九年级数学下册 第27章二次函数27.2二次函数的图象与性质 2 二次函数y=ax2+bx+c的图象

2.二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质第1课时1.经历画二次函数y=ax2和y=ax2+k的图象的过程,进一步熟悉类比的方法和数形结合的思想.(重点)2.通过观察二次函数y=ax2和y=ax2+k的图象,掌握二次函数y=ax2的图象与二次函数y=ax2+k的图象的平移过程.(重点、难点)3.掌握二次函数y=ax2+k的性质.(重点)在直角坐标系中,画二次函数y=-x2与y=-x2+2的图象.解:列表.x…-2-1012…y=-x2…______0______…y=-x2+2…____________…-4-1-1-4-2121-2在直角坐标系中描点,然后分别用光滑的_____顺次连结两个函数的各点,得到函数y=-x2与y=-x2+2的图象,如图所示.曲线【思考】(1)观察函数y=-x2与y=-x2+2的图象,它们的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为什么?提示:这两个函数的图象的开口方向都向下,对称轴都是y轴;函数y=-x2的图象的顶点坐标为(0,0),y=-x2+2的图象的顶点坐标为(0,2).(2)当自变量x取同一数值时,这两个函数的函数值之间有什么关系?提示:函数y=-x2的函数值比y=-x2+2的函数值小2.(3)当自变量x取同一数值时,反映在这两个函数图象上相应的两个点之间的位置有什么关系?这两个函数图象有什么关系?提示:函数y=-x2的图象上的点在y=-x2+2的图象上的点的下方2个单位长度处.函数y=-x2+2的图象可以看作是函数y=-x2的图象沿y轴向上平移2个单位长度得到的,或函数y=-x2的图象可以看作是函数y=-x2+2的图象沿y轴向下平移2个单位长度得到的.(4)函数y=-x2的图象在y轴的左边和右边各自有什么特点?函数y=-x2+2的图象在y轴的左边和右边各自有什么特点?提示:函数y=-x2,在y轴的左边,函数的y值随x的增大而增大,在y轴的右边,函数的y值随x的增大而减小;函数y=-x2+2,在y轴的左边,函数的y值随x的增大而增大,在y轴的右边,函数的y值随x的增大而减小.函数a0a0图象开口方向__________顶点坐标____________对称轴__轴(x=0)__轴(x=0)函数变化当x0时,y随x的增大而_____;当x0时,y随x的增大而_____当x0时,y随x的增大而_____;当x0时,y随x的增大而_____最值当x=__时,y最小值=__当x=__时,y最大值=__【总结】二次函数y=ax2+k(k0)的性质:向上向下(0,k)(0,k)yy增大减小减小增大0k0k(打“√”或“×”)(1)二次函数y=6x2+2的图象与y=6x2的图象形状相同,位置不同.()(2)y=-9x2-2开口向下,顶点坐标是(0,0).()(3)函数y=3x2的图象与y=-3x2-3的图象的对称轴都是y轴,形状相同,但开口方向不同.()√×√(4)二次函数y=x2+1的图象沿对称轴向上平移3个单位长度可以得到函数y=x2+4的图象.()(5)若点(3,a),(5,b)是二次函数y=-8x2+10图象上的两点,则ab.()√×知识点1二次函数y=ax2+k的图象与性质【例1】已知下列函数:y=x2;y=x2+2;y=-x2;y=x2-2.(1)指出以上二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标及最值.(2)函数y=x2分别与y=x2+2,y=x2-2的图象有怎样的联系?【思路点拨】(1)根据二次函数y=ax2+k的性质得出函数的开口方向、对称轴、顶点坐标及最值.(2)由二次函数y=ax2的图象与y=ax2+k的图象的关系可以得出函数y=x2分别与y=x2+2,y=x2-2的图象的联系.【自主解答】(1)y=x2,开口向上,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,0),有最小值,最小值为0.y=x2+2开口向上,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,2),有最小值,最小值为2.y=-x2开口向下,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,0),有最大值,最大值为0.y=x2-2开口向上,对称轴为y轴,顶点坐标为(0,-2),有最小值,最小值为-2.(2)函数y=x2,y=x2+2,y=x2-2的图象形状都相同,开口方向一致.函数y=x2的图象沿对称轴向上平移2个单位长度可以得到函数y=x2+2的图象;函数y=x2的图象沿对称轴向下平移2个单位长度可以得到函数y=x2-2的图象.【总结提升】函数y=ax2+k的性质口诀a大于0,口向上,y轴左减右是增,x为0,k最小;a小于0,口向下,y轴左增右是减,x为0,k最大.知识点2二次函数y=ax2+k的性质的应用【例2】如图,小河上有一拱桥,拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE,ED,DB组成,已知河底ED是水平的,ED=16m,AE=8m,抛物线的顶点C到ED的距离是11m,以ED所在的直线为x轴,抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系.（1）求抛物线的函数关系式.（2）已知从某时刻开始的40h内，水面与河底ED的距离h(单位：m)随时间t(单位：h)的变化满足函数关系(0≤t≤40)，且当水面到顶点C的距离不大于5m时，需禁止船只通行.请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？21ht198128【思路点拨】（1）设出函数关系式，确定点B的坐标，并将点B的坐标代入，求出二次函数关系式.(2)求出水面与河底的最小距离，代入函数关系式，求出时间t.【自主解答】（1）设抛物线所对应的函数关系式为y=ax2+11,由题意得B（8，8），∴64a+11=8,解得∴(2)水面到顶点C的距离不大于5m时，即水面与河底ED的距离h至少为6m，解得t1=35,t2=3,3a,6423yx11.64216t198,128∴需要35-3=32(h)禁止船只通行.答：需32小时禁止船只通行.【总结提升】利用y=ax2+k(a≠0)的图象及性质解决生活中实际问题的步骤1.首先建立适当的坐标系.2.根据图象上的点确定函数关系式.3.利用抛物线的特点与性质解决具体问题.题组一：二次函数y=ax2+k的图象与性质1.抛物线y=-2x2+1的对称轴是()A.直线B.直线C.y轴D.直线x=2【解析】选C.根据二次函数y=ax2+k的性质可知y=-2x2+1的对称轴是y轴.1x21x22.（2013·德州中考）下列函数中，当x0时，y随x的增大而增大的是()A．y=-x+1B．y=x2-1C．D．y=-x2+1【解析】选B.对于A，因为k=-1＜0，所以y随x的增大而减小，错误；对于C，因为k=1＞0，所以反比例函数在x＞0时y随x的增大而减小，错误；对于D，因为a=-1＜0，所以当x0时，y随x的增大而减小，错误.1yx1yx【变式备选】已知拋物线当1≤x≤5时，y的最大值是()21yx23，257A.2B.C.D.333【解析】选C.∵抛物线的二次项系数∴该抛物线图象的开口向下.又∵抛物线的对称轴是y轴，∴当1≤x≤5时，抛物线的y值是随x的增大而减小的，∴当x=1时，21yx231a03＜，21yx2321yx2315y2.33最大值3.下列说法正确的是()A.函数y=ax2（a≠0）的图象过原点，是关于x轴对称的抛物线B.若y与x2+1成正比例，则y是x的二次函数C.函数y=ax2(a＞0)，无论x为何值时，y的值都是正数D.|a|越大，抛物线y=ax2-1(a≠0)的开口越大【解析】选B.A,函数y=ax2的图象过原点，是关于y轴对称的抛物线，错误;B,若y与x2+1成正比例，则y=k(x2+1),即y是x的二次函数，正确;C,函数y=ax2(a＞0),当x=0时，y=0，错误;D,|a|越大，抛物线y=ax2-1的开口越小，错误.4.（2013·湛江中考）抛物线y=x2+1的最小值是______．【解析】∵x2≥0,∴x2+1≥1,即y≥1，∴y的最小值为1.答案：1题组二：二次函数y=ax2+k的性质的应用1.如图，隧道的截面是抛物线，可以用表示，该隧道内设双行道，限高为3m，那么每条行道宽()A．不大于4mB．恰好4mC．不小于4mD．大于4m，小于8m21yx416【解析】选A．把y=3代入中得x=4，x=-4（舍去）．∴每条行道宽应不大于4m．21yx4162.小敏在某次投篮中,球的运动路线是抛物线的一部分(如图),若命中篮圈中心,则他与篮底的距离l是()A.3.5mB.4mC.4.5mD.4.6m21yx3.55【解析】选B.如图,把C点纵坐标y=3.05代入中得x=±1.5(舍去负值),即OB=1.5m,所以l=AB=2.5+1.5=4(m).21yx3.553.从一幢高125m的大楼上掉下一个苹果,不考虑空气阻力,苹果离地面的高度h(m)与时间t(s)大致有如下关系:h=125-5t2,________s后苹果落到地面.【解析】把h=0代入函数关系式h=125-5t2,得125-5t2=0,解得t1=5,t2=-5(不合题意,舍去);所以5s后苹果落到地面.答案:54.如图,某大学校门是一抛物线形水泥建筑物,大门的地面宽度为8m,两侧距地面4m高处各挂一个牌匾,且两牌匾顶部的水平距离为6m,则该大学校门的最高点距地面多少m?(精确到0.1,建筑厚度不计)【解析】以校门所在地面线段的中点为原点建立平面直角坐标系,如图,设抛物线所对应的函数关系式为y=ax2+k（a≠0），由题意可知抛物线与x轴的两个交点坐标为(-4,0)，(4,0)，且经过点（3，4），由此三点可得抛物线的关系式为当x=0时，故该大学校门的最高点距地面约9.1m.2464yx,7764y9.17，【想一想错在哪？】已知拋物线y=9x2+2,当5≤x≤6时,y的最小值是________.提示:没有考虑题意中x的取值范围,直接根据函数y=ax2+k的性质解题,导致出现错误.