于点O,则∠AOC+∠DOB的度数是()A.180°B.150°C.120°D.无法确定图Z4-8A6.如图Z4-9,△ABD与△ACE均为正三角形,且ABAC,则BE与CD之间的大小关系是()A.BE=CDB.BECDC.BECDD.大小关系不确定图Z4-9A7.若一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根是-1,则函数y=ax2+bx+c的图象必经过定点.8.在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx-2k+6,无论k取何值必定经过点Q.则点Q的坐标为.9.已知☉O的半径为10cm,点M是☉O内一点,且OM=5cm,那么经过点M的弦的长度为整数的条数有条.10.设P是正方形ABCD的外接圆的劣弧AD上任意一点,则PA+PC与PB的比值为.(-1,0)(2,6)5𝟐11.已知,如图Z4-10,▱OABC中,点O(0,0),B(10,6),直线y=mx-3m+n将四边形OABC分成面积相等的两部分,求n与m的数量关系.图Z4-10解:∵直线y=mx-3m+n将平行四边形OABC分成面积相等的两部分,∴直线必经过平行四边形OABC的对称中心,根据平行四边形的中心对称性,可知对称中心坐标为(5,3),将它代入y=mx-3m+n中得3=5m-3m+n,即n=-2m+3.12.已知抛物线y=mx2+(1-2m)x+1-3m与x轴相交于不同的两点A,B.(1)求m的取值范围;(2)该抛物线一定经过非坐标轴上的一点P,求出点P的坐标.解:(1)由题意可知𝑚≠0,𝛥=(1-2𝑚)2-4𝑚(1-3𝑚)0,解得m≠14且m≠0.(2)由题意可知y=m(x2-2x-3)+x+1,令x2-2x-3=0,解得x=3或x=-1,当x=3时,y=4,定点坐标为(3,4),当x=-1时,y=0,定点坐标为(-1,0),此时不符合题意,∴P(3,4).类型三运动变化中的最值问题例3[2018·贵港]如图Z4-11,菱形ABCD中,AC=62,BD=6,E是BC的中点,P,M分别是AC,AB上的动点,连接PE,PM,则PE+PM的最小值是()A.6B.33C.26D.4.5图Z4-11[答案]C[解析]如图,作点E关于AC的对称点E',过点E'作E'M⊥AB于点M,交AC于点P,则点P,M即为使PE+PM取得最小值的点,此时PE+PM=PE'+PM=E'M,∵四边形ABCD是菱形,∴点E'在CD上,∵AC=62,BD=6,∴AB=(32)2+32=33,由S菱形ABCD=12AC·BD=AB·E'M得12×62×6=33·E'M,解得E'M=26,即PE+PM的最小值是26,故选C.【方法点析】原理主要有以下两种:一是“垂线段最短”,二是“两点之间,线段最短”.立体图形中的最短路径问题需借助平面展开图转化为平面问题,求平面内折线的最短路径通常用轴对称变换、平移变换或旋转变换等转化为两点之间的线段.|题型精练|1.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图Z4-12所示,点B的坐标为(3,4),D是OA的中点,点E在AB上,当△CDE的周长最小时,点E的坐标为()A.(3,1)B.3,43C.3,53D.(3,2)图Z4-12[答案]B[解析]如图,作点D关于直线AB的对称点H,连接CH与AB的交点为E,此时△CDE的周长最小.∵D32,0,A(3,0),∴H92,0,可求得直线CH的解析式为y=-89x+4,当x=3时,y=43,∴点E的坐标为3,43.故选B.2.在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(-4,0)和(-2,-2),点P是y轴上的一个动点,若使∣PA—PB∣最大,则点P的坐标是()A.(-4,0)B.(4,0)C.(0,-4)D.(0,4)C3.[2018·宜宾]在△ABC中,若O为BC边的中点,则必有:AB2+AC2=2AO2+2BO2成立.依据以上结论,解决如下问题:如图Z4-13,在矩形DEFG中,已知DE=4,EF=3,点P在以DE为直径的半圆上运动,则PF2+PG2的最小值为()A.10B.192C.34D.10图Z4-13[答案]D[解析]取GF的中点为O,连接PO,则根据材料可知PF2+PG2=2PO2+2OG2=2PO2+2×22=8+2OP2,若使PF2+PG2的值最小,则必须OP的值最小.易知PO垂直于GF时PO的值最小,此时PO=1,所以PF2+PG2的最小值为10.故选D.4.[2017·莱芜]如图Z4-14,菱形ABCD的边长为6,∠ABC=120°,M是BC边的一个三等分点,P是对角线AC上的动点,当PB+PM的值最小时,PM的长是()A.72B.273C.355D.264图Z4-14[答案]A[解析]连接BD,DM,BD交AC于点O,DM交AC于点P,则此