（包头专版）2020年中考数学复习 第三单元 函数及其图象 第13课时 二次函数的图象与性质（一）课

第13课时二次函数的图象与性质(一)考点一二次函数的概念及表示1.定义:一般地,形如①(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数.【温馨提示】函数y=ax2+bx+c未必是二次函数,当②时,y=ax2+bx+c是二次函数.2.表示方法(1)一般式:③.(2)顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0),其中二次函数图象的顶点坐标是④.(3)两点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),其图象与x轴的交点的坐标为⑤.y=ax2+bx+ca≠0y=ax2+bx+c(a≠0)(h,k)(x1,0),(x2,0)考点二二次函数的图象与性质函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)a0a0图象开口方向开口⑥,并向上无限延伸开口⑦,并向下无限延伸对称轴直线⑧顶点坐标⑨向上向下x=-𝒃𝟐𝒂-𝒃𝟐𝒂,𝟒𝒂𝒄-𝒃𝟐𝟒𝒂（续表）函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)a0a0增减性在对称轴的左侧,即当x-𝒃𝟐𝒂时,y随x的增大而⑩;在对称轴的右侧,即当x-𝒃𝟐𝒂时,y随x的增大而,简记为“左减右增”在对称轴的左侧,即当x-𝒃𝟐𝒂时,y随x的增大而;在对称轴的右侧,即当x-𝒃𝟐𝒂时,y随x的增大而,简记为“左增右减”减小增大增大减小函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)a0a0最值抛物线有最低点,当x=-𝐛𝟐𝐚时,y有最值,y最小值=𝟒𝐚𝐜-𝐛𝟐𝟒𝐚抛物线有最高点,当x=-𝐛𝟐𝐚时,y有最值,y最大值=𝟒𝐚𝐜-𝐛𝟐𝟒𝐚二次项系数a的特性𝒂的大小决定抛物线的开口大小,𝒂越大,抛物线的开口越小;𝒂越小,抛物线的开口越大常数项c的意义c是抛物线与y轴交点的纵坐标,即x=0时,y=c小大（续表）考点三二次函数图象的画法一般用描点法画二次函数的图象,步骤如下:(1)画对称轴;(2)确定顶点位置;(3)确定与x轴,y轴的交点位置;(4)确定与y轴的交点关于对称轴的对称点;(5)用平滑的曲线连接上述各点.考点四二次函数图象的平移抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)可用配方法化成y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式,任意抛物线y=a(x-h)2+k(a≠0)均可由抛物线y=ax2(a≠0)平移得到,具体平移方法如图13-1所示(其中h,k均为正数):图13-1【温馨提示】平移规则为“上加下减,左加右减”.考点五二次函数与一元二次方程、不等式的关系1.二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数判别式b2-4ac的正负方程ax2+bx+c=0的实数根个数2个b2-4ac0两个的实数根1个b2-4ac=0两个的实数根没有b2-4ac0实数根不相等相等没有2.二次函数与不等式的关系(1)ax2+bx+c0的解集函数y=ax2+bx+c的图象位于x轴上方的部分对应的点的横坐标的取值范围.(2)ax2+bx+c0的解集函数y=ax2+bx+c的图象位于的部分对应的点的横坐标的取值范围.x轴下方考向一二次函数的图象与性质例1已知抛物线y=𝟏𝟐x2+x-𝟓𝟐.(1)用配方法求抛物线的顶点坐标.(2)求函数的最小值.(3)x取何值时,y随x的增大而减小?(4)若点(-3,y1),(1,y2),(3,y3)都在此抛物线上,比较y1,y2,y3的大小.(5)若抛物线与x轴的两个交点为A,B,与y轴的交点为C,求S△ABC.解:(1)∵y=𝟏𝟐x2+x-𝟓𝟐=𝟏𝟐(x2+2x)-𝟓𝟐=𝟏𝟐(x2+2x+1-1)-𝟓𝟐=𝟏𝟐(x2+2x+1)-𝟏𝟐−𝟓𝟐=𝟏𝟐(x+1)2-3,∴抛物线的顶点坐标为(-1,-3).例1已知抛物线y=𝟏𝟐x2+x-𝟓𝟐.(2)求函数的最小值.(2)当x=-1时,y有最小值-3.例1已知抛物线y=𝟏𝟐x2+x-𝟓𝟐.(3)x取何值时,y随x的增大而减小?(3)∵抛物线开口向上,对称轴为直线x=-1,∴当x-1时,y随x的增大而减小.例1已知抛物线y=𝟏𝟐x2+x-𝟓𝟐.(4)若点(-3,y1),(1,y2),(3,y3)都在此抛物线上,比较y1,y2,y3的大小.(4)在对称轴x=-1的左侧,y随x的增大而减小,在对称轴右侧,y随x的增大而增大,且3-(-1)(-1)-(-3),1-(-1)=(-1)-(-3),∴y2=y1y3.例1已知抛物线y=𝟏𝟐x2+x-𝟓𝟐.(5)若抛物线与x轴的两个交点为A,B,与y轴的交点为C,求S△ABC.(5)令y=0,即𝟏𝟐x2+x-𝟓𝟐=0,解得x1=𝟔-1,x2=-𝟔-1,∴AB=2𝟔,又∵点C的坐标为𝟎,-𝟓𝟐,∴S△ABC=𝟏𝟐×2𝟔×𝟓𝟐=𝟓𝟔𝟐.|考向精练|1.[2019·雅安]在平面直角坐标系中,对于二次函数y=(x-2)2+1,下列说法中错误的是()A.y的最小值为1B.图象顶点坐标为(2,1),对称轴为直线x=2C.当x2时,y的值随x值的增大而增大,当x≥2时,y的值随x值的增大而减小D.它的图象可以由y=x2的图象向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到[答案]C[解析]根据二次函数的性质进行判断,由二次函数y=(x-2)2+1,得它的顶点坐标是(2,1),对称轴为直线x=2,当x=2时,函数的最小值是1,图象开口向上,当x≥2时,y的值随x值的增大而增大,当x2时,y的值随x值的增大而减小,可由y=x2的图象向右平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度得到,所以C是错误的,故选C.2.已知二次函数y=(x-a)(x-b)(其中ab)的图象如图13-2所示,则函数y=ax+b的图象大致是()图13-2图13-3[答案]C[解析]y=(x-a)(x-b)=x2-(a+b)x+ab,∵抛物线的对称轴在y轴的右侧,知a+b0,与y轴的交点在y轴负半轴上,∴ab0,∴ab,∴a0,b0,∴y=ax+b的图象是C选项.3.[2019·温州]已知二次函数y=x2-4x+2,关于该函数在-1≤x≤3内的取值范围,下列说法正确的是()A.有最大值-1,有最小值-2B.有最大值0,有最小值-1C.有最大值7,有最小值-1D.有最大值7,有最小值-2[答案]D[解析]∵二次函数y=x2-4x+2=(x-2)2-2,∴该函数在-1≤x≤3的取值范围内,当x=2时,y有最小值-2;当x=-1时,y有最大值7.故选D.4.已知当x=a和x=b(a≠b)时,二次函数y=2x2-2x+3的函数值相等,当x=a+b时,函数y=2x2-2x+3的值是()A.0B.-2C.1D.3[答案]D[解析]∵当x=a和x=b(a≠b)时,二次函数y=2x2-2x+3的函数值相等,∴函数图象上以a,b为横坐标的点关于直线x=𝟏𝟐对称,则𝒂+𝒃𝟐=𝟏𝟐,∴a+b=1,∴当x=a+b=1时,y=2x2-2x+3=2-2+3=3.考向二二次函数图象的平移例2[2019·济宁]将抛物线y=x2-6x+5向上平移两个单位长度,再向右平移一个单位长度后,得到的抛物线解析式是()A.y=(x-4)2-6B.y=(x-1)2-3C.y=(x-2)2-2D.y=(x-4)2-2[答案]D[解析]y=x2-6x+5=(x-3)2-4,把抛物线向上平移两个单位长度,再向右平移一个单位长度后,可得y=(x-3-1)2-4+2,即y=(x-4)2-2.【方法点析】解决抛物线平移的问题,通常要把解析式配方转化为顶点式,遵循“括号内左加右减,括号外上加下减”的平移原则,确定平移后的解析式.|考向精练|1.[2019·绍兴]在平面直角坐标系中,抛物线y=(x+5)(x-3)经过变换后得到抛物线y=(x+3)(x-5),则这个变换可以是()A.向左平移2个单位B.向右平移2个单位C.向左平移8个单位D.向右平移8个单位[答案]B[解析]y=(x+5)(x-3)=(x+1)2-16,顶点坐标是(-1,-16).y=(x+3)(x-5)=(x-1)2-16,顶点坐标是(1,-16).所以将抛物线y=(x+5)(x-3)向右平移2个单位长度得到抛物线y=(x+3)(x-5),故选B.2.[2019·宜宾]将抛物线y=2x2向左平移1个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式为.y=2(x+1)2-2考向三二次函数与一元二次方程及不等式的关系例3(1)[2019·包头样题三]若二次函数y=ax2-2ax+c的图象经过点(-1,0),则关于x的方程ax2-2ax+c=0的根为.x1=-1,x2=3例3(2)[2019·济宁]如图13-4,抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(-1,p),B(3,q)两点,则不等式ax2+mx+cn的解集是.图13-4[答案]x-3或x1[解析]∵抛物线y=ax2+c与直线y=mx+n交于A(-1,p),B(3,q)两点,∴-m+n=p,3m+n=q,∴抛物线y=ax2+c与直线y=-mx+n交于P(1,p),Q(-3,q)两点,观察函数图象可知:当x-3或x1时,直线y=-mx+n在抛物线y=ax2+c的下方,∴不等式ax2+mx+cn的解集为x-3或x1.|考向精练|1.[2019·荆门]抛物线y=-x2+4x-4与坐标轴的交点个数为()A.0B.1C.2D.3C2.[2017·咸宁]如图13-5,直线y=mx+n与抛物线y=ax2+bx+c交于A(-1,p),B(4,q)两点,则关于x的不等式mx+nax2+bx+c的解集是.图13-5[答案]x-1或x4[解析]观察函数图象可知:当x-1或x4时,直线y=mx+n在抛物线y=ax2+bx+c的上方,∴不等式mx+nax2+bx+c的解集为x-1或x4.