九年级数学下册 第二章二次函数 7最大面积是多少习题课件 北师大版

7最大面积是多少1.能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系,并能够运用二次函数的知识解决实际问题.(重点)2.从几何背景或实际情景中抽象出函数模型.(难点)如图，用一条长为30m的绳子围成一个矩形ABCD.【思考】1.如果设边AB的长为xm,则AD的长是多少？提示：302xAD15xm.2－＝2.设矩形ABCD的面积为S，则S与x的关系是什么？提示：S＝x(15-x)＝-x2+15x.3.求出S的最值.提示：∴当时，S的最大值为215225S(x)24－－，15x2225.44.综上所述，当AB的长为___m时，围成矩形的面积最大，最大面积为___m2.1522254【总结】利用二次函数求几何图形的最大面积的基本方法：(1)引入自变量.(2)用含自变量的代数式分别表示与所求几何图形相关的量.(3)根据几何图形的特征,列出其面积的计算公式,并且用函数表示这个面积.(4)根据函数关系式,求出最大值及取得最大值时自变量的值.(打“√”或“×”)(1)与最大面积有关的问题只能用二次函数解决.()(2)用二次函数只能解决最大面积问题，而不能解决最小面积问题.()(3)周长一定的矩形，当其为正方形时面积最大.()××√知识点最大面积问题【例】小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x(单位：cm)的边与这条边上的高之和为40cm，这个三角形的面积S(单位：cm2)随x的变化而变化.(1)请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围).(2)当x是多少时，这个三角形面积S最大？最大面积是多少？【思路点拨】(1)求出边上的高，代入面积公式即可确定S与x的关系.(2)由(1)得到的关系式，求出函数的最值即可．【自主解答】(1)(2)∴S有最大值，∴当时,S有最大值为(cm2).∴当x为20cm时，三角形最大面积是200cm2.21Sx20x.21a0,2＜b20x2012a2()2＝2214()0204acb220014a4()2【总结提升】应用二次函数解决面积最大问题的步骤1.分析题中的变量与常量、几何图形的基本性质.2.找出等量关系，建立函数模型.3.结合函数图象及性质，考虑实际问题中自变量的取值范围，常采用配方法求出，或根据二次函数顶点坐标公式求出面积的最大或最小值.题组:最大面积问题1.在矩形ABCD的各边AB,BC,CD和DA上分别选取点E,F,G,H,使得AE=AH=CF=CG,如果AB=60,BC=40,四边形EFGH的最大面积是()A.1350B.1300C.1250D.1200【解析】选C.设AE=AH=CF=CG=x,四边形EFGH的面积是S.由题意，BE=DG=60-x,BF=DH=40-x,则所以四边形EFGH的面积为：S=60×40-x2-(60-x)(40-x)=-2x2+(60+40)x=-2(x-25)2+1250(0x≤40);当x=25时，S最大值=1250.2AHECGFDGHBEF11SSx,SS(60x)40x,22△△△△2.如图,在正方形ABCD中,AB=3cm,动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动,同时动点N自A点出发沿折线AD—DC—CB以每秒3cm的速度运动,到达B点时运动同时停止,设△AMN的面积为y(cm2),运动时间为x(秒),则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是()【解析】选B.分三种情况讨论，当0≤x≤1时，当1≤x≤2时，当2≤x≤3时，故选B.23yx2；3yx2；1yx93x.2－3.如图,在△ABC中,∠B=90°,AB=12cm,BC=24cm,动点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动(不与点B重合),动点Q从点B开始沿边BC向C以4cm/s的速度移动(不与点C重合).如果P,Q分别从A,B同时出发,那么经过s,△BPQ的面积最大.【解析】设运动的时间为xs,△BPQ的面积为ycm2,根据题意得:=-4(x-3)2+36.∴当经过3s时,△BPQ的面积最大.答案:321y122x4x4x24x24.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC⊥BD,若AD=3,BC=7,则梯形ABCD面积的最大值为.【解析】如图，过D作DE∥AC交BC的延长线于点E.则∠BDE＝90°,DE=AC,CE=AD=3,在Rt△BDE中，BE＝7+3＝10，设BD＝x，则当x2=50时，S的最大值为答案：25222DEBEBD100x,2111SACBDDEBDx100x222＝＝224211100xxx502500.221125005025.225.将一根长为16π厘米的细铁丝剪成两段,并把每段铁丝围成圆,设所得两圆半径分别为r1和r2.(1)求r1与r2的关系式,并写出r1的取值范围.(2)将两圆的面积和S表示成r1的函数关系式，求S的最小值.【解析】(1)依题意得2πr1+2πr2=16π,化简得：r1+r2=8,0r18.(2)两圆面积和即S＝2π(r1-4)2+32π,当r1=4时，S有最小值32π.222222121211Srrrrr8r［］221112r8r322r416,［］6.如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4cm，点P,Q分别从A,B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动．设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y(cm2).(1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围.(2)求△PBQ的面积的最大值.【解析】(1)PB=AB－AP=18－2x，BQ=x，即y=－x2+9x(0x≤4).(2)由(1)知：y=－x2+9x，∵当时，y随x的增大而增大，而0x≤4，∴当x=4时，y最大值=20，即△PBQ的最大面积是20cm2.PBQ1SPBBQ,21y182xx2－，2981y(x),24－－90x27.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,三个交点坐标分别为A(-1,0),B(3,0),C(0,3).(1)求抛物线的表达式及顶点D的坐标.(2)若点P为线段BD上的一个动点,过点P作PM⊥x轴于点M,求四边形PMAC的面积的最大值和此时点P的坐标.【解析】(1)∵抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A(－1，0)，B(3，0)，C(0,3)，∴y＝－x2＋2x＋3.又∵y＝－x2＋2x＋3=－(x－1)2+4.∴顶点D的坐标是(1,4).0abc,a109a3bc,b23c,c3.，解得，(2)设直线BD的表达式为y=kx+n(k≠0).∵直线y=kx+n过点B(3,0)，D(1,4)，∴直线BD的表达式为：y=－2x+6.∵P点在线段BD上，因此，设P点的坐标为(m，－2m+6).又∵PM⊥x轴于点M，∴PM=－2m+6，OM=m.又∵A(－1，0)，C(0，3)，∴OA=1，OC=3.03kn,k2,4knn6.解得，设四边形PMAC的面积为S，则∴当时，四边形PMAC的最大面积为此时，P点的坐标是11SOAOC(PMOC)OM2211132m63m22－22939105mm(m).22416－－－913,49m4105.1693().42，【想一想错在哪？】正方形ABCD边长为4，M，N分别是BC，CD上的两个动点，当点M在BC上运动时，保持AM和MN垂直，当点M在什么位置时，△ADN的面积最大或最小，并求出最大或最小面积．提示:在解决实际问题中的最值问题时,要在自变量的取值范围内确定最值,本题不仅有最小值,也有最大值.