九年级数学下册 第27章二次函数27.1二次函数习题课件 华东师大版

第27章二次函数§27.1二次函数1.理解二次函数的概念.(重点)2.能够表示实际问题中变量之间的二次函数关系.(重点、难点)解答下列问题:1.某公司的生产利润原来是a万元,经过连续两年的增长达到了y万元,如果每年增长的百分数都是x,则y与x的函数关系式为y=_______=_________.2.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品,该商店可以自行定价.若每件商品售价为x元,则可卖出(350-10x)件商品,则销售该商品盈利y元与售价x元的函数关系式为y=_________________=________________.a(1+x)2ax2+2ax+a(x-21)(350-10x)-10x2+560x-73503.长方形的周长为24cm,其中一边为xcm(x0),面积为ycm2,则这样的长方形中y与x的函数关系式.y=__________=_______.【总结】二次函数的概念:形如y=________(a,b,c是常数,a___0)的函数.(12-x)·x-x2+12xax2+bx+c≠(1)自变量的次数是2次的函数就是二次函数.()(2)y=ax2+3x+4是二次函数.()(3)函数y=(x-3)(x+3)-x2是二次函数.()(4)y=(x-1)(x+2)是二次函数.()(5)在半径为4cm的圆中,挖去一个半径为xcm的与已知圆同心的圆面,剩下一个圆环的面积为ycm2,则y与x的函数关系式为y=-πx2+16π,其中自变量x的取值为任意实数.()×××√×知识点1二次函数的概念【例1】已知函数是二次函数,求这个函数的函数关系式.【思路点拨】根据二次函数的概念可知未知数的最高次数为2,且二次项系数不为0,列出关系式求出m的值.2m1ym1x4mx2【自主解答】因为函数是二次函数,所以m2+1=2,且m+1≠0,解得m=1,则该函数的函数关系式为y=2x2-4x+2.2m1ym1x4mx2【总结提升】判断二次函数的三步法知识点2实际问题中的二次函数关系【例2】一块长方形的草地的长和宽分别为20米和16米,在它四周外围环绕着宽度相等的小路,设小路的宽度为x米,小路的总面积为S平方米.(1)求小路的总面积S与宽度x的函数关系式.(2)若小路的总面积为160平方米,求小路的宽度.【解题探究】(1)分析题意,题中的等量关系是什么?提示:题中的等量关系是:小路的总面积加上草地的面积等于草地四周环绕的宽度相等的小路形成的大长方形的面积.(2)已知小路的宽度为x米,如何表示草地四周环绕的宽度相等的小路形成的大长方形的长和宽?面积如何表示?提示:草地四周环绕的宽度相等的小路形成的大长方形的长和宽分别为(20+2x)米,(16+2x)米.草地四周环绕宽度相等的小路形成的大长方形的面积为(16+2x)(20+2x)平方米.(3)已知小路的总面积为S平方米,则小路的总面积S与宽度x的函数关系式为S=______________________=_______.(4)当S=160时,160=_______,解得:x1=__,x2=____.x=____不合题意,舍去,所以x=__.故小路的宽为__米.(16+2x)(20+2x)-16×204x2+72x4x2+72x2-20-2022【总结提升】由实际问题建立二次函数关系的三个步骤1.审清题意,找出实际问题中的已知量和未知量,并分析它们之间的关系,将文字或图形语言转化为数学符号语言.2.分析实际问题中的等量关系,根据找出的等量关系或现实客观存在的某种数量关系,建立二次函数关系式,并注意将关系式整理为y=ax2+bx+c(a≠0)的形式.3.根据实际问题中的自变量所表示的实际意义,注明自变量的取值范围.题组一:二次函数的概念1.下列函数中,是二次函数的是()A.y=8x2B.y=8x+1C.y=-8xD.【解析】选A.A项中的函数符合二次函数的概念,是二次函数;B,C项是一次函数,不是二次函数;D项是反比例函数,不是二次函数.8yx2.如果y=(a-1)x2-ax+6是关于x的二次函数,则a的取值范围是()A.a≠0B.a≠1C.a≠1且a≠0D.无法确定【解析】选B.根据二次函数的定义,a-1≠0,即a≠1.3.下列函数:①y=5x-5;②y=3x2-1;③y=4x3-3x2;④y=2x2-2x+1;⑤其中是二次函数的是________.【解析】①y=5x-5是一次函数;②y=3x2-1是二次函数;③y=4x3-3x2自变量最高次数为3,不是二次函数;④y=2x2-2x+1是二次函数;⑤中不为整式,所以不是二次函数.答案:②④21y.x21yx21x4.若是关于x的二次函数,则a=________.【解析】根据题意得:3a2-1=2,解得a=±1,又因a-1≠0,即a≠1,所以a=-1.答案:-123a1y(a1)x5.已知函数y=(m2-m)x2+(m-1)x+m+1.(1)若这个函数是一次函数,求m的值.(2)若这个函数是二次函数,求m的取值范围.【解析】(1)由题意得:m2-m=0,解得m=0或m=1.又因为m-1≠0即m≠1,所以当m=0时,这个函数是一次函数.(2)根据二次函数的定义,得m2-m≠0,解得m≠0且m≠1,所以这个函数是二次函数时,m≠0且m≠1.【归纳整合】二次函数常见的四种表现形式1.y=ax2(a是常数,a≠0).2.y=ax2+bx(a,b是常数,a≠0).3.y=ax2+c(a,c是常数,a≠0).4.y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0).题组二:实际问题中的二次函数关系1.进入夏季后,某电器商场为了减少库存,对电热取暖器连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x,降价后的价格为y元,原价为a元,则y与x之间的函数关系式为()A.y=2a(x-1)B.y=2a(1-x)C.y=a(1-x2)D.y=a(1-x)2【解析】选D.原价为a元,第一次降价后的价格是a×(1-x)元,第二次降价是在第一次降价后的价格的基础上降价的,为a×(1-x)×(1-x)=a(1-x)2元.所以函数关系式是y=a(1-x)2.2.在半径为4的圆中,挖去一个边长为x的正方形,剩下部分的面积为y,则y与x之间的函数关系式为()A.y=πx2-4yB.y=16π-x2C.y=16-x2D.y=x2-4y【解析】选B.圆面积是16π,正方形面积是x2,则函数关系式是:y=16π-x2.【变式备选】如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=AD=6,点E,F分别在线段AD,DC上(点E与点A,D不重合),若∠ABC=60°,∠BEF=120°,AE=x,DF=y,则y关于x的函数关系式为________.【解析】因为AD∥BC,AB=DC=AD=6,∠ABC=60°,AE=x,所以∠A=∠D=120°,DE=6-x,又因为∠AEB+∠DEF=180°-∠BEF=60°,∠AEB+∠ABE=180°-∠A=60°,所以∠ABE=∠DEF,所以△ABE∽△DEF.所以即所以答案:ABAE,DEDF6x.6xy21yxx0x6.621yxx(0x6)63.写出下列问题中的函数关系式(不必写出自变量的取值范围):(1)某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售,增加利润,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施.经调查发现:如果每件衬衫降价1元,商场平均每天可多售出2件.则商场降价后每天盈利y(元)与降价x(元)的函数关系式为________.(2)汽车油箱中原有油100升,汽车每行驶50千米耗油9升,油箱中剩余油量y(升)与汽车行驶路程x(千米)之间的函数关系式为__________.(3)矩形的周长为30,则面积y与一条边长x之间的函数关系式为__________.在上述各式中,__________是一次函数,__________是二次函数(只填序号).【解析】(1)因为每件衬衫降价1元,商场平均每天可多售出2件,所以每件衬衫降价x元,商场平均每天可多售出2x件,因为原来每件的利润为40元,现在降价x元,所以现在每件的利润为(40-x)元,所以y=(40-x)(20+2x)=-2x2+60x+800.(2)因为汽车每行驶50千米耗油9升,则行驶x千米耗油量为升,所以油箱中剩余油量y(升)与汽车行驶路程x(千米)之间的函数关系式为9x509y100x.50(3)因为矩形的周长为30,一边长为x,则另一边的长为15-x,所以面积y与一条边长x之间的关系式为y=(15-x)x=-x2+15x.三个式子中(2)是一次函数,(1),(3)是二次函数.答案:(1)y=-2x2+60x+800(2)(3)y=-x2+15x(2)(1)(3)9y100x504.如图,某小区广场要设计一个矩形花坛,花坛的长、宽分别为30m,20m,花坛中有一横一纵的两条通道,余下部分种植花卉.横、纵通道的宽度均为xm.(1)求两条通道的总面积S与x的函数关系式,不要求写出自变量x的取值范围.(2)当种植花卉面积为551m2时,求横、纵通道的宽度为多少m.【解析】(1)S=20x+30x-x2=-x2+50x.(2)因为横、纵通道的宽度均为xm,所以根据题意,列方程得:(30-x)(20-x)=551.解这个方程得:x1=1,x2=49(不符题意,舍去).答:横、纵通道的宽度为1m.【想一想错在哪？】如图,某矩形相框长26cm、宽20cm,其四周相框边(图中阴影部分)的宽度相同,都是xcm,相框内部的面积(指图中较小矩形的面积)为ycm2.(1)写出y与x的函数关系式.(2)若相框内部的面积为280cm2,求相框边的宽度.提示:忽视自变量的取值范围,导致出现错误.解决实际问题时,一定要注明自变量的取值范围.