（鄂尔多斯专版）2020中考数学复习方案 第六单元 圆 提分微课（04）构造辅助圆课件

提分微课（四）构造辅助圆“隐圆”一般有如下呈现方式:①定点定长:当遇到同一个端点出发的等长线段时,通常以这个端点为圆心,等线段长为半径构造辅助圆;②定弦定角:当遇到动点对定线段所张的角为定值时,通常把张角转化为圆周角构造辅助圆.当遇到直角时,通常以斜边为直径构造辅助圆.“隐圆”常与线段最值结合考查.如图①,点A到圆O的最短距离为AB,最长距离为AC.如图②,点A到圆O的最短距离为AB,最长距离为AC.类型一定点定长1.如图W4-1,在四边形ABCD中,AB=AC=AD,若∠BAC=25°,∠CAD=75°,则∠BDC=°,∠DBC=°.图W4-112.537.52.如图W4-2,在△ABC中,AC=6,BC=8,∠ACB=90°,将△ABC绕顶点C按顺时针方向旋转,得到△MNC.点P,Q分别是线段AC,MN的中点,在△ABC绕点C按顺时针方向旋转的过程中,线段QP长度的最小值为,最大值为.图W4-2283.如图W4-3,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,点F在边AC上,并且CF=2,点E为边BC上的动点,将△CEF沿直线EF翻折,点C落在点P处,则点P到边AB距离的最小值是.图W4-31.24.如图W4-4,在边长为4的菱形ABCD中,∠A=60°,M是AD边的中点,点N是AB边上一动点,将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A'MN,连接A'C,则线段A'C长度的最小值是.图W4-4[答案]27-2[解析]如图所示,∵在N的运动过程中,A'在以M为圆心,MA的长为半径的圆上运动,∴MA'是定值,A'C长度取最小值时,A'在MC上.过点M作MF⊥DC交CD延长线于点F,∵在边长为4的菱形ABCD中,∠A=60°,M为AD中点,∴MD=2,∠FDM=60°,∴∠FMD=30°,∴FD=12MD=1,∴FM=DM·cos30°=3,CF=FD+DC=5,∴在Rt△MFC中,MC=𝐹𝑀2+𝐶𝐹2=27,∴A'C=MC-MA'=27-2.故答案为:27-2.[答案]4[解析]如图:5.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(2,3),在x轴上找一点P,使得△AOP是等腰三角形,则这样的点P共有个.类型二定弦定角或张角互补图W4-5(1)直角6.如图W4-5,三角板ACD,BCE中,△ACD是等腰直角三角形,∠CAD=∠CBE=90°,直线a∥CD,则∠BCF=.[答案]45°[解析]由题意可得C,B,A,F四点在同一个圆上.∴∠BFC=∠BAC.∵直线a∥CD,∴∠BAC=∠ACD.又∵△ACD是等腰直角三角形,∴∠ACD=45°.∴∠BFC=45°.∵∠CBF=90°,∴∠BCF=45°.7.[2016·宁波考纲]如图W4-6,在等腰直角三角形ABC中,AB=BC=2,点P为等腰直角三角形ABC所在平面内一点,且满足PA⊥PB,则PC的取值范围为.图W4-6[答案]5-1≤PC≤5+1[解析]根据条件可知线段AB是定值,且AB所对的张角∠APB是定值.根据同弧所对的圆周角相等可知,动点P的运动轨迹在过点A,B,P三点的圆周上(不与A,B重合).又因为∠APB=90°,所以AB恰好是直径,设AB中点为O,以O为圆心,OA为半径作圆,连接CO并延长交圆O于点P1,P2,CP1最小,CP2最大,所以PC的取值范围为5-1≤PC≤5+1.8.如图W4-7,E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点,满足AE=DF,连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H,连接DH,若正方形的边长是2,则线段DH长度的最小值是.图W4-7[答案]5-1[解析]由△ABE≌△DCF,得∠ABE=∠DCF,根据正方形的轴对称性,可得∠DCF=∠DAG,∴∠ABE=∠DAG,∴∠AHB=90°,故点H在以AB为直径的圆弧上.取AB中点O,以O为圆心,OA长为半径作半圆,连接OD交半圆O于点H,此时DH最小,∵OH=12AB=1,OD=5,∴DH的最小值为OD-OH=5-1.9.如图W4-8,AC=3,BC=5,且∠BAC=90°,D为AC上一动点,以AD为直径作圆,连接BD交圆于点E,连接CE,则CE的最小值为.图W4-8[答案]13-2[解析]连接AE,则∠AED=90°,即∠AEB=90°,故点E在以AB为直径的圆弧上,在Rt△ABC中,AC=3,BC=5,∴AB=4.当C,E,F三点共线时,CE取得最小值,CE的最小值=CF-EF=32+22-2=13-2.10.[2015·淮安改编]将一张正方形纸片ABCD折叠,再展开,如图W4-9所示,其中CE,CF为折痕,∠BCE=∠ECF=∠FCD,点B'为点B的对应点,点D'为点D的对应点,EB',FD'相交于点O.连接AB',则∠AB'E的度数为.图W4-945°图W4-10(2)定角11.如图W4-10,△ABC为等边三角形,AB=2,若点P为△ABC内一动点,且满足∠PAB=∠ACP,则线段PB长度的最小值为.[答案]233[解析]由∠PAB=∠ACP,∠CAB=60°,得∠APC=120°,如图,以AC为弦作☉O,则点P的运动路径是𝐴𝐶(不包含两端点),因为点B在☉O外,所以当O,P,B三点共线时,BP的最小值为BO-OP.此时OB垂直平分AC,记垂足为点D,则PD=AD·tan30°=33×1=33,BD=3AD=3,故PB的最小值为BO-OP=BD-DP=3−33=233.12.如图W4-11,等边三角形ABC边长为6,AB边中点为F,动点D,E分别从A,B两点同时出发,以相同的速度沿直线向各自终点C,A运动,连接BD,CE,交于点P,则线段PF的最小值为.图W4-11𝟐𝟏-2𝟑13.[2018·徐州28题节选]如图W4-12,将等腰直角三角形ABC对折,折痕为CD.展平后,再将点B折叠在边AC上(不与A,C重合),折痕为EF,点B在AC上的对应点为M,设CD与EM交于点P,连接PF.随着点M在边AC上取不同的位置,△PFM的形状是否发生变化?请说明理由.图W4-12解:△PFM的形状不变,始终是以PM,PF为腰的等腰直角三角形,理由如下:等腰直角三角形ABC中,CD⊥AB,∴AD=DB,CD=12AB=DB,∴∠B=∠DCB=45°,由折叠可得∠PMF=∠B=45°,∴∠PMF=∠DCB,∴P,M,C,F四点共圆,∴∠FPM+∠FCM=180°,∴∠FPM=180°-∠FCM=90°,∠PFM=90°-∠PMF=45°=∠PMF,∴PM=PF.∴△PFM的形状不变,始终是以PM,PF为腰的等腰直角三角形.14.[2016·宿迁]已知△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=2,D是边AB上一动点(A,B两点除外),将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CEF,其中点E是点A的对应点,点F是点D的对应点.(1)如图W4-13①,当α=90°时,G是边AB上一点,且BG=AD,连接GF.求证:GF∥AC.(2)如图②,当90°≤α≤180°时,AE与DF相交于点M.①当点M与点C,D不重合时,连接CM,求∠CMD的度数;②设D为边AB的中点,当α从90°变化到180°时,求点M运动的路径长.图W4-13解:(1)证明:∵CA=CB,∠ACB=90°,∴∠A=∠ABC=45°,∵△CEF是由△CAD逆时针旋转90°得到,∴CB与CE重合,∠CBF=∠A=45°,∴∠ABF=∠ABC+∠CBF=90°,∵BG=AD=BF,∴∠BGF=∠BFG=45°,∴∠A=∠BGF=45°,∴GF∥AC.14.[2016·宿迁]已知△ABC是等腰直角三角形,AC=BC=2,D是边AB上一动点(A,B两点除外),将△CAD绕点C按逆时针方向旋转角α得到△CEF,其中点E是点A的对应点,点F是点D的对应点.(2)如图②,当90°≤α≤180°时,AE与DF相交于点M.①当点M与点C,D不重合时,连接CM,求∠CMD的度数;②设D为边AB的中点,当α从90°变化到180°时,求点M运动的路径长.图W4-13解:(2)①如图①,∵CA=CE,CD=CF,∴∠CAE=∠CEA,∠CDF=∠CFD,∵∠ACD=∠ECF,∴∠ACE=∠DCF,∵2∠CAE+∠ACE=180°,2∠CDF+∠DCF=180°,∴∠CAE=∠CDF,∴A,D,M,C四点共圆,∴∠CMD=180°-∠CAD=135°.②如图②,O是AC中点,连接OD,CM.∵AD=DB,CA=CB,∴CD⊥AB,∴∠ADC=90°,由①可知A,D,M,C四点共圆,∴当α从90°变化到180°时,点M在以AC为直径的☉O上,运动路径是𝐶𝐷,∵OA=OC,CD=DA,∴DO⊥AC,∴∠DOC=90°,∴𝐶𝐷的长=90π·1180=π2.∴当α从90°变化到180°时,点M运动的路径长为π2.