九年级数学下册 第29章几何的回顾复习课件 华东师大版

第29章单元复习课一、反证法1.在数学题目的求解中,当直接证明一个命题感到困难,甚至不能证明时,我们可以采用反证法.所谓反证法,就是从否定结论(作出相反判断)出发,把相反的判断作为已知条件,在正确逻辑的推理下,导出逻辑矛盾,得知相反判断是错误的,从而肯定原命题的判断本身是正确的.2.反证法的证题步骤(1)反设:作出与求证的结论相反的假定.(2)归谬:由反设出发,推出了与公理、定义、定理或题设条件相矛盾的结果.(3)结论:由于“矛盾”证明了反设不成立,从而肯定了原求证结论正确.3.由于反证法的反设要十分准确,若命题结论的反面是多种情形或比较隐晦时,就不太容易作出反设.现将常用的互为否定形式的词语列表如下:原结论词是都大于小于至少有一个至少有三个至多有n个有限存在反设词不是不都不大于不小于一个也没有至多有二个至少有n+1个无限不存在4.初中阶段几种常使用反证法的情况(1)基本定理或初始命题的证明在数学中,许多基本定理是使用反证法来证明的.例如，“经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”,“两直线相交只有一个交点”等，因为在证明这种基本定理时,除已经学过的公理及推论外,在此之前所导出的定理不多或者与此命题相关的定理不多,所以常用反证法证明.(2)存在性问题的证明在数学中,证明“存在”的问题很多,这种情况下,往往使用反证法.如“同一条直线上的三点不能确定一个圆”.应用反证法应注意的问题：(1)必须正确否定结论.正确否定结论是应用反证法的前提.(2)必须明确推理的特点.反证法所得到的矛盾一般是在相关领域得到的，如平面几何中往往联系相关的公理、定义、定理等.严格遵守推理规则，进行步步有据的严谨推理，导出矛盾证明就结束了.二、三角形中的边角关系特点1.三角形的性质(1)三角形的稳定性：三角形的三边确定了，那么它的形状、大小就都确定了，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性.(2)三角形三边之间的性质：三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边.(3)与三角形的角有关的性质①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.②三角形外角性质：a.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.b.三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角.(4)三角形边角之间的关系：大边对大角，小边对小角，等边对等角.注：1.应用三角形内角和定理的推论时，一定要理解其意思，即“和它不相邻”的意义.2.在计算角的度数、证明两个角相等或角的和差倍分时，常常用到三角形内角和定理及推论1.3.一般证明角不等时，应用“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”来证明，所以需要找到三角形的外角.2.三角形三边关系的应用其主要应用有：由三条线段的长，判断能否组成三角形；由三角形两条边长的条件限制，求第三边；由三角形两条边长的条件限制，求三角形的周长；三角形三边关系与代数知识结合应用.注：涉及等腰三角形的周长计算，易忽视分情况讨论问题或分情况但是忽视了三角形三边关系的限制条件.几何的回顾几何问题的处理方法合情推理的方法逻辑推理的方法实验猜想依据直接法反证法公理定理定义依据三角形的性质与判定【相关链接】在求角度的问题中，三角形内角和定理及外角的性质是两个常用知识点.应用外角性质时，要弄清涉及的外角是哪一个三角形的外角.角平分线、线段垂直平分线的性质是三角形的有关计算以及三角形全等的证明中常用到的知识点，应灵活掌握.【例1】(2011·玉溪中考)如图,点B,C,D,F在同一直线上,已知AB=EC,AD=EF,BC=DF,探索AB与EC的位置关系,并说明理由.【思路点拨】【自主解答】AB与EC的位置关系是：AB∥EC．理由：∵BC=DF,∴BD=CF.在△ABD和△ECF中∴△ABD≌△ECF(S.S.S.),∴∠ABD=∠ECF,∴AB∥EC.BDCFADEFABEC，，，等腰三角形【相关链接】(1)关于等腰三角形性质的问题，应清楚已知条件，若题目中给出等腰三角形，则它的两个底角相等，还要注意“三线合一”也可应用；若给出等边三角形，应清楚各边相等，每个角都等于60°，即把“等腰”或“等边”的条件转化为线段相等、角相等、线段与线段垂直以及角的度数相等.(2)关于等腰三角形的判定问题，只要推出一个三角形中有两个角相等，则它们所对的边就相等，即“等角对等边”.【例2】(2011·德州中考)如图,AB=AC,CD⊥AB于D,BE⊥AC于E,BE与CD相交于点O.(1)求证AD=AE；(2)连结OA,BC,试判断直线OA,BC的关系并说明理由．【思路点拨】(1)(2)【自主解答】(1)在△ACD与△ABE中,∵∠A=∠A,∠ADC=∠AEB=90°,AC=AB,∴△ACD≌△ABE.∴AD=AE．(2)互相垂直.理由如下：连结OA，BC，在Rt△ADO与Rt△AEO中,∵OA=OA,AD=AE,∴Rt△ADO≌Rt△AEO.∴∠DAO=∠EAO，即OA是∠BAC的平分线.又∵AB=AC,∴OA⊥BC.特殊四边形的性质和判定【相关链接】(1)关于四边形的有关计算、证明题，要善于利用平行四边形、矩形、菱形、正方形以及梯形的性质和判定，也要与三角形全等、相似等知识点相结合，综合考查.(2)在研究某些问题时，根据问题的特征，构造相应的特殊四边形，可使问题简单化.【例3】(2012·六盘水中考)如图，已知E是□ABCD中BC边的中点，连结AE并延长AE交DC的延长线于点F.(1)求证:△ABE≌△FCE；(2)连结AC,BF,若∠AEC=2∠ABC,求证:四边形ABFC为矩形.【思路点拨】(1)(2)【自主解答】(1)∵E是BC的中点,∴BE=CE.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥DF,∴∠BAE=∠CFE.在△ABE与△FCE中∴△ABE≌△FCE(A.A.S.).BAECFE,AEBFEC,BECE,(2)∵∠AEC=∠ABE+∠BAE,∠AEC=2∠ABC,∴∠ABE=∠BAE,∴AE=BE.∵△ABE≌△FCE,∴AE=EF,BE=CE,∴AE=EF=BE=CE,且AF=BC,∴四边形ABFC为矩形(对角线相等且平分的四边形是矩形).反证法【相关链接】(1)用反证法证明有关问题时，结论的反面要正确、全面；反证法证明问题的关键是每一步都要有理有据，难点是导出矛盾，可能与已知矛盾，也可能与某个定义、公理、定理矛盾.(2)遇到下面形式的命题时，可借助反证法证明：①关于否定性结论的命题；②关于唯一性结论的命题；③关于“至多”“至少”类结论的命题；④难以直接使用已知条件推出结论的命题.【例4】证明：圆的切线一定垂直于过切点的半径.【思路点拨】【自主解答】已知：直线l与⊙O相切于点A.求证：l⊥OA.证明：如图，设圆O的一条半径是OA，直线l与圆切于A.假设直线l不垂直于OA，过O作OM垂直l于点M，根据“垂线段最短”的性质，有OAOM,这就是说圆心到直线l的距离小于圆半径，于是直线l与圆相交，这与l是圆的切线相矛盾.因此l⊥OA，即圆的切线一定垂直于过切点的半径.【命题揭秘】综合近几年中考发现三角形与四边形是必考内容,往往与其他数学知识综合考查.同一个三角形中各个元素之间的关系(边之间的关系、角之间的关系、边与角之间的关系),以及有关的重要线段(高线、中线、角平分线、中位线)是考查重点,同时注重考查两个三角形的全等关系(性质与判定)；四边形是平面几何研究的主要对象,四边形的知识是平行线和三角形知识的应用和深化.考查特殊四边形的性质和判定,注重灵活运用；考查探究与推理,注重联系与综合.题型包含选择题、填空题及解答题.1.(2012·南通中考)如图，在△ABC中，∠C＝70°，沿图中虚线截去∠C，则∠1＋∠2＝()(A)360°(B)250°(C)180°(D)140°【解析】选B.如图，∵∠1，∠2是△CDE的外角，∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，即∠1+∠2=∠C+(∠C+∠3+∠4)=70°+180°=250°．2.(2011·赤峰中考)如图,在△ABC中,AB=20cm,AC=12cm,点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动,点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动,当△APQ是等腰三角形时,运动的时间是()(A)2.5秒(B)3秒(C)3.5秒(D)4秒【解析】选D.由题可知BP=3t,AP=20-3t,AQ=2t,CQ=12-2t,当△APQ是等腰三角形时,AP=AQ(当AP=PQ，AQ=PQ时，无法求解),所以20-3t=2t,解得t=4,即运动时间为4秒.3.(2012·襄阳中考)在等腰△ABC中,∠A=30°,AB=8,则AB边上的高CD的长是________.【解析】当等腰三角形ABC是锐角三角形,∠A为顶角时,∴CD=4;当等腰三角形ABC是钝角三角形,∠A为底角，∠B为顶角时,当等腰三角形ABC是钝角三角形,∠A为底角，∠C为顶角时，答案：CD43;43CD.3434433或或4.(2012·达州中考)将矩形纸片ABCD,按如图所示的方式折叠,点A,点C恰好落在对角线BD上,得到菱形BEDF,若BC=6,则AB的长为_______.【解析】设AB的长为x,由题意知DC=x,BD=2x,在Rt△BCD中,根据勾股定理得BC2+CD2=BD2,∴62+x2=(2x)2.解之得答案：x23,AB23.所以235.(2012·南京中考)如图,在平行四边形ABCD中,AD=10cm,CD=6cm，E为AD上一点，且BE=BC，CE=CD，则DE=________cm.【解析】过点E作EM⊥BC于M点，点C作CN⊥DE于N点，则CM=EN=DN，在三角形BEC中，设CM=a,根据勾股定理，得62-a2=102-(10-a)2，解得a=1.8,所以DE=2a=3.6.答案：3.66.用反证法证明：两条直线被第三条直线所截.如果同旁内角不互补,那么这两条直线不平行．已知：直线l1,l2被l3所截,∠1+∠2≠180°．求证：l1与l2不平行．证明：假设l1____l2,则∠1+∠2____180°(两直线平行,同旁内角互补),这与∠1+∠2____180°矛盾,故____不成立.所以____．【解析】假设l1∥l2,则∠1+∠2=180°(两直线平行,同旁内角互补),这与∠1+∠2≠180°矛盾,故假设不成立.所以结论成立,l1与l2不平行.答案：∥=≠假设l1与l2不平行7.(2012·盐城中考)如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BDC=90°，E为BC上一点，∠BDE=∠DBC.(1)求证:DE=EC;(2)若AD=BC,试判断四边形ABED的形状,并说明理由.12【解析】(1)∵∠BDC=90°,∴∠BDE+∠EDC=90°,且∠DBC+∠C=90°.又∵∠BDE=∠DBC,∴∠EDC=∠C,∴DE=EC.(2)四边形ABED为菱形.∵∠BDE=∠DBC,∴BE=DE.∵DE=EC,∴BE=EC=BC.∵AD=BC,∴AD=BE.又∵AD∥BC,∴四边形ABED为平行四边形.又∵BE=DE,∴四边形ABED为菱形.12128.(2012·黄冈中考)如图，在正方形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,E,F分别在OD,OC上,且DE=CF，连结DF,AE，AE的延长线交DF于点M.求证:AM⊥DF.【解析】在正方形ABCD中,AO=DO=OC，AC⊥BD，∴∠AOE=∠DOF=90°,∠OAE+∠AEO=90°.又∵DE=CF，∴OE=OF,∴△AOE≌△DOF，∴∠AEO=∠DFO，∴∠OAE+∠DFO=90°，∴∠AMF=90°，∴AM⊥DF.9.(2012·威海中考)(1)如图①，□ABCD的对角线AC，BD交于点O.直线EF过点O,分别交AD,BC于点E,F.求证:AE=CF.(2)如图②,将□ABCD(纸片)沿过对角线交点O的直线EF折叠,点A落在点A1处,点B落在点B1处.设FB1交CD于点G,A1B1分别交CD,DE于点